同余方程x~2≡a(modp~a)的公式解法

众所周知,p 是奇素数,a 是模 p 的平方剩余时,同余方程 x~2≡a(modp)的解可以用公式表达.本文利用文[2]中的平方剩余函数 r(m)推广了这一结果,把 a>1的同余方程 x~2≡a(modp~)的解也用公式表达出来了.     

计算正整数的素因数个数的一个方法

本文利用同余方程 x~2≡a(modm),(a,m)=1的解的个数以及这个同余方程的新的解法,给出了计算正奇数 m 的素因数个数的一个新方法。     

解同余方程x~2≡a(modp~a)的新方法

设 p 是奇素数,最大公因数(p,a)=1,本文给出了同余方程 x~≡a(modp)有解的新的充分与必要条件,而且还给出了求它的解的新方法.     

对费马大定理的初等证明与商高不定方程的一种新解法

本文通过一个简单的初等变换证明,若方程xn+yn=zn在n>2时有正整数解,则方程(p+1)n-pn=qn在n>2时必有正有理数解.但本文用一系列巧妙的初等方法证明,在n为大于2的奇质数时,后一方程确无正有理数解,从而断定费马大定理是可以用初等方法予以证明的.作为"副产品",本文还得到了一种商高不定方程的新解法.     

新的逐步淘汰法解同余方程x~2≡a(modp)

本文给出了一个新的逐步淘汰法,它把同余方程 x~≡a(modp),(p,a)=1化为不定方程1 2 3 … n=py d,o≤y

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与素数判定有关的三个命题

命题1若p为素数,则对于每一个m(0≤m≤p-1,且m为整数)均有Cpm-1≡(-1)m(modp).证明:(1)当m=0时,命题1显然成立.(2)当1≤m≤p-1时,1,2,…,m分别模p与-(p-1),-(p-2),…,-(p-m)同余.于是,有m!≡(-1)m·(p(-p-m1-)1!)!(modp),即(p(-p-m1-)1!)!≡(-1)mm!(modp).①因为p为素数,所以,(     

一类丢番图方程的解

本文给出了丢番图方程的全部整数解,并给出了这些解之间的关系.     

矩阵方程的几个研究结论

矩阵方程的定义可以从一般方程自然导出,从矩阵的行空间和列空间等浅显的知识出发得到关于一般矩阵 方程AX=B,A∈F~(m×n),B∈F~(n×p)是否有解?有多少解?它的解的结构如何等问题的完满结论.     

有限交换群中的方程的解及其个数

本文讨论了有限交换群中的方程x~n=a有解的条件及其个数问题,并把结果应用于同余方程x~n=a(modm),(a,m)=1,得到该方程的条件及其个数。     

关于同余方程XP+YP+ZP≡0(modP2)的整数解

设P为素数,利用初等数论方法研究了三元同余不定方程XP+YP+ZP≡0(modP2)的整数解问题;证明了同余方程X3+Y3+Z3≡0(mod9),X5+Y3+Z5≡0(mod25),X11+Y11+Z11≡0(mod112),X17+Y17+Z17≡0(mod172)均无整数解,并证明了同余方程X7+Y7≡Z7(mod72)仅有解;17+27≡37(mod72);X13+Y13≡Z13(mod132)仅有解113+213≡413(mod132)和213+513+613≡0(mod132);X19+Y19+Z19≡0(mod192)仅有解119+719≡819(mod192),219+319≡519(mod192),419+619+919≡0(mod192).     

关于丢番图方程x~3±8=Dy~2

利用初等方法证明了:若D≡19(mod24)为奇素数,则丢番图方程x3+8=Dy2无gcd(x,y)=1的正整数解;若D≡1(mod24)为奇素数,则丢番图方程x3-8=Dy2无gcd(x,y)=1的正整数解.     

费马商的推广及其应用

设p为奇素数,整数u与p互素,定义广义费马商为:Hp(u)≡uλ-1/(modp),其中λu为u(modp)的乘法阶。讨论了广义费马商的若干算术性质,并利用广义费马商构造两类伪随机二元序列,通过线性递归关系确定了序列的线性复杂度。结论表明,这两类序列具有高的线性复杂度,在序列密码中具有潜在的应用。     

关于不定方程x^2＋4^2n=y^3

利用代数数论的方法,证明了不定方程x^2＋4^2n=y^3其中n∈N,x≡1（mod2）,x,y∈Z）无整数解．     

关于Diophantine方程x~3-3~(3m)=Dy~2

设D是无平方因子正奇数.本文证明了:当D不能被6k+1之形素数整除时,如果方程x3-33m=Dy2有适合gcd(x,Y)=1的正整数解(x,y,m),则D≡7(mod 8),D的素因数p都满足了p≡11(mod 12),而且D的素因数个数必为奇数.     

关于不定方程x^3＋8=py^2的整数解的研究

设 p=3（8k＋5）（8k＋6）＋1）（k∈N 为奇素数,利用初等方法证明了不定方程x^3＋8= py^2无gcd（x, y）=1的正整数解的一个充分条件。     

关于Pell方程x2-2y2=-1和y2-pqz2=4的公解

对于Pell方程组x2-2y2=-1和y2-pqz2=4（p,q为两个不同素数）,证明了：当pq≡2（mod4）或pq≡3（mod4）时,方程组无解.并讨论了当pq≡1（mod4）时方程组解的情况.     

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关于不定方程y（y＋1）（y＋2）（y＋3）=19^2k x（x＋1）（x＋2）（x＋3）

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关于不定方程x~3±64=Dy~2的整数解

利用初等方法得出了:D≡1,19(mod24)为奇素数时,不定方程x3±64=Dy2无x≠0(mod2)的正整数解.