一个优美的不等式及其妙用

定理　若ｘ、ｙ、ａ、ｂ均为实数 ,且ａ>0 ,ｂ >0 ,那么 ｘ2ａ +ｙ2ｂ ≥ (ｘ+ｙ) 2ａ +ｂ (※ )等号成立当且仅当 ｘａ= ｙｂ .证明　不等式 (ｂｘ-ａｙ) 2 ≥ 0显然成立 ,当且仅当 ｘａ =ｙｂ 时取等号 .从而ｂ2 ｘ2 - 2ａｂｘｙ +ａ2 ｙ2 ≥0 ,所以ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｙ2 ≥ 2ａｂｘｙ .不等式两边都加上ａｂｘ2 +ａｂｙ2 ,得ａｂｘ2 +ａ2 ｙ2 +ｂ2 ｘ2 +ａｂｙ2 ≥ａｂｘ2+2ａｂｘｙ+ａｂｙ2 ,所以 (ａ+ｂ) (ｂｘ2 +ａｙ2 ) ≥ａｂ(ｘ +ｙ) 2 .因为ａ >0 ,ｂ>0 ,所以 ｘ2ａ +ｙ2ｂ ≥ (ｘ +ｙ) 2ａ+ｂ .不等式 (※ )结构规范 ,对称和谐 ,形式…     

平均不等式在求函数最值中的失误剖析

求函数最值是中学数学的一类重要题型 ,应用平均不等式求解是一种常用方法 ,但在使用过程中容易出现错误 ,究其原因是没有真正掌握定理实质 ,下面进行简要剖析 .一、平均不等式设ａ ,ｂ∈Ｒ+ ,则ａ +ｂ2 ≥ ａｂ ,当且仅当ａ =ｂ时取“=”号 .设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ+ ,则ａ+ｂ +ｃ3 ≥ 3 ａｂｃ ,当且仅当ａ =ｂ =ｃ时取“=”号 .二、不等式分析(1)不等式使用条件 :ａ ,ｂ ,ｃ为正数 .(2 )等号成立的条件 :两数或三数相等ａ=ｂ(=ｃ) .(3 )求最值时要注意 :当左边和为定值时 ,右边积有最大值 ,当右边积为定值时 ,左边和有最小值 .从以上分析可以看…     

构造平面向理 巧解最值问题

最值问题是数学奥林匹克中的热门试题 .它技巧性强 ,难度大 ,解法活 .本文利用高中数学新教材中新增的重要内容———平面向量 ,巧解一类最值问题 .1　求不等式恒成立时的参数最值例 1　 (1992年上海市高三数学竞赛试题 )若正数使不等式 :ｘ +ｙ≤ａｘ +ｙ对一切正数ｘ、ｙ成立 ,则ａ的最小可能值是＿＿＿＿＿ .解　构造向量 ａ =(ｘ ,ｙ) , ｂ=(1,1) .由 ｜ ａ· ｂ｜≤｜ ａ｜｜ ｂ｜ ,得　　ｘ+ ｙ≤ 2 · ｘ+ｙ.当且仅当 ａ与 ｂ同向 ,即ｘ =ｙ时 ,等号成立故ａ的最小可能值是 2 .例 2　 (2 0 0 0年第 11届“希望杯”全国数学邀请赛高…     

｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a b｜≤｜a｜ ｜b｜应用举隅

｜｜ａ｜－｜ｂ｜｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜是中学数学中的一个基本不等式．当ａ、ｂ∈Ｒ时,我们称其为绝对值不等式,右端等号当且仅当ａｂ≥０时成立,左端等号当且仅当ａｂ≤０时成立;当ａ、ｂ∈Ｃ时,我们又称其为复数模的不等式,右端等号当且仅当ａ＝ｋｂ（...     

浅谈用含参均值定理求最值

均值定理是求函数最值的重要方法 ,但需具备“正、定、等”条件 ,当这些条件不完全具备时不能直接使用 ,常需对函数式作“添、裂、配、凑”变形使其完全满足条件后方可用之 ,对变形能力的要求较高 .然而有些题由于解析式自然 ,形态根本凑不出定值 ,或虽凑出定值而等号又不能成立 ,对这样的题目 ,学生往往觉得很难用甚至不能用均值定理而感到棘手 .但此时若用含参均值定理 ,如 (λａ) 2 ｂ2 ≥ 2λａｂ(当且仅当λａ =ｂ时取等号 ) ,λａ ｂ≥ 2λａｂ(当且仅当λａ =ｂ时取等号 ) ,或λ1 ａ λ2 ｂ ｃ≥3 3 λ1 λ2 ａｂｃ(当且仅当λ1 …     

关于函数y=asix^tx＋bcos^tx的最值

文 [1]应用待定系数法和柯西不等式给出了下面函数的最小值 .定理 1　函数ｙ=ａｓｉｎｘ+ｂｃｏｓｘ,ｘ∈ (0 ,π2 ) ,ａ、ｂ为正常数 ,则 ｙｍｉｎ =(ａ23 +ｂ23 ) 32 .本文应用二元赫尔德 (Ｈｏｌｄｅｒ)不等式给出上面定理 1的推广 .定理 2　函数ｙ =ａｓｉｎｔｘ +ｂｃｏｓｔｘ(ｘ∈ (0 ,π2 ) ,ａ、ｂ为正常数 ,且ｔ∈Ｒ ,(ｔ≠ 0 ,2 ) ,在ｘ =ａｒｃｔａｎ(ａｂ) 12 -ｔ处取得最值 (ａ22 -ｔ+ｂ22 -ｔ) 2 -ｔ2 ,其中(1)当ｔ∈ (0 ,2 )时 ,ｙ取最大值 ;(2 )当ｔ∈ (2 ,+∞ )时 ,ｙ取最小值 ;(3)当ｔ∈ (-∞ ,0 )时 ,ｙ取最小值 .引理　…     

二维柯西不等式在解析几何上的应用

二维柯西不等式 :设ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,则有(ａ2 ｂ2 ) (ｃ2 ｄ2 )≥ (ａｃ ｂｄ) 2 .当且仅当 ａｃ =ｂｄ 时 ,不等式取等号 .1　推证几个重要结论命题 1　椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1与直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0有公共点的充要条件是Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ≥Ｃ2 .证明　由柯西不等式得(Ａｘ Ｂｙ) 2 =Ａａ· ｘａ Ｂｂ· ｙｂ2≤Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 .若 (ｘ0 ,ｙ0 )是已知椭圆和直线的公共点 ,则满足ｘ20ａ2 ｙ20ｂ2 =1、Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｃ =0 ,则上述不等式左边为Ｃ2 ,右边为Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ,充分性得证 .若 (ｘ ,ｙ)是直线上…     

巧证平均不等式

平均不等式 :若ａ、ｂ、ｃ均为正数 ,则ａ +ｂ+ｃ≥ 33 ａｂｃ,当且仅当ａ =ｂ=ｃ时 ,取“ =”号 .教材上已给出一种证明方法 ,笔者再给出如下一种简捷证法 ,供读者学习时参考 .证明　由ａ、ｂ、ｃ均为正数 ,得ａ+ｂ +ｃ+3 ａｂｃ=(ａ+ｂ) +(ｃ+3 ａｂｃ)≥ 2ａｂ +2ｃ· 3 ａｂｃ=2 (ａｂ+ｃ 3 ａｂｃ)≥ 4ａｂ·ｃ 3 ａｂｃ=4 4 ａｂｃ 3 ａｂｃ=44 3 ａ4ｂ4ｃ4=4 3 ａｂｃ .∴ａ +ｂ+ｃ≥ 33 ａｂｃ.以上证明中等号成立 ,当且仅当ａ =ｂ,且ｃ =3 ａｂｃ,ａｂ =ｃ 3 ａｂｃ ,即巧证平均不等式@徐有林$云南省巧家县第一中学!654600…     

椭圆不等式及其应用

若ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1,则有不等式ａ2 +ｂ2 ≥ (ｘ±ｙ) 2 .这个不等式很容易证明 :ａ2 +ｂ2 =(ａ2 +ｂ2 ) ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2=ｘ2 +ｙ2 +ｂ2 ｘ2ａ2 +ａ2 ｙ2ｂ2≥ｘ2 +ｙ2 +2ｘｙ=(ｘ +ｙ) 2 ,用 -ｙ代ｙ ,得ａ2 +ｂ2 ≥ (ｘ -ｙ) 2 .由于条件是椭圆的方程 ,所以我们称上面的不等式为椭圆不等式 .这个不等式的应用很广泛 ,特别是用来求“希望杯”数学竞赛中二元函数的最值或值域问题时显得更加简便 .一、求二元函数的最值例 1　已知ａ ,ｂ∈Ｒ且ａ +ｂ+1=0 ,求(ａ -2 ) 2 +(ｂ-3 ) 2 的最小值 .解　设 (ａ-2 ) 2 +(ｂ -3 ) 2 =ｔ,则(ａ-2 ) 2…     

一道解析几何题的多种解法

题目 :已知直线ｌ过点Ｍ( 3,2 )且与ｘ轴正半轴、ｙ轴正半轴交于点Ａ、点Ｂ .当△ＡＯＢ面积最小时 ,求直线ｌ的方程 .解法 1:设Ａ(ａ ,0 ) ,Ｂ( 0 ,ｂ) (ａ >0 ,ｂ >0 ) ,易知ａ >3,直线ｌ的截距式方程为ｘａ + ｙｂ =1,以点 ( 3,2 )代入得 3ａ + 2ｂ=1,于是ｂ =2ａａ - 3.Ｓ△ＡＯＢ=12 ａｂ=12 ·ａ·2ａａ - 3=ａ2ａ - 3=ａ2 - 9+ 9ａ - 3=ａ + 3+ 9ａ - 3=ａ - 3+ 9ａ - 3+ 6≥ 2 (ａ - 3)· 9ａ - 3+ 6 =12 .当且仅当ａ - 3=9ａ - 3且ａ >3,即ａ =6时取等号 ,此时ｂ =4 ,直线ｌ的方程为 ｘ6 +ｙ4 =1.解法 2 :同上…… 1=3ａ + 2ｂ ≥ …     

代换法证明不等式

例 1　已知ｘ ,ｙ ,ｚ>0 ,证明 :ｚ2 -ｘ2ｘ + ｙ + ｘ2 -ｙ2ｙ +ｚ + ｙ2 -ｚ2ｚ +ｘ ≥ 0 .证明　设ｘ+ ｙ =ａ ,ｙ +ｚ=ｂ ,ｚ +ｘ=ｃ ,则ｚ-ｘ =ｂ-ａ ,ｘ -ｙ =ｃ-ｂ ,ｙ-ｚ=ａ -ｃ,ａ ,ｂ ,ｃ>0 .于是原式等价于ｂｃａ + ｃａｂ + ａｂｃ ≥ａ +ｂ+ｃ .由ｂｃａ + ｃａｂ ≥ 2ｃ等得证 .例 2　在 ＡＢＣ中 ,ａ +ｂ +ｃ=2ｓ ,ａ ,ｂ,ｃ为三边 ,则ａｂｃ≥ 8(ｓ-ａ) (ｓ -ｂ) (ｓ-ｃ) .证明　设ｓ -ａ =α ,ｓ-ｂ =β ,ｓ-ｃ =γ ,则α ,β ,γ >0 ,α+ β =ｃ,β +γ=ａ ,α +γ=ｂ.于是原式等价于(α + β) (β+γ) (γ +α)≥ 8αβ…     

利用｜｜ａ｜—｜ｂ｜｜≤｜ａ±ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜等号成立的条件解题

在高中数学教材中有定理｜｜ａ｜－｜ｂ｜｜≤｜ａ±ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜，其中｜｜ａ｜－｜ｂ｜｜≤｜ａ±ｂ｜，｜｜ａ｜－｜ｂ｜｜≤｜ａ－ｂ｜，｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜，｜ａ－ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜取等号的充要条件分别是ａｂ≤０，ａｂ≥０，ａｂ≥０，ａｂ≤０，在解题过程中利用｜｜ａ｜－｜ｂ｜｜≤｜ａ±ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜等号成立的条件解某些题，将得到解法新颖、过程简洁的解法．     

运用分母代换法证明不等式举例

对于分母是多项式的分式不等式 ,采用将分母进行整体代换后 ,便于应用基本不等式或常见的“( ｎｉ=1ａｉ) ( ｎｉ=11ａｉ)≥ｎ2 (ａｉ >0 )”结论来证明 .下面分类举例 .1　分子为常数型例 1　若ｘ、ｙ、ｚ∈ (0 ,1) ,求证 :11-ｘ+ ｙ+ 11- ｙ+ｚ+ 11-ｚ+ｘ ≥ 3.证明　设 1-ｘ + ｙ=ａ ,1- ｙ+ｚ=ｂ ,1-ｚ+ｘ=ｃ,则ａ >0 ,ｂ>0 ,ｃ>0 ,且ａ +ｂ+ｃ =3.∵ (ａ+ｂ +ｃ) (1ａ + 1ｂ + 1ｃ) ≥ 9,∴ 1ａ + 1ｂ + 1ｃ ≥ 3.故 11-ｘ+ ｙ+ 11- ｙ+ｚ+ 11-ｚ+ｘ ≥ 3.例 2　 (第 19届莫斯科奥林匹克竞赛题 )设任意的实数ｘ、ｙ满足 ｜ｘ｜ <1,｜…     

关于均值的几个不等式链

定理 设　并记 则有（其中不等式①,②,④,⑤取等号当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ。③取等号当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ＝ｂ,且ａ＝ｂ＞０或ａ＝０）。 证 先用反向归纳法证明不等式①： 当ｎ＝２时不等式①可化为当ｘ１、ｘ２≥ａ≥０知上式成立（当且仅当ｘ１＝ｘ２时     

几个不等式的几何证明

高中数学第二册 (上 ) (试验修订本 ·必修 )Ｐ9给出均值不等式定理的一种几何解释 ,这同时也提供了一种证明不等式的方法—几何法 .这种方法是通过把不等式中的数式看作线段的长或图形的面积 ,直观地比较出其大小达到证明目的 .本文给出课本例 (习 )题中几个不等式的几何证明 .例 1　已知ａ、ｂ都是正数 ,求证21ａ +1ｂ≤ ａｂ≤ ａ+ｂ2 ≤ ａ2 +ｂ22 ,当且仅当ａ =ｂ时等号成立 .证法 1　当ａ =ｂ时等式等号显然成立 ;当ａ≠ｂ时 ,在长为ａ+ｂ的线段ＡＢ上取点Ｃ(如图 1 ) ,使ＡＣ =ａ ,ＣＢ =ｂ(其中ａ>ｂ) .以ＡＢ为直径画圆Ｏ ,过Ｏ、…     

一个不等式证明的十种方法

不等式的证明是高三数学教学中的一个难点 ,如何寻求不等式的证明思路是学生感到困难的问题 .本文通过对一道不等式证明问题的多角度思考来说明不等式证明中的一些常用方法 .题目　己知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ且ａ+ｂ +ｃ=1,求证ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ≥ 13思路 1　在己知和求证的两个关系式中如若取ａ=ｂ =ｃ=13 ,便会出现等号成立 .由此可见当且仅当ａ =ｂ=ｃ =13 时不等式取等号 ,于是得到如下证法 .证法 1　ａ2 + (13 ) 2 ≥ 23 ａ ;ｂ2 + (13 ) 2≥ 23 ｂ ,ｃ2 + (13 ) 2 ≥ 23 ｃ所以ａ2 +ｂ2 +ｃ2 + 3 (13 ) 2 ≥ 23 (ａ +ｂ+ｃ)所以ａ2 +ｂ2 +ｃ2 …     

一类不等式的推广及应用

高中课本以例、习题的形式给出了下列不等式 :已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,并且ａ≠ｂ ,求证 :ａ5 ｂ5>ａ3 ｂ2 ａ2 ｂ3 ;ａ4 ｂ4 >ａ3 ｂ ａｂ3 ;ａ3 ｂ3 >ａ2 ｂ ａｂ2 .其实 ,这一类不等式有如下更一般的形式 :若ａ ,ｂ∈Ｒ ,ｐ·ｑ∈Ｒ ,则　　ａｐ ｑ ｂｐ ｑ ≥ａｐｂｑ ａｑｂｐ,(1)其中等号当且仅当ａ=ｂ时取得 .证明　由 ｐ·ｑ∈Ｒ ,知幂函数 ｙ =ｘｐ 和ｙ =ｘｑ 在 (0 , ∞ )上同为增函数或同为减函数 ,则当ａ ,ｂ∈Ｒ 时 ,ａｐ-ｂｐ 与ａｑ -ｂｑ 总是同号或同时为零(当且仅当ａ=ｂ时 ,ａｐ-ｂｐ =0 ,ａｑ-ｂｑ =0 ) ,从而(ａｐ-…     

有关二次函数值域的一个结论及应用

定理　二次函数 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ的值域是[0 , ∞ )的充要条件是ａ>0且ｂ2 - 4ａｃ=0 .证明　因为 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ =ａ(ｘ ｂ2ａ) 2 4ａｃ-ｂ24ａ ,ｘ∈Ｒ ,所以二次函数ｙ=ａｘ2 ｂｘ ｃ的值域是 [0 , ∞ ) ｙ的最小值是 0 ,无最大值 ａ>0且ｂ2 - 4ａｃ=0 .下面举例说明定理的应用 .例 1　已知 ｆ(ｘ) =2ｘ2 ｂｘ ｃｘ2 1(ｂ <0 )的值域为[1,3] ,求实数ｂ,ｃ的值 .解　ｆ(ｘ)的定义域为Ｒ .由 1≤2ｘ2 ｂｘ ｃｘ2 1≤ 3,得ｘ2 ｂｘ ｃ- 1≥0且ｘ2 -ｂｘ 3-ｃ≥ 0 .所以 ｆ(ｘ)的值域为 [1,3] ｙ1=ｘ2 ｂｘ ｃ- 1和 …     

“P—Q—R”法证明三角形三边的不等式

包含△ＡＢＣ的三边ａ ,ｂ ,ｃ的三角形不等式 ,形式各异 ,多姿多采 ,而传统证明方法却只能因题制宜 ,灵活多变 ,无一定法 ,颇具难度 .本文介绍一种统一的新证法 :“Ｐ-Ｑ -Ｒ”法 .定理　设ａ ,ｂ ,ｃ为△ＡＢＣ的三边 ,记Ｐ =ａ3 ｂ3 ｃ3= ａ3,Ｑ =ａｂｃ= ａ ,Ｒ =ａ2 ｂ ａｂ2 ｂ2 ｃ ｂｃ2 ｃ2 ａ ｃａ2　 = ａ2 (ｂ ｃ) = ｂｃ(ｂ ｃ) ,则　 2Ｐ ≥Ｐ 3Ｑ ≥Ｒ≥ 12 (Ｐ 9Ｑ)≥ 6Ｑ ,Ｐ 3Ｑ ≥Ｒ >Ｐ 2Ｑ .当且仅当正三角形时各等号成立 ; 、 分别为循环和、循环积 )证明　 (ⅰ )依平均值不等式 ,立得Ｐ =ａ3 ｂ3 ｃ3≥ 3ａｂｃ=…     

待定系数法求四类函数最值

平均不等式是解决最值问题的常用方法之一 ,但是利用它求最值必须满足“一正、二定、三相等”3个基本条件 .有些最值问题 ,在运用平均不等式时等号不能成立 ,此时 ,可适当引入参数 ,利用待定系数法 ,解决平均不等式中等号不能成立的问题 .下面举例加以说明 .一、ｆ(ｘ) =ａｘｍ + ｂｘｎ(ａ ,ｂ ,ｍ ,ｎ>0 )例 1　 (2 0 0 0年上海市高考题 )已知函数ｆ(ｘ) =ｘ2 + 2ｘ+ａｘ ,ｘ∈ [1,+∞ ) ,若ａ=12 ,求函数 ｆ(ｘ)的最小值 .分析　当ａ=12 时 ,ｆ(ｘ) =ｘ + 12ｘ+ 2≥ 2 12 + 2 ,当且仅当ｘ =12ｘ,即ｘ =22 时取等号 .但 22<1,不在函数定义…