一个条件恒等式引发的多方位探索

在高中代数中有下面一个条件恒等式:若ab=1(a≠-1,b≠-1),则有(1)/(1+a)+(1)/(1+b)=1成立,其逆亦真,于是有如下一些定理: 定理1 设a≠-1,b≠-1,则(1)/(1+a)+(1)/(1+b)=1成立的充要条件是ab=1(证明较易,故从略).     

一个恒等式在解题中的应用

<正> 当x≠0时,以下等式显然成立:(x+1/x)=(x-1/x)+4.将这一关系式用于某些问题的求解,往往十分简便. 例1 如果x+1/x=6,求x-1/x. 解∵x+1/x=6∴(x+1/x)2=36,代人以上关系式便得:     

一个重要的组合恒等式

有一个重要组合恒等式，我们经常使用，即kCn^k=nCn-1^k-1.     

一个代数恒等式的诞生

<中学数学教学参考>编辑部举办的首届中学生数学智能通讯赛中高二年级试题第18题为:     

试谈具有代数条件的恒等式证明

对复杂一点的具有代数条件的恒等式证明，同学们往往感到比较难．技巧性强，不易想到．     

试谈具有代数条件的恒等式证明

具有代数条件的恒等式证明．是中学代数常见题之一。本文就这类题给出了一般的解题思路与方法，对指导学生学习与提高教学质量有一定的促进作用。     

一个条件等式的应用

■这是一个重要的条件等式,它的应用极为广泛,利用它来解决含立方或开立方的数学问题,往往简捷巧妙,现分类举例应用如下:     

关联六个圆的一个恒等式

定理　设△ABC的BC边上的高为ha,D为BC内一点 ,△ABC、△ABD、△ACD的内切圆的半径分别为r、r1、r2 ,边BC、BD、DC外的旁切圆的半径分别为r′,r1′ ,r2 ′ ,则( 1 ) r1 r2r r1′ r2 ′r′ =2 ;( 2 ) 1r1-1r1′ 1r2-1r2 ′=4ha.证明 :如图 ,由文 [1 ]可得r=r1 r2 -2r1r2ha,①r′=r1′ r2 ′ 2r1′r2 ′ha,②rr1′r2 ′=r′r1r2 ,③r′×① r×② ,并应用③式 ,得2rr′ =(r1 r2 )r′ (r1′ r2 ′)r,两边除以rr′,即得 ( 1 )式 .r′×① r×② ,并应用③式 ,得(r1 r2 )r′ -(r1′ r2 ′)r =4r1r2 r′ha=4r1′r2 ′rha,两边除以r1…     

一类具有已知条件的代数恒等式证明的一般方法

对于复杂一点的具有已知条件的代数恒等式的证明,因技巧性强,学生不易想到,往往感到比较难,无从下手．     

欧几里德恒等式在数学竞赛中的应用

人们通常把恒等式（a＋b/2）^2＋ （a-b/2）^2=ab 称为欧几里德恒等式。     

一个组合恒等式的创新及其应用

定理:CmxCxn=CmnCx-mn-m,,m≤x≤n且x、m、n∈N*.     

用恒等式解题

用恒等式解题,大体上有两个途径:一是应用已知的基本恒等式求解;二是根据问题的特点推证出一个适用的恒等式,这通常需要相当高的运算技巧和能力.例1设a、b、c都是正数,满足条件(a2 b2 c2)2>2(a4 b4 c4).求证:a、b、c一定是某个三角形的三边长.证明先把条件改成2a2b2 2b2c2 2c2a2-a4-b4-c4>0.应用恒等式(这是一个较常见的因式分解)2(a2b2 b2c2 c2a2)-a4-b4-c4=(a b c)(a b-c)(b c-a)(c a-b),得(a b c)(a b-c)(b c-a)(c a-b)>0,即(a b-c)(b c-a)(c a-b)>0.若上式左边有两个因式为负(另一个因式为正),例如,若a b-c<0,b c-a<0,两式相加得b<0,这…     

一个有用的对数恒等式

中学阶段所有对数恒等式均可由基本恒等式N=a^logg^N…(1)简洁而迅速地推导出来，且便利于记忆。     

反函数恒等式的成立条件及其应用

f[f(x)=?,f^-1[f(x)]=?,f{f^-1(x)=f^-1[f(x)]成立吗?在学习了反函数知识以后，常有学生提出这类问题、下面我们来探讨一下这几个有趣而重要的式子．     

一些新的代数不等式与恒等式

引理1 若x,y为满足x y=1的实数,则x y2=x2 y≥(3)/(4).     

由一个恒等式问题引发的思考

在文献[1]和文献[2]中，有这样一个经典的代数条件恒等式： 问题1已知abc=1，求证：a/ab＋a＋1＋b/bc＋b＋1＋c/ca＋c＋1=1.     

一个绝对值恒等式的运用

命题　已知 a,b∈R,则| a| | b| =max{| a b| ,| a- b| }.证明　若 ab≥ 0 ,则| a| | b| =| a b| ,此时 | a b|≥ | a- b| ;若 ab<0 ,则 | a| | b| =| a- b| ,此时 | a b| <| a- b| .∴对于任意的实数 a,b,都有 | a| | b|=max{| a b| ,| a- b| }.下面举例说明命题中所述恒等式的运用 .例 1　解方程| 2 x- 1 | | x- 2 | =| x 1 | (x∈R) .解　由命题知 | 2 x- 1 | | x- 2 |=max{| 3 x- 3 | ,| x 1 | }=| x 1 | ,∴ | x 1 |≥ | 3 x- 3 | ,两边平方整理得 2 x2 - 5x 2≤ 0 ,解得　　 12 ≤ x≤ 2 ,∴原方程的解集是 {x…     

一个恒等式的应用

(x21 y21)(x22 y22)=(x1x2 u1u2)2 (x1u2-x2y1)2--这是一个常见的恒等式,我们不少人却对它熟视无睹,更谈不上应用它来解题了.本文举例说明它在解析几何中的应用.