一道向量题的错解与剖析

例已知a=(1,2),b=(1,1),且a与a+λb的夹角为锐角,求实数λ的取值范围．错解:设a与a+λb的夹角为θ．则a·(a+λb)=|a||a+λb|cosθ．由 a+λb=(1+λ,2+λ),知a与a+λb均不是零向量,且θ为锐角,所以a· (a+λb)>0,即a·(a+λb)=1×(1+λ)+2×(2+λ)=5+3λ>0,解得λ>-5/3．因此所求实数λ的取值范围是(?) 剖析:上述解法看上去似乎合情合理,实际上是错误的,不妨取λ=     

Er(ClO_4)_3在DMF中无限稀释摩尔电导率的测定

在293K～313K温度范围内测定了Er(ClO4)3在DMF溶剂中的电导率,根据λ=(K液-K剂)×10-3/c公式求得Er(ClO4)3的摩尔电导率λ值,应用Kohlraush经验规则:λ=λ0(1-βc),使用Origin软件进行线性拟合,作图外推求得Er(ClO4)3在DMF溶剂中的无限稀释摩尔电导率λ0值,讨论了Er(ClO4)3在DMF溶剂中的无限稀释摩尔电导率与温度的关系     

数值计算问题举例

在数学竞赛中,经常遇到各类数值计算题,这类题一般数字冗繁,如果不运用合理的计算方法是很难获得正确结果的.现举例如下. 例1 求值 201224/20002~2-1999·2001. 解∵1999·2001=(2000-1)(2000+1)=2000~2-1, ∴201224/20002~2-1999·2001=201224. 例2 求值1995~3-2×1995~2-1993/1995~3+1995~2-1996 (1995年北京市数学竞赛题) 解原式=1995~2(1995-2)-(1995-2)/1995~2(1995+1)-(1995+1) =(1995-2)(1995~2-1)/(1995+1)(1995~2-1) =1993/1996     

走出溶液pH计算中的误区

例1 常温下将pH=3和pH=5的盐酸等体积混合,求混合之后溶液的pH为多少。(已知:lg5.05≈0.7) 错解1 pH=(3+5)/2=4。错解2 设两种盐酸的体积均为vL, pH=3,即c(H~+)_1=10~(-3)mol/L,据K_W·c(OH~-)·c(OH~-)=10~(-14)有c(OH~-)_1=10~(-11)mol/L。     

电子运动的速度有多大

电子是微观粒子,质量很小为9.1×10~(31)kg,但运动速度极快。现行部编高级中学第一册99页上说:接近光速(3×10(?)m·s~(-1))。一     

也谈液体分子的排列模型

读了本刊1992年第5期《对课本中阿伏伽德罗常数计算方法的商榷》一文,颇受启发,笔者结合教学中的体会也谈一点看法。 1 三种排列模型的估算笔者在教学中,学生对书本上阿伏伽德罗常数的估算,提出了三种不同的排列模型。 1.1 球体分子近似排列模型。计算方法与课本上完全一致,将分子看作弹性小球,每个分子占体积V=4/3πr~3=4/3π(2×10~ )~3=3×10~(29)米~3,因为1摩水的体积为V_A=1.8×10~5米~3,所以1摩中所含分子数: N_A=(1.8×10~5米~3/摩)/(3×10~(29)米~3)=6×10~(23)摩~1。 1.2 球体分子立方形排列模型。将分子看作小球,且分子间排列按立方体排列,则每分子在空间所占体积V=d~3=6.4×10~(29)米~3。所以1摩水中所含分子数为:     

巧用公式解题数例

巧用公式a~2-b~2=(a+b)(a-b) 例1.计算3·5·17…,…(2~2~(n-1)+1) 解:原式=(2-1)(2+1)(2~2+1)(2~2~2+1)…,…(2~2~(n-1)+1) =(2~2-1)(2~2+1)(2~2~2+1)…,…(2~2~(n-1)+1) …… =(2~2~(n-1)-1)(2~2~(n-1)+1)=2~2~n-1。巧用a~2+b~2+c~2+2ab+2bc+2ac =(a+b+c)~2 例2.计算5+6~(1/2)+10~(1/2)+15~(1/2)/2~(1/2)+3~(1/2)+5~(1/2) 解:由(2~(1/2)+3~(1/2)+5~(1/2))~2 =2+3+5+26~(1/2)+210~(1/2)+215~(1/15) =2(5+6~(1/2)+10~(1/2)+15~(1/2)) 得5+6~(1/2)+10~(1/2)+15~(1/15)=1/2(2~(1/2+3~(1/2)+5~(1/2))~2     

二溴羧基偶氮胂催化光度法测定水中痕量锰

研究了在NH_3．H_2O-NH_4Cl 介质中锰催化 H_2O_2氧化二溴羧基偶氮胂褪色的最佳条件。λ_(max)=565nm，表观摩尔吸光系数为2．6×10~4 L·moL~(-1)·cm~(-1)，线性范围为0～2．1 μg/25 mL。用于水样中痕量锰的测定，结果满意。     

例谈判别式的应用

大家都知道,判别式主要应用于判断一元二次方程根的情况,这类问题比较简单,下面介绍判别式其他方面的一些应用·一、求条件最值问题例1已知实数x,y满足x2-12y=0,求x-3y的最值·分析:运用设“k”法消去y,即可整理成x的一元二次方程·解:设x-3y=k,则y=x3-k,代入x2-12y=0,化简得x2-4x+4k=0,所以Δ=(-4)2-4×1×4k≥0,所以k≤1,所以x-3y有最大值为1,无最小值·例2已知实数x,y满足条件x2+xy+y2=1,求x2+y2的最值·解:设x2+y2=k,则x2+ky2=1,代入x2+xy+y2=1=x2+ky2,化简得(1-1k)x2+xy+(1-1k)y2=0·整理为yx的一元二次方程为(1-1k)(xy)2+(xy)+(1-1k)=…     

关于一元二次方程根的分布问题

1990年全国初中数学联赛第一试有一题:方程7x~3-(K+13)x+k~(2)-k-2=0(k 是实数)有两个实根α、β,且0<α<1,1<β<2。那么 K 的取值范围是什么?解此题时,许多同学出现了下列错误解法:解:∵0<α<1,1<β<2,∴1<α+β<3,0<αβ<2.根据韦达定理α+β=(K+B)/7,αβ=(k~(2)-k-2)/7依题意有(k+13)~(2)-4·7·(k~(2)-k-2)>01<(k+13)/7<30<(k~(2)-k-2)/7<2     

关于复合二次函数的极值问题

复合二次函数y=aφ~2(x) bφ(x) c(a≠0)的极值问题,在初等数学中占有非常重要的地位。先看一个例子: 已知x_1,x_2是方程x~2-(k-2)x (k~2 3k 5)=0(k是实数)的两个实根,x_1~2 x_2~2的最大值是(A)19,(B)18,(C)5 5/9(D)不存在。有人这样解:据韦达定理x_1 x_2=k-2,x_1x_2=k~2 3k 5,因此有 f(k)=x_1x~2 x_2~2=(x_1 x_2)~2-2x_1x_2=-(k-2)~2-2(k~2 3k 5)即 f(k)=-k~2-10k-6它二次项系数为负,因此有最大值 4ac-b~2/4a=4(-1)(-6)-(-10)~2/4(-1)=19     

巧算

竞赛中的计算问题,往往需要巧算. 例 (2001年“华杯赛”中学组一试第1题)计算1~2/1×3+2~2/3×5+3~2/5×7…+1000~2/1999×2001. 解上式中的一般项是k~2/(2k-1)(2k+1),其中,k是自然数1,2,…,1000中的任一个. 由于(2k-1)(2k+1)=4k~2-1,所以     

一般化策略在解题中的应用

1·一般化策略在求值中的应用字母相对于数字来说是一般形式,对于题目中含繁杂数字,可以利用一般化策略,用字母代替数字,寻求一般化规律,从而达到化繁为简的目的·【例1】若函数f(x)=12x+2,求f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值·解析:本题逐项求值是繁难的,由于自变量的值两两之和相等,即(-5)+6=(-4)+5=(-3)+4=(-2)+3=(-1)+2=0+1=1·这样的信息启示我们考察一般化情形即f(x)与f(1-x)间的关系·∵f(1-x)=12x-1+2=2+22x·2x,f(x)=22+2·2x,∴f(1-x)+f(x)=2x+22(2x+2)=22,∴f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=6×22=32.2·一般化策略在不等…     

拆项在解题中的应用

拆项是数学学习中重要的一种解题方法 ,它指的是将代数式中的某项有意识地变形成两项或多项的和。灵活地应用这种方法 ,可很好地利用有关的公式、定理和已知条件 ,从而使解题简便易行。一、用于有理数计算例 1.计算 9999× 9999+19999。解 :原式 =(9999× 9999+9999) +10 0 0 0=9999× (9999+1) +10 0 0 0=10 0 0 0× (9999+1)=10 0 0 0 0 0 0 0。二、用于分解因式例 2 .分解因式 x3 +2 x2 - 5 x- 6。解 :原式 =(x3 +2 x2 +x) - (6 x+6 )=x(x+1) 2 - 6 (x+1)=(x+1) (x- 2 ) (x+3)。例 3.分解因式 x4 +x2 +2 ax+1- a2 。解 :原式 =(x4 +2 x2 …     

考察特例 探求规律——中考中探求规律题的分类及解法

~~~不等号的右边是这两个数乘积的2倍,应是2ab郾故反映这种规律的一般结论是a2+b2≥2ab郾例5考查下列式子,归纳规律并填空:1=(-1)2×1;1-3=(-1)3×2;1-3+5=(-1)4×3……1-3+5-7+…+(-1)n+1×(2n-1)=郾(2002年广东省佛山市中考题)分析本题的关键是确定-1的指数,通过观察可知,第n个式子等号右边-1的指数是n+1,故横线处应填(-1)n+1·n郾例6观察下列各式:21×2=21+2,32×3=32+3,43×4=43+4,54×5=54+5……想一想,什么样的两数之积等于这两数之和?设n表示正整数,用关于n的等式表示这个规律为×=+郾(2002年北京市西城区中考题)分析等号左边是两个…     

分式通分的几种技巧

在分式运算中,常常要利用通分·若我们能细心观察、分析分式的结构特点,结合一定的通分技巧,往往可使运算简捷、准确·取得事半功倍的良好效果·一、整体处理后通分例1计算aa-31-a2-a-1·解:原式=aa-31-(a2+a+1)=a3-(a-a1)-(a12+a+1)=a3-a(a-31-1)=a-11·二、化积约分后通分例2计算x+2x3-3x-10-x2+x3-x2-10·解:原式=(x-5x)+(2x+2)-(x+5x)-(2x-2)=x1-5-x+15=10x2-25·三、分组结合后通分例3计算x-12+x2+1-x-21-x+12·解:原式=(x1-2-x1+2)+(x2+1-x-21)=4x2-4-x24-1=4(x2-1)-4(x2-4)(x2-4)(x2-1)=12x4-5x2+4·四、拆项相消后通分例4计算(x-11)…     

“复数”问题的解题方法和技巧

由于任何一个复数的n次方根都均匀地分布在复平面上以原点为园心的同一园周上,因而复数中的许多问题都留有“循环”的痕迹,例如i~(4k)=1,i~(4k 1)=i,i~(4k 2)=-1,i~(4k 3)=-i(K∈J),这里,±1,±i正好是1的四个四次方根;又如,若令ω=(-1 (3~(1/2)i))/2,则ω~(3K)=1,ω~(3k 1)=ω,ω~(3k 2)=ω~2,其中1,ω,ω~2正好为1的三个三次方根。所以,复数中的许多问题都有明显的规律性。另一方面,复数与几何、三角、解析几何都有密切的关系,这便     

例谈一元一次方程的解题技巧

解一元一次方程的一般步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.在熟练掌握解一元一次方程的一般方法后.对于一些一元一次方程,不拘泥一般步骤,根据其结构特征,灵活运用运算性质等往往可使问题化繁为简.例如:例1解方程①20x·-53-3x0-·22·4=3·08·1-x;②0·x4-0·180·+040·3x=3.解①22(2×x0-·35)-5(53x×-0·2·24)=101(03·×80·-1x),即(4x-6)-(15x-12)=38-10x.解得x=-32.②101×00x·4-1001(00·01×80+·00·43x)=31××44.即140x-18+430x=142,故10x-(18+30x)=12,解得x=-23.评析没有先去分母,而是根据分数的基本性质…     

在数列求和中不应省去“通项”

重庆市八二年非应届生高考预考题有一道3分的填空题: “无穷数列-1/3,2/9,-4/27,……的和为____”出题人的意图是a_n=(-1)~n·(2~(n-1))/3n,从而得到一个无穷递缩等比数列,于是, S=(-1/3)/1+(2/3)=-1/3·3/5=-1/5。     

和差换元法解一类初中数学竞赛题

和差唤元法就是设x=m+n,y=m-n进行代换的方法,利用这种换元法去解关于出现x+y,xy类型数学竞赛题时,往往显得简捷而巧妙,下面举例说明。一、用于计算例1 计算(31·30·29·28+1)~(1/2)。 (第七届美国数学邀请赛题) 解:设31·28=m+n,30·29=m-n。则m=869,n=-1。∴原式=((m+n)(m-n)+1)~(1/2) =(m~2-n~2+1)=m=869。二、用于求条件代数式的值例2 设a+a~(-1)=3,求a~3+a~(-3)的值。解:设a=m+n,a~(-1)=m-n,则