非对称式求值的一种方法

已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为实数,不解方程,求这两个根组成的代数式的值.这是根与系数的一种极为重要的应用,但课本中出现的代数式都是关于两根x1、x2的对称式.所谓关于x1、x2的对称式,是指在代数式中,将x1换成x2,x2换成x1,代数式的值不变.这样的代数式称为关于x1、x2的对称式,如x1x22+x2x12,x13+x23,(x1-x2)2等.如果要求值的代数式不是关于x1、x2的对称式,如x12-3x2,x23+4x12等,如何求它的值?这里介绍一种配偶法.     

利用对称式解中考题

若x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,应用根与系数的关系,可不解方程直接求代数式等的值.这类代数式,都有一个共同的特点,互换字母x1、x2后,原代数式不变,则称它为一元二次方程的根的对称式.本文将从两个方面谈对称式在中考中的应用.     

配方法在中考中的应用

配方是代数式的恒等变形之一,是一种重要的数学思想,有着广泛的应用.一、求代数式的值例1(2012年日照卷)已知x1、x2是方程2x2+14x-16=0的两个实数根     

利用判别式解题

一元二次方程根的判别式主要用于判断方程根的情况,灵活运用它还可以解决其它问题.一、用于求值例1如果代数式(2m-1)x2+2(m+1)x+4是完全平方式,求m的值.解:∵代数式(2m-1)x2+2(m+1)x+4是完全平方式,∴(2m-1)x2+2(m+1)x+4=0有两个相等的实数根.∴△=〔2(m+1)〕2-4×4(2m-1)=0.解之,得m=1或m=5.二、用于求最值例2已知a、b都是正实数,且a3+b3=2,求a+b的最大值.解:设a+b=k,则b=k-a,将b=k-a代入a3+b3=2,并以a为主元整理,得3ka2-3k2a+k3-2=0.∵a是正实数,则关于a的方程必有实数根,∴△=(-3k2)2-12k(k3-2)≥0,解得0相似文献   

对一道分式求值题的思考(初二)

题已知x2-3x 1=0, 求x2/(x4 3x2 1)的值. 求代数式的值,常用的方法是先求出代数式中所含字母的值,再代入代数式进行计算,求得结果.但对于本题,要由已知等式求出x的值,对于初二同     

如何求两根非对称式的值

设一元二次方程a扩+bx+‘一。(。护O)的两个实数根是xl、二:,利用根与系数的关系,我们可以求关于两根对称式(如x,2+x22,x,3+x23,生+生等)的值.(所谓关于xl、xZ的对称式,是 Xl XZ在代数式中将助换成x:、x,换成x,,代数式不变,这样的代数式称为关于xl、x:的对称式)如果关于两根的代数式不是关于x;、x242一第二课堂一的对称式,如xl3一x23,x,4一7x2,x、这里介绍几种常用的方法. 一、转化为关于两根的对称式 1~-卜~,二节全, J2如何求它们的值呢?如xl一x:不是关于x:、x:的对称式,但 x、一xZ一士了(x,一x:),,而了(xl一x:)’是关于x,、xZ的对称式…     

非负数的应用

非负实数有一性质:如果几个非负实数的和为零,则其中每一个非负实数必为零,在解题时,如能灵活运用这一性质,会给解题带来方便。 1.求代数式的值 这类题目常常是由非负数的性质,求出代数式中字母所表示的值,然后再代入代数式进行计算。     

巧用判别式求代数式取值范围

众所周知,如果一元二次方程有实数根,那么判别式△≥0．我们可利用这个性质求代数式的值或取值范围．它的基本思路是由已知条件构造一个有实数根的一元二次方程,然后利用判别式列关于所求代数式的方程或不等式,从而求出代数式的值或取值范围．     

例释求代数式的值

求代数式的值是初中数学非常重要的代数问题,它题型多样,形式多变,是培养学生多向思维和创新能力的一种重要题型。其“代入”思想是解题的主要思想,代入技巧的掌握可以有效地培养学生分析问题的能力和极大地激发学生学习数学的兴趣。1已知字母的值,求代数式的值———基本题型这类题型主要采用单项式代入法例1,已知:a=-1,b=-2,c=21,求代数式4ac-b2值(解略)2未知字母取值,求代数式的值2.1利用已知条件求出字母的值———采用单项式代入法2.1.1利用解方程(组)求字母的值例2,已知:a-2=0,求代数式(3-a)2-2(a-1)+3的值。分析:由a-2=0,可得a=2,代入原式即可求值。例3,已知:(x-2)2+︱x-2y︱=0,求代数式3x一2y2的值。分析:由非负数的性质可知.xx--22y==00得xy==12再代入求值。2.1.2利用因式分解求字母的值。例4,已知:a2-b2+2b-l=0,求3a2-2b2的值。分析:由已知利用因式分解可得(a+b-1)(a-b+1)=0再利用性质“若ab=0,则a=0,或b=0”得到a+b-1=0a-b+1=0即可求出ab==10再代入求值。2.1.3利用概念求字母...     

根与系数的关系的应用

如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,则有x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a.现以2012年各地中考试题为例,说明根与系数的关系的应用. 一、已知一元二次方程,求两根关系式的值 例1 (2012年日照卷)已知x1、x2是方程2x2+14x-16=0的两实数根,那么x2/x1+x1/x2的值为____.     

一元二次方程中的数学思想

一元二次方程是初中数学的重要内容,也是中考的热点.下面以2013年中考题为例,说明一元二次方程中常用的数学思想. 一、整体思想 例1 (2013年黔西南卷)已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则代数式a2+b2+2ab的值是____. 解析:∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根, ∴12+a+b=0,∴a+b=-1, ∴.a2+b2+2ab=(a+b)2=(-1)2=1. 温馨小提示:本题主要考查一元二次方程解的概念,把根直接代入方程,即可求得a+b的值,然后整体代入求出代数式的值.     

变,就有出路

题目:已知x2-3x 1=0,求X2/(X4 3X2 1)的值.求代数式的值通常是先求出代数式中所含字母的值,再代入所求代数式进行计算,但看到此题之后,感到无从下手,因为要想从条件x2-3x 1=0中求出x的值很难办到(八年级没有学习一元二次方程).怎么样才能解出这道题呢?我想只有另辟蹊径,于是我开始专心地用不同的方法进行探索和尝试,终于把题目解答出来.     

掌握一题解法 避免一类错误

例方程(m-1)x2-m~(1/m)+1=0有两个不相等的实数根x1、x2.(1)求m的取值范围;(2)是否存在实数m,使x12+x22=4/9.若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.错解:     

利用根的定义解题初探

数学的定义是建立数学大厦的基石,求与一元二次方程的根有关的代数式之值的问题时,若能恰当地用根的定义来解,则简捷明快,事半功倍.一、求代数式的值例1若m、n是关于x的方程x~2+(p一2)x+1=0的两个根,求代数式(m~2+mp+1)(n+np+1)的值.析解若展开变形求解,则相当繁冗.但依题意易想到方程根的定义,有m~2+(p-2)m+1=0,n~2+(p-2)n+1=0.再观察待求式,又可想到将此二式继而变形为m~2+mp+1=2m,     

巧用特殊根“1”解题

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当有一个根是“1”时,根据方程根的定义得a+b+c=0,反之,如果a+b+c=0时,方程的根又分别是什么呢?证明:∵a+b+c=0∴b=-a-c则ax2+bx+c=0变为ax2+(-a-c)x+c=0可分解为(ax-c)(x-1)=0解得:x1=1x2=ac也就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,当a+b+c=0时,有一个根是1,另一个根是c/a,借这个特殊性质来巧解题。1、巧求一元二次方程的两个根例1解关于x的方程:mx2-(m-n)x-n=0(m≠0)解:∵m-(m-n)-n=0∴x1=1x2=-(mn).2、巧求代数式的值已知:一元二次方程(ab-2b)x2+2(b-a)x+2a-ab=0有两个相等的实数根,求1a+1b的值。解:方程(ab-2b)x2+2…     

巧用根的定义求代数式的值

关于一元二次方程的根的代数式求值问题,有时只用根与系数的关系求解,计算会很繁难,甚至无法解答。而借助方程根的定义,则可迎刃而解。 一、直接应用方程的根的定义,采用整体代入法求值 例1 已知a是方程x~2-3x+1=0的根,试求代数式(a~3-3a~2-2a)/(a~2+1)的值。     

一类含方程根的代数式求值问题

<正>各地中考试卷中经常出现含有二次方程ax2+bx+c=0 (a ≠ 0) 的两个根x1、x2的代数式求值问题.常见的题型有两类:一类是关于x1、x2的对称的代数式的求值;还有一类是关于x1、x2的不对称式的求值.下面分别举例向同学们介绍求解这两类问题的方法,希望同学们能够从中受到有益的启示,从而提高解题技能与技巧.一、求关于x1、x2对称多项式的代数式的值例1 已知二次方程2x2-3x-2=0的两根为x1、x2,不解方程,求代数式     

习题引出的思考

题目:阅读问题与解答,然后回答问题: 关于x的方程k2x2+2(k-1)x+1=0有实数根。(1)求k的取值范围; (2)如果这个方程的两个实数根的倒数和的平方等于8,求k的值。解:(1)△=[2(k-1)]2-4k2=-8k+4>0,所以k<1/2     

巧求代数式的值

在代数式求值运算中,把所求代数式尽量化简或将已知条件适当变形,然后直接或间接求值,可达到巧算的目的。一、利用已知条件进行适当变形直接求值。例1已知:x y=10,x3 y3=100,求x2 y2的值。分析:如果由已知列方程组,求出x,y的值,再代入求值较为繁杂。我们利用已知条件适当变形,即可简单求值。     

巧用判别式求解代数式的最值问题

<正>在各类初中数学考试中,常常会遇到求最值问题.其中某些求代数式最值问题,若能根据已知条件,构造一元二次方程,利用根的判别式求解不失为一种有效的方法.下面举例说明,供参考.例1已知x,y都是实数,并且适合方程x²-xy+y2-xy+y²-2x-2y+3=0,求x+y的最大值与最小值.