1986年全国高中联赛第二试第二题必要性的几种证法

题:己知锐角三角形姓方口的外接圆半径是R,点D,E,F分别在边刀C,C月,AB上. 求证:AD,刀皿,口尸是△了飞刀c的三条高的充要条件是乙尸AB,乙A召刀.又B,c,刀,F四点共圆:.艺ACB,匕通F刀.乙尸AB,艺AF刃.:.p口//F刀,OA土FE.s二旦一(刃F、FD一{一。: 匕:.名四边形。E人r 1。二二:.~;犷嘴、声 匕生·刃F式中刀是△」BC的而积 证明:设刀四边形。创m_鱼一艺O刀。FDS四边形。DcE 1二~百()子少. 心D刃//"△AB口的外接圆的圆心为。,三个内角为J‘1、B、C,B口““,口_1二b,_注刀“c. 丫沙、一1刀C是锐角三角形, .’.点O在△」B口内.从…     

第二题

(必要性证明) 【证法一〕因△ABC为锐角三角形,故它的外接圆心O在△A石亡,内.于是 S△,。c=50;注F SoF刀。 Sozoc七. 过点刀作④O的切线尸Q,贝}IOA上尸。, 乙尸AB“乙AcB. 又B,C,E,F四点共圆,:’匕月CB=艺AFE,艺尸AB二艺AF五. .’.尸Q 11 FE.则。A土F石. :·“口,月*一;0“EF 同理“。pB。一;。‘·FD, ‘。D。,二一三oc .D五 。_。、2-- 从而s。,。二令(。A .EF 。B.FD 。c.OE) 分、”幼一.月习专?、一--一一’一一-一’一~一一尹 R,一___一、 .下戈乙厂 户I,十Lj己). ‘ [证法二〕设O为△ABC的外心,连AO并延长交…     

边长是连续整数的三角形的性质

《、卜学教研》(数学),2年第2期!8页刊登一道赛题及其解答如「: 如图I,△,落邢只边的长分别是邵一17,‘飞一18,月刀=l勺,过△月留l勺的点p向△A欣少的三边作垂B线,PD、朋、即(D、召、F为垂足),且刀D十‘刀+寿’- I)图l27,求刀D+脚’的长. (第五肠全囚部分省、市初中数学通讯赛试题) 解:连结剐、朋、八了.由全」股走理得: 刀护+C刀2+月FZ 一尸BZ一尸护+尸(咫一尸尸+尸矛一尸尸, 刀尸+月解+C拼 二尸牙一尸j’z+尸矛一尸尸十P(夕一尸护, 刀I尸十C刃2十月尸一刀尸+月解+亡解 =刀矛’2+(18一(了E)2+仁17一刀D)2.整理得形,+阶t2一182十17…     

梯形中面积的两个结论推广到空间

生理1搜盯、川月斌s△,。。二S△:。。二了了石而忑云丧石叫.)1/、农禅形月BCD中,月B// CD,对角线之于点O,没△DOC、△AOB、△召OC、形刀BCD的面积分别为S:、52、53、S‘、乡人s二,。。一昌‘s△B。。则:(z) (2)53二54二了万万不一;S=(护了、+了瓦)2.(图1)一普‘、。痴矛瓦获;蕊;一湃店赢;、瓦扁P 证明从略.本文将定理1推广到三维空间中去,从而使我们i尽拍日1味到数学内在的结构美. 定理2扭匹}棱锥尸一月BCD中,AB刀CD,AC、B必目交于点0.三棱锥尸一AOB、尸一c0D、尸一BOC、尸一OOA、四棱锥尸一ABC刀的体积分别为犷1、VZ…     

两道赛题的巧证

如图1,且刀二B五、C尸是锐角△ABC的三条高线,R是△ABC外接圆半径,S是△且刀C的面积.则△DEF的周长与面积分别是:4Rsin姓sinBsinC,ZSeosAeosBeosC.证明:.:△A刀F的.J_。.E尸AE△ABC,:.景升二福若二。。sA。‘二一,二Bc AB-一EF一BCeosA一ZRsinAeosA·RsinZA,S△,二尸一SeosZA乃同理可证:尸D二RsinZB,已有证明,故不再重复. 运用以上周长与面积公式,可以简捷地证明下列两道高难度的平几题. 例1(86年全国高中数学联赛题),已知锐角△且刀C的外接圆半径是R,点D、E、F分别在边BC、CA、月刀上.求证且刀、BE、CF是△且…     

数学单元测试题（课标人教版）

一、填空题(每题3分，共3o幻1.如图1，△ABC哭△刀召刀，AB=刀乙乙E二乙ABC，则乙c的对应角为_一，BD的对应边为_. 2.如图2，根据sAs，如果月B=Ac，_=_，即可判定△ABD鉴△ACE. 3.在△A Bc中，乙A=900，‘刀是乙C的平分线，夕讨B于刀点，DA=7，则刀点到BC的距离是4.如图3，△A召C中，乙C=goO沐C绍C，注D平分乙CA刀交刀C于点刀，DE土AB于点E，AB=1 Ocm，则△DEB的周长是_. 5.在△ABC和△刀君尸中，乙C=乙F=90o，AC二DF，若要证△ABC哭△DEF，则需增加一个条件为泻出三种情况)_. 6.如图4，AD是△ABC的高，A刀二…     

梅涅劳斯定理及其应用

(本讲适合初中)1梅氏定理及其逆定理1·1梅氏定理一条直线截△ABc的三边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F,则刀DC五AF一.一-一二二._刀C石A FB=工。证法一(平三二*一‘/月BD_S△FBDDes全;ne’CE_S△cE,_S△cED石亘一s△丽蔽一亏乙而石,仁里=芝叠‘些迎土S全卫旦D=逻些卫卫少刀且S△人;:+S△人EDS△人;D,AF_S么人牙D尸丑S△二BD,BDDCCEEAAF_;乡石一人·行线成比例法) 如图1,过C作CK才AB,交FD于K,则1·2梅氏逆定理在△ABC的边B矶CA,AB或其延长线上分别取点D,刀,F.如果有BDDCCE AF刀AF刀“1,那么D,E,刀DDC_刀F…     

等腰三角形的一个性质及其应用

等腰三角形具有许多优美的性质,并为大家所熟知.本文将介绍等腰三角形的又一重要性质,并说明它的应用. 一命题及其证明 定理若D是等腰△ABC底边BC上的一点,则有: ABZ~ADZ BD·刀() 证明:如图1,作AH省土BC于点H,则有 ABZ一ADZ~BHZ一HDZ刀H DC图1月C.Z了D.DD‘DC. BD(BD一HD)2一HDZBDZ一ZBD·HDBD·(BD一ZHD)HB上取HD’一HD, AH上BC,:,BH~ BH一HD‘~月C一BD‘=DC. BD一ZHD=BD一 ~BD,= ABZ~ADz·刀C. 应用举例在由1.如图2,二例△ABC中,AB~AC,c引CD垂直AB,又由D万引D尸垂直BC,D、尸分别为垂足,…     

一道条件过强的赛题

题目(198弓,是△ABC内一点,△ABC为六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图中标出,求△ABC的面积。 通常解法是用美国邀请赛).如图,G直线月G,BG,C‘分共边三角形性质,列方程求x,封.但事实上,g△C。:二又斗为多余条件.试解如下:4一3 1一40一3040一AF尸BAGGDS乙入,。_S△B,。S飞人B。_S△B门D+303S考虑直线FC截△ABD于尸,涅劳斯定理,有21.‘,C,奄11}’子2一3 ︸一4一3 又i一z 一︸尸一BA一FD一GG一月些.GD.DC匹。壁二CB FA1, ”己万丑-山分比定理,丝些D二S也人ueB刀_1BC3故S却(“3S△妞D=31‘爪一道条件过强的赛…     

复平面内正n边形的一个充要条件

定理在复平面内,点A,对应复数二.,k~1,…,n.则Al…A二为正n边形的充要条件是艺z,一c卜。,1咦少‘月、万、_户22乙J孔二止一七.二“,1‘尹<盛‘.丫、么乙二,一C签二三.‘-JJ二,甘(,)l‘j<盖相似文献   

利用三棱锥计算空间距离

!题目】如右图:三棱锥尸“Bc中,已知烈IBc,刀,刀c=1、,尸才与Bc的公垂线段万“=力。求证:三棱锥p“Bc的体积犷=告12h. 此题是87年的一道高考题。它可以推广成下面的命题. 如下图:三棱锥尸叨BC中,川与BC所成的角为0,尸通=丹.尸‘一b,尸J与Bc的公垂线段ED二h。求证:三棱镬p书夕c的体积为!‘=告。吞j] 51,、夕。 证明:将夹角为0,且 C△JBc补成口才BcF,连结PF’,则PF与月的Bcll平面P月尸.故亡到平面川F的距离即为Bc 和平面PJF的距离。今B丫印上P,I,即上“,而刀c,,F \ 、P众…万DI才F,于是万刀l尸才F.故吓刊,。二玲一、、、一卜…     

中考探索性问题一例

题目如图1,八BCD为正方形,石、F分别在BC、CD上,且△八EF为正三角形,四边形八,B,C‘D‘为△八五F的内接正方形,△八‘五,F,为正方形八’召,C’D‘的内接正三角形.(1)试猜想粤坦卿与 、夕止万协几1义门万八一;;万宁一日勺。乙t右F大小关系,并证明你的结论; ,S不卞报刃尸尸,l),_,,八_、、,、_,,.仁艺少水,成巍扁而一明值·、‘”洲千盯冲”’明市中考题) 解(1)猜想S正方形八尸口DS正方形dBcDS△刃刀尸S乙月开容易证明Rt亡八BE呈里Rt△八DF,:。匕B八E一艺D八尸.在正三角形八EF中,乙E八F一6。“,图1·,.二B二E一告(9护一60。)…     

解三角形评估检测题

(45分钟)填空(共30分,每小题5分)1.△月BC中,若A:B,c二1:2:3,那么sinA二___,sinB二,s恤C二一一石2.锐角公的终边上一点尸到原点的距离是到,轴的2倍,则“i”a~,馆。二二3.在R才△ABC中,艺C二90。,若a~了丁,b=了了,则c=,乙刀.4.若△月BC的三边分别是2、5、了丽,则它的最大角是5.在△姓Bc中,若a=3,b~4,S△~3了了,那么/C=6.已知△且BC中 .a二4,b=8,A二30。,这个三角形有_解.二、选择题(共3。分,每小题6分) 1.如果月尸△ABC的一个内角.(A)et且g厄 (C)eosA·etg月.2.下列式子成立的是( (A)在△月BC中, (B)馆姓·c tgA~1.那么下列各式…     

全等三角形错解剖析

磷黔(镇江中考题)已知:如图AC上BC，DC一EC，AC=BC，DC二EC，求证:乙D=乙E.错证:在△左CE与△C召刀中，…AC一BC，DC一EC，A :.乙ACB二乙ECD二90。，AC=BC，DC=EC，:.△ACE哭△BCD，…乙D=乙E剖析:上面的证明中，错2)在△ADE和△BCE中，，..A刀:Bc，乙A=乙B，乙AED二乙召EC，…△ADE鉴△BCE. :AE=BE.麟已知△，。c和△，，。，c，中，，。= A‘B‘，AC动‘C，，如AD、A‘D‘分别是BC、B‘C，边上的高，且AD=A‘刀‘.问△A刀C与△A’B‘C，是否全等?如果全等，给出证明.如果不全等，请举出反例.错解…     

线段和差问题三例(初二、初三)

例1如图1,已知八C// BD,Dl、丑B分别平分乙CAB、乙刀刀A,CD过点E. 求证仍刀二AC十刀D. 证明在乃刀上截取AFcA,连结EF,‘「 在△以E和△以它中, 以=八F,’ 乙O气E二乙E片FjE所以乙八汇D 匕丑MC二900, 乙滩丑刀二乙万外夕C,GE~6欲叮.又匕八CB一450,乙八CP一90。,所以乙刀C尸一450.在△叼FC和△尸FC中, 乙月MC二匕尸,一月E,乙八CB一匕尸CBJ℃~石℃,△MFC望△尸FC小留二FP.所以△CAE望△F八E,乙C~艺AFE.因为以//BD,‘一「所以匕C十之D一180“, 乙EF刀~180已一匕莎E二匕D.在△EF刀和△EDB中, 乙EF刀二匕D,所以…     

双管齐下、一箭双雕在几何证题中的妙用——从梅氏定理谈起

众所周知,梅氏(Menelaus)定理:一直线l截△ABC三边AB、AC、刀C或其延长线分别于D、E、F三点,如下图甲、乙,_._BF CEA刀侧{右孚认·舀币·斋云二1.州月Fc’EA一刀B一上’CG,AB昌令{①②③.今△F‘C。△FDB△GCE。△DAEBF刀B厂’C一GCCE‘CEA一AD/‘‘.沪l古t、l、;代B尸万’C、-之、rB乙二-~~~曰.人一----~~盏下C占L①·②得③·韶,CE DBEA一AD刀FFC CE AD’￡A’万B 甲‘ 其中直线l叫做梅氏直线,D、E、F叫做梅氏点,在证明时所作的辅助线叫做梅氏辅助线。 证明一:平移AB至CG处如图一甲、乙。刃~一一份r二、…     

一道初中数学联赛题的几种证法

l,,2年全国t]J‘{,数学联赛题: 如i冬}l,在乙娥一‘},,月矛‘二,丫一,z)点,刃是线段月刀士一点.且‘产认方二 求证:RI)一2口). 证法一:在刀召卜取一点F,使阶’=八召.连结办’,则有/扛、、。一匕、4刃一}一匕月B*,/,是底边理上一2艺厂盯)~匕沌 月刃一El.’二6F, 占乙。II,=万/研,, 泞八、,店一25叨, 兰业竺一兰卫:竺 泞八解I一s八从「雀’S八,。‘十.勺广、‘、I泞八,。‘斗一泞八、。S八‘、,,S广肋‘召八Kc廿、泞八解。_、广人加, 万乙‘。乙J一厂刀4刃一小一匕了、月六. 乙刀肋二‘击万J 了4刀}’二乙‘月八 △‘妨F里△‘方1刃. …     

数学单元测试题第十四章轴对称（课标人教版）

一、精心选一选(每题2分，共20分) 1.观察下列图案，是轴对称图形的是应了口△令图1 2.如图2所示的正五边形中，以A声为对称轴，则图中对应相等的角有A.2对B.3对C.4对D.1对，二令、、.产、、产了刀、了‘、F图2图3 3.从轴对称的角度来看如图3的四幅图案，你觉得比较独特的一幅是4.已知点P(一2，1)，那么点尸关于二轴对称的点尸的坐标是A，尸(一2，1)B.尸(一2，一l)C.P’(一l，2)DP’(2，l) X尸叹、.4 V少J月....1，，月...J工皿王5.如图4，将△ABC变换到△A’B‘C’的位置，则你从图中观察发现下列说法正确的是() A.△A BC与△A…     

错解辨析

题目如图在边长为1的正方体中,试计算多面体s,二S△A、B、o;一告、A!D 1 xA、B:AF二ZFB,A刀二ED,AEF一A:D:B:的体积. 解法一多面体AE尸一A、D:B、的体积,根据棱台的体积公式得 S上=S△AEF二专·,·;=告,”=A,:·‘,台AEF一人,D声:二合““上十讶了互万、:下)二扣份了再·韵=如了了一珑一解法二如图因平面AEF//平面 1=丁 1xAE义AFA,B,D:,且多面体AEF一A、D、B,的所有顶点都在这两个平面内 故多面体AEF一、生、擎二李.A,D,B,为拟柱体,过AA、的中点A。作中截面A。E。F。,如右图。由于A。万。//A:D::月。尸。//刀,B…     

每期一题

题:如图,角形,尸、Q、试证△尸QR亦是正三角形 (芜湖市1983年高中数学竞赛试题)。 设ABC、A尸B,C产是二正三R分别是AA‘、BB‘、CC‘中点,图1 证法1(位似缩小加旋转)连A‘B、A‘C,E、F分别为其中点。连尸石、QE,pF,刀F,EF。利用三角形中位线定理,易知△pEF是△ABC的位似图形,A‘是位似中心,相似比为一含。 ,.’ pE=寺月B二一参月C==尸F, QE=士A/B‘二一吞一A‘C/二RF,又PE与PF交角为60。,EQ与FR交角为心 .’.以p为顶点,将△pOE旋转600,即与△PRF重合,故此二三角形全等。(或证匕尸EQ=匕PFR:如图2,延长OE交RF延长…