从一道赛题谈二次函数在闭区间上的最值

二次函数是中学数学的重点内容，由于它能很好地考查学生的数学思想、方法和培养学生的数学思维能力，所以在高考和竞赛试题中经常出现．如2000年全国高中数学联赛(14)题：     

切割线定理在解析几何中的妙用举隅

初中平面几何中有切割线定理,该定理在高中数学中有许多巧妙应用、许多高考、高中数学联赛、模拟试题如果能够使用该定理,可以大大改进常规解法,减小思维量和运算量,为考试赢得宝贵的答题时间.下面举例说明切割线定理在解决平面解析几何有关问题中的妙用.1解决张角最大问题例1(1986年高考题)在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(原点除外)上给定两点A(0,a),B(0,b),试在x轴的正半轴上求一点C,使∠解AC析B取得最大值.本题有多种解法,但利用切割线定理十分简便.如图,过点A、B作一个圆与x轴的正半轴相切,切点C即为所求最大值点.事实上,对于x轴…     

塞瓦定理及应用

1　基础知识塞瓦定理　设A′、B′、C′分别是△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上的点 .若AA′、BB′、CC′三线平行或共点 ,则 BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B=1 .①证明 :若AA′、BB′、CC′交于一点P ,如图 1 (b) ,过A作BC的平行线 ,分别交BB′、CC′的延长线于D、E ,得 CB′B′A=BCAD,AC′C′B=EABC .又由 BA′AD =A′PPA =A′CEA ,有 BA′A′C=ADEA .从而 BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B=ADEA·BCAD·EABC =1 .若AA′、BB′、CC′三线平行 ,可类似证明 (略 ) .注 :对于图 1 (b)也有如下面…     

托勒密定理及应用

1　基础知识托勒密定理　圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积 .证明 :如图 1 ,四边形ABCD内接⊙O ,在BD上取点P ,使∠PAB =∠CAD ,则△ABP∽△ACD ,于是ABAC=BPCD AB·CD =AC·BP .又△ABC∽△APD ,有BC·AD =AC·PD .上述两乘积式相加 ,得AB·CD +BC·AD =AC(BP +PD) =AC·BD .①注 :此定理有多种证法 ,例如也可这样证 :作AE∥BD交⊙O于E ,连结EB、ED ,则知四边形BDAE为等腰梯形 ,有EB =AD ,ED =AB ,∠ABD =∠BDE=θ ,且∠EBC +∠EDC =1 80°,令∠BAC =φ ,AC与BD交于点G ,则…     

切割线定理又一推论及应用

九年制义务教育教材《几何》第三册P_(121)介绍了切割线定理及推论,本人对推论进行探究可得如下的一个重要推论。推论:如图1,已知⊙O的半径为R,过⊙O外一点作割线PAB,则PA·PB=PO~2-R~2 (*) 证明:延长PO交⊙O于E,则PE=PO R,PF=PO-R 由切割线定理的推论,得: PA·PB=PF·PE=(PO-R)(PO     

一道数学竞赛题推广定理的另证

1986年的全国高中数学联赛二试题1的一个推广,得到如下定理：已知实数列a0,a1,a2,…满足ai－1＋ai＋1=2ai（i=1,2,3,…）．求证：对于任何自然数n,P（x）=a0^2Cn^0·（1-x）^n＋a1^2Cn^1x（1-x）^n-1＋a2^2C^2nX^2（1－x）^n-2＋…＋an^2-1Cn^n^-1x^n-1（1-x）＋an^2Cn^x^n是x的次数不超过2的多项式．     

极坐标法证几何定理

极坐标法是一种重要的解题方法，在平面几何中的应用十分广泛，但目前国内外中学数学教材中介绍甚少，为充实这一数学内容，以弥补其不足，本文以部分平面几何中著名定理为例，谈谈极坐标法在证明中的应用。     

由一道数学竞赛试题想到的

2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题,有这么一道看上去似乎冷冰冰的题目：     

梅涅劳斯定理及其应用

1　基础知识梅涅劳斯定理　设A′、B′、C′分别是△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上的点 .若A′、B′、C′三点共线 ,则 BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B=1 .①证明 :如图 1 ,过A作AD∥C′A′交BC延长线于D ,则　 CB′B′A=CA′A′D,AC′C′B =DA′A′B ,故　 BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B =BA′A′C·CA′A′D·DA′A′B=1 .梅涅劳斯定理的逆定理　设A′、B′、C′分别是△ABC的三边BC ,CA ,AB或其延长线上的点 ,若BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B =1 ,②则A′、B′、C′三点共线 .证明 :设直线A…     

一道竞赛训练题的引申及其应用

如图 1 ,在△ABC中 ,BC边上依次有B、D、E、C ,AC边上依次有A、G、F、C ,满足BD =CE =14BC ,图 1CF =AG =14AC ,BF交AE于J ,交AD于I,BG交AE于K ,交AD于H ,且S△ABC=1 ,则S四边形KHIJ=。(天津师大《中等数学》2 0 0 1年第四期第 40页数学奥林匹克初中训练题 )如果将此题的条件改为CF =AG =1nAC ,CE =BD =1nBC ,那么四边形KHIJ与△ABC的面积的比值能否用n的式子表达呢 ?请看下面的命题 :引申　如图 2 ,在△ABC中 ,BC边上依次有B、图 2D、E、C ,AC边上依次有A、G、F、C满足BD =CE =1nBC ,CF =AG =1n A…     

关于梅涅劳斯、塞瓦定理在平几中的应用

在平面几何的教学和初中数学竞赛的辅导中，往往会碰到一些几何题的解法或证明过程难而繁．缺少一些直观性的解题，证明方法．本文拟在中学数学教学大纲范围内用梅涅劳斯、塞瓦氏两定理来证明平面几何中的某些几何题，使证明过程化难为易．一些问题分析、思考更加直观形象，思路更为简单扼要，达到事半功倍之目的．     

角元塞瓦定理及其应用(二)

（本讲适合高中）十年前，在数学竞赛中，证明平面几何中的三线共点问题时，首选的方法是同一法，行之有效的方法是同一法，用得最多的方法还是同一法．近几年来，同一法的老大地位已逐渐让位于塞瓦定理的逆定理，其中当然包括角元塞瓦定理的逆定理．下面给出角元塞瓦定理的逆定理．     

角元塞瓦定理及其应用(一)

塞瓦定理与梅涅劳斯定理是数学竞赛范围内的两个重要定理．近几年来，使用这两个定理证明的试题频频出现，因而，不会运用这两个定理证题的人是很难取得好成绩的．     

浅谈三线合一定理及其应用

<正> 等腰三角形的性质除两腰相等、两底角相等之外,还有一个重要性质,即等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合,称之为等腰三角形的三线合一.三线合一定理的运用很广,在运用时应注意以下几点:     

垂径定理及其应用

因此,垂径定理提供了证明两条线段和两条弧相等的依据.其中两条弧相等,可转化为所对的圆心角(或圆周角)相等,又间接地提供了证明两个角相等的依据.另外,如图1所示,连结OA、OB,直径CD将等腰三角形OAB分成两个全等的直角三角形,即Rt△OAE≌Rt△OBE.有关计算问题,可利用勾股定理来解决.     

平面几何知识在高中数学中的应用

初中数学是高中数学的基础，有些问题不借助于平面几何知识，解决起来比较困难．下面举几例说明．     

二项式定理的应用

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