一个几何不等式的别证

设 P 为△ABC 内一点,a≤b≤c 为△ABC 的三边,则PA+PB+PC≤b+c.(1)这是单增老师书[1]§3的例题6,后又作为书[2]第36讲的例9;在证明时,前者用到了椭圆的性质,后者用到了向量的知识,都属于高中数学的范畴.     

一个几何不等式的简证

1991年3月,重庆第117中学何德岳老师发现了一个新的几何不等式:在△ABC中,有: sin~2 A/2+sin~2B/2+sin~2C/2 ≤1/4 3~(1/2)etg A/2etg B/2etg C/2etg.(1) 1992年10月,宁波大学陈计先生得到不等式(1)的一个加强形式:在△ABC中,有:     

一个几何不等式的简证

文[1]给出了关于三角形中线的一个不等式,即“在△ABC中,成立不等式 ab/m_am_b+bc/m_bm_c+ca/m_cm_a≥4,等号当且仅当△ABC为正三角形时成立。”下面利用上述结论证明文[2]中的一个几何不等式。题目设△ABC的重心为G,AG,BG,CG的延长线分别交三边BC,CA,AB于D,E,F,交△ABC的外接圆于A′,B′,C′,求证: A′D/DA+B′E/EB+C′F/FC≥1, 证明:设BC=a,CA=b,AB=c,AD=m_a,BE=m_b,CF=m_c。     

一个几何不等式的新证

设平面凸四边形ABCD的四边长分别为a,b,c,d,对角线AC,BD的长度为e,f,则a~2 b~2 c~2 d~2≥e~2 f~2 (1) 这是大家熟知的一个不等式。本文利用三角形中线长公式给出(1)的一种新颖别致     

一个几何不等式的简证

文 [1 ]中有这样一个不等式 :(bγ -cβ) 2 (cα -aγ) 2 (aβ -bα) 2(a b c) 2 <π24 .①其中 ,a、b、c为三角形三边长 ,α、β、γ分别为a、b、c所对的内角 .本文给出一种简单证法 .首先给出两个引理 :引理 1　aα bβ cγa b c <π2 .引理 2　若x∈ 0 ,π2 ,则tanx > .引理 1、2的结论易证 .下面证明不等式①成立 .式① (bγ -cβ) 2 (cα -aγ) 2 (aβ -bα) 2<π24 (a b c) 2 .由引理 1知(aα bβ cγ) 2 <π24 (a b c) 2 .故要证式①只须证(bγ -cβ) 2 (cα -aγ) 2 (aβ-bα) 2　 ≤(aα bβ cγ) 2 α2 (…     

一个几何不等式的加强及简证

设△ABC的边长为a、b、c,旁切圆半径为r_a、r_b、r_c,求证: bc/r_a~2 ca/r_b~2 ab/r_c~2≥4。（1） (《数学通报》1994年10月号问题920) 本短文将不等式(1)加强,并给出一个简单、快捷的证明。     

一个几何不等式

定理 设r_a、r_b、r_c、t_a、t_b、t_c分别为△ABC的旁切圆半径和角平分线长,则     

一个新几何不等式

定理　设Ｐ是△ＡＢＣ平面一动点 ,ＢＣ=ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ.则有ＰＡａ ＰＢｂ ＰＣｃ ≥ ∑ａ2∑ｂ2 ｃ2 . ( 1 )为证式 ( 1 ) ,先给出两个引理 .引理 1 [1] 　设ｘ、ｙ、ｚ∈Ｒ .在△ＡＢＣ中 ,有(ｘ ｙ ｚ) (ｘＰＡ2 ｙＰＢ2 ｚＰＣ2 )≥ａ2 ｙｚ ｂ2 ｚｘ ｃ2 ｘｙ . ( 2 )引理 2 [2 ] 　在△ＡＢＣ中 ,有ＰＢ·ＰＣｂｃ ＰＣ·ＰＡｃａ ＰＡ·ＰＢａｂ ≥ 1 . ( 3 )式 ( 2 )即著名的Ｋｌａｍｋｉｎ不等式 ,式 ( 3 )是我们熟知的Ｈａｙａｓｈｉ不等式 .定理证明 :在式 ( 2 )中 ,令ｘ =1ａ2 ,ｙ =1ｂ2 ,ｚ =1ｃ2 ,得　 Ｐ…     

一个新的几何不等式

定理 在四边形ABCD中,对x,y,z,w∈R~ ,则 xsinA ysinB zcosC wcosD     

介绍一个几何不等式

1.问题的提出 Walther Janous 1986年在Crux Mathen(?)aicorum,Vol.12,No.4上提出一个几何不等式: 命题一设三角形的三边为a,b,c,S=(a b c)/2,中线为m_a,m_b,m_c,则 1/m_a 1/m_b 1/m_c≥(3(3~(1/2)))/S. (1) 这样的不等式并不难构造,实际上,只要取一个关于a,b,c,对称的零次齐次函数F(a,b,c),算出它在a=b=c(即三角形     

一个新的几何不等式

本文先给出三角形的外接圆半径、内切圆半径与面积之间的一个不等式 .定理 1　若三角形的外接圆半径为Ｒ ,内切圆半径为ｒ,面积为Ｓ ,则Ｒｒ≥2 39Ｓ .证　设△ＡＢＣ的三边长为ａ、ｂ、ｃ,由Ｓ =ａｂｃ4Ｒ ,得　 1ａｂ 1ｂｃ 1ｃａ=ｃ4ＲＳ ａ4ＲＳ ｂ4ＲＳ=ａ ｂ ｃ4ＲＳ =ａ ｂ ｃ4Ｒ·12 (ａ ｂ ｃ)ｒ=12Ｒｒ,即　 1ａｂ 1ｂｃ 1ｃａ=12Ｒｒ. ( 1)∵　Ｓ =12 ａｂｓｉｎＣ =12 ｂｃｓｉｎＡ =12 ｃａｓｉｎＢ ,∴　 1ａｂ 1ｂｃ 1ｃａ=ｓｉｎＣ2Ｓ ｓｉｎＡ2Ｓ ｓｉｎＢ2Ｓ　　 =ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ2Ｓ .又易证　ｓｉ…     

一个几何不等式链

文[1]证明了如下不等式：     

一个高维几何不等式

本文将关于三角形几何不等式的一个猜想推广到n维欧氏空间E^n中的n维单形，从而建立了一个高维几何不等式，并推广了Gerber不等式。     

一个新的几何不等式

定理在△ABC中,角A、B、C所对的边为a、b、c,△为其面积,且x,y,z是任意实数,则 x^2＋y^2＋z^2≥4△√x^2y^2＋a^2b^2＋y^2z^2/b^2c^2＋z^2z^2＋c^2a^2     

一个新的几何不等式

本文利用两点之间的距离公式得出一个重要的新的几何不等式．     

构造二次方程证几何不等式

有一类几何不等式问题 ,我们可通过韦达定理的逆定理构造一元二次方程 ,再运用一元二次方程根的判别式进行证明。例 1　如图 1,已知 PT切○· O于 T点 ,直线 PN交○· O于点 M、N。求证 :PM+ PN>2 PT。证明 :由切割线定理 ,得PM· PN=PT2 ,　　　　　　 1又 PM+ PN=PM+ PN,2于是根据韦达定理的逆定理 ,由1、2可知 :PM、PN是方程 x2 - (PM+ PN) x+ PT2 =0的两个不相等的实数根 (因为 PM≠ PN)。∴△ =(PM+ PN) 2 - 4PT2 >0 ,即 (PM+ PN) 2 >4 PT2 ,　故 PM+ PN>2 PT。例 2　如图 2 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90°,又 …     

一个几何不等式的简证、加强与其它

1992年,杨学枝先生在文[1]中提出了下述有关三角形不等式的两个猜想:设r_1,r_2,r_3分别为△ABC内部任一点P至边BC、CA、AB的距离,则1/r_1~2+1/r_2~2+1/r_3~2≥12(1/a~2+1/b~2+1/c~2), (1)1/r_1r_2+1/r_2r_3+1/r_3r_1≥12(1/bc+1/ca+1/ab), (2)其中a、b、c分别表示边BC、CA、AB。最近,文[2]在否定(1)式的同时提出并     

简证一个不等式

设a,b,c,d,∈R_ ,求证:abc bcd cda     

一个新几何不等式链

文 [1]给出了一个有趣的几何不等式链 ｒｂｒｃｒ2 ａ≥ ｒｂｒｃｈｂｈｃ ≥ ｒａｈａ ≥ ｈｂｈｃｈ2 ａ≥ ｈｂｈｃｒｂｒｃ( 表示循环和 ,下同 ) ,并提供了一个猜想 ｈａｒａ ≤ 3Ｒ2ｒ,文 [2 ]否定了这个猜想 .笔者经过研究 ,得到了一个新的不等式 ,现以定理形式给出 .定理　在△ＡＢＣ中 ,设三边长为ａ、ｂ、ｃ ,外接圆半径 ,内切圆半径、半周长、面积分别为Ｒ、ｒ、ｐ、Ｓ ,三个旁切圆半径分别为ｒａ、ｒｂ、ｒｃ,三边上的高分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ,则　　　 ｈｂｈｃｒｂｒｃ≤ 3Ｒ2ｒ,①当且仅当是正三角形时取等号 .证明　…