《数学》第三十一讲 代数初步知识的教学(下)

四、简易方程的教学小学生在已学过求等式中的未知数X、用字母表示数和数量关系之后,再学习简易方程的概念和解法,并不是十分困难的。在这部分知识的教学中,一定要使学生对方程、方程的解和解方程等概念有较清晰的认识,并能熟练进行简易方程的求解。在以后分数、比例的教学中,还要进一步巩固和提高解简易方程的技能。安排在小学数学中的方程内容是非常简单的,仅出现形如x±a=b,a土x=b,ax=b,ax土b=c,b土ax=c,x/a=b6等方程,故此称为简易方程.     

怎样解形如ax±b±c=d的方程

解方程或求未知数X,在小学数学中占有一定比例。其中形如ax±b±c＝d的方程,对没有接触过正负数的小学生来说,除了某些特殊情况外,一般无法解出。F面就这类方程的解法作一探讨。这样的方程一般可从整体着手,运用加减关系先求axtb,再求ax,然后根据乘除法关系求出五。即由axtbtc二d,得出axtb＝d干c。这里会出现一个问题：当原方程中C前为加号时,如果d＜C,那么d－C将超出小学数学的范围,给学生解题带来困难。怎么办呢？可采用以下两种方法;一是运用交换律;二是根据情况,用关系式a－b＋c＝a－（b－c）或a＋b－c＝a－c＋h二a－（…     

含有[X]或{X}的方程的解法

针对含有[x]或{x}的方程，给出形如[ax b]=cx d的解法；{ax b}=cx d的解法；[ax b]=cx^2 dx c的解法；以及同时含有[x]及{x}的方程的解法。     

由f(x)=f~(-1)(x)到f(x)■af~(-1)(ax+b)+b

关于方程f(x)=f~(-1)(x)的解法,已有好几个杂志对它进行了探讨,这里我们来进一步探讨f(x)(?)af~(-1)(ax+b)+b的解法。定理1 若f(x)在定义域上严格递增,其值域为R,a>0,则 f(x)af~(-1)(ax+b)+b与f(x)■ax+b同解。证明这里仅证f(x)>af~(-1)(ax+b)+b与f(x)>ax+b同解,     

用导数求函数f(x)=ax+(b/x)的最值

函数f(x)=ax (b/x)是近年来高考应用题的数学模型之一,主要是求它的最值.一般的解法是根据单调函数的定义来判断其增减性,再利用函数的单调     

构造方程 巧妙求解(初二、初三)

一元二次方程中有不少求值的问题,这类问题中量与量之间的关系不是十分明显,如果能利用一元二次方程根与系数关系构造方程,就能比较清楚揭示内在关系易于获解． 1．由根的关系求方程例1 已知方程x2 ax b=0的两根分别为x1,x2,且x13 x23=19,x1 x2=-1,求此方程． 解     

“含有字母系数的一元一次方程”的解法

用字母表示数是代数的一个重要特点.它可以把数或数量关系简明地表示出来.如“一个数的a倍(a≠0)等于b,求这个数”,用x表示这个数,可得方程ax=b(a≠0).其中x是未知数,a和b是用字母表示的已知数,a是x的系数,叫做字母系数,b是常数项.这种方程叫做字母系数方程。我们用它来表示一元一次方程的标准形式,但这里的a、b是具体的     

二次函数与一元二次方程联袂解题

二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)和一元二次方程ax2+bx+c=0有着密切的联系.对于二次函数或一元二次方程问题,我们依据题目的特征,灵活处理,则能使某些问题得到简捷、巧妙的解决. 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的根、判别式△=b2-4ac的符号关系如下表: 一、求方程的根 例1(2014年柳州卷)小兰画了y=x2+ax+b的图像如图1所示,则关于x的方程x2+ax+b =0的解是().     

让我们的解题教学更自然

<正>本刊2010年第7期刊登了刘薇老师的《一道竞赛题的三种解法》,题目是这样的:设实数a,b使方程x~4+ax~3+bx~2+ax+1=0有实根,求a~2+b~2的最小值.刘老师给出了本题的三种解法,笔者受益匪浅,同时又深受启发.首先对方程两边同除以x~2得x~2+ax+b+a/x+1/x~2=0,这是文中所给三种解法的前提,这个变形对学生来说,要求是非常高的.对于     

线段图在解形如ax±x=b方程中的妙用

解决数学题时,作图是常用的利器,如集合图、线段图、象形图等。学会画图,是形成解题谋略的基础,尤其是线段图,在解形如ax±x=b的方程中发挥着巨大的作用。     

一道流行题的错解分析

问题不等式(1)/(2)≤(ax2 3x b)/(x2 1)≤(11)/(2)对一切x∈R恒成立,求a、b的值. 这是许多数学资料都选为范例或典型练习的一道题,主要解法如下:     

巧用特殊根“1”解题

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当有一个根是“1”时,根据方程根的定义得a+b+c=0,反之,如果a+b+c=0时,方程的根又分别是什么呢?证明:∵a+b+c=0∴b=-a-c则ax2+bx+c=0变为ax2+(-a-c)x+c=0可分解为(ax-c)(x-1)=0解得:x1=1x2=ac也就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,当a+b+c=0时,有一个根是1,另一个根是c/a,借这个特殊性质来巧解题。1、巧求一元二次方程的两个根例1解关于x的方程:mx2-(m-n)x-n=0(m≠0)解:∵m-(m-n)-n=0∴x1=1x2=-(mn).2、巧求代数式的值已知:一元二次方程(ab-2b)x2+2(b-a)x+2a-ab=0有两个相等的实数根,求1a+1b的值。解:方程(ab-2b)x2+2…     

含字母系数的一元一次方程的解法

含字母系数的一元一次方程的解法和数字系数的一元一次方程的解法完全相同,即通过去分母、去括号、移项、合并同类项,将其化成ax=b的形式.当(1)a≠0时,方程有惟一解:x=b/a;(2)a=0,6=0时,原方程成为0·x=0,方程有无穷多个解;(3)a=0,b≠0时,原方程成为0·x=6≠0,方程无解.     

一次同余式的另一解法

关于一次同余式ax≡b(modm)解法,在“初等数论”的书中,一般都转化为解二元一次不定方程ax+my=b.本文将类比一元一次方程的解法,介绍一次同余式的另一解法.对于同余式的概念和同余式的性质,设想读者已知,这里不再赘述.定义1 设a,b是整数,且m不能整除a,形如ax≡b(modm)的式子称为模m的一次同余式.如果整数c使ac≡b(modm)成立,称x≡c(modm)为一次同余式ax≡b(modm)的一个解.求出所有的适合一次同余式ax≡b(modm)的x的值,称为解一次同余式.     

一道竞赛题的三种解法

<正>问题设实数a,b使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0有实根,求a2+b2的最小值.这是一道高中数学竞赛题,根据有关一元四次方程的理论,一般是把一个一元四次方程的求解问题转化成一个一元三次方程或两个一元二次方程的求解问题.因此,降次是首要目标.     

一个容易忽视的解(高一、高二、高三)

题a、b为常数,且a≠0,函数f(x)=x/(ax+b),同时满足条件: (1)f(2)=1; (2)方程f(x)=x有唯一的解.求a、b的值.     

让学生真正成为学习的主人——一道习题变式的教学实录

课堂教学实录高三复习反函数一节时 ,我举了以下例题 :问题 :若点 (1 ,2 )既在函数 y =ax + b的图像上 ,又在其反函数的图像上 ,求 a、b的值 .这本是一道高考题 ,选题的目的是复习互为反函数的两个函数的图像关系 .一种解法是先求出 y =ax + b的反函数 y =1a(x2 -b) ,然后把 (1 ,2 )点分别代入两个函数解析式中求解 ,另一种解法是考虑到 (1 ,2 )和 (2 ,1 )点同时在函数 y =ax + b上 ,因此 ,把 (1 ,2 )和(2 ,1 )点的坐标都代入函数 y =ax + b的解析式中求解 .变式 :若函数 y =x -m与其反函数的图像有公共点 ,求实数 m的取值范围 .教师 :同前…     

关于三种常见方程形式的教学思考

课程改革对方程的教学提出了较高的要求。教师要注重学生理解与探索知识的过程,帮助学生真正掌握解方程的实质。给出ax+b=c、a-x=b、a÷x=b等几种方程类型的解法,培养学生从方程角度思考问题的习惯。     

函数f(x)=(x~2 ax b)(1/2)±(x~2 cx d)(1/2)的最值

结论 1　若Δ1=a2 - 4b≤ 0 ,Δ2 =c2 - 4d≤ 0 ,则函数 f(x) =x2 ax b x2 cx d的最小值是 f(x) min=12 (-Δ1 -Δ2 ) 2 (a -c) 2 .证明 :因为Δ1=a2 - 4b≤ 0 ,Δ2 =c2 - 4d≤ 0 ,所以x2 ax b≥ 0 ,x2 cx d≥ 0 ,f(x) =x2 ax b x2 cx d =x a22 0 - 4b -a222 x c22 0 - 4d -c222 .求 f(x)的最小值即求两定点A - a2 ,4b -a22 、B - c2 ,4d -c22 到x轴上一点 (x ,0 )距离和的最小值 ,即求两点A′ - a2 ,- 4b -a22 、B - c2 ,4d -c22 之距 |A′B|.点A′与A关于x轴对称 .根据对称性 |A′B|=|PA| |PB|,在x轴上任取一点…     

错在哪里

题 已知函数f（x）=x/ax＋b（a≠0）满足f（2）=1，且方程f（x）=x仅有一解，求其解析式。