关于酉Euler函数的Subbarao猜想

对于正整数n，设ψ^*(n)是酉Euler函数．本文证明了：当n是幂数时，如果n=1(mod ψ^*(n))，则n必为素数方幂．     

一类不定方程整数解的个数

一类不定方程整数解的个数□潘学军（浙江新昌县儒岙中学３１２５６０）命题１方程１ｘ＋１ｙ＝１ｐ（ｐ为正整数）的正整数解的组数为τ（ｐ２），其中τ（ｐ２）为ｐ２的正约数的个数．证明令ｘ＝ｐ＋ｔ１，ｙ＝ｐ＋ｔ２，（ｔ１、ｔ２为自然数）则有１ｐ＋ｔ１＋１ｐ＋...     

关于正规约数和函数的Graham问题

ｎ是大于１且适合ｓ（ｎ）＝［ｎ／２］的正整数,其中ｓ（ｎ）是ｎ的正规约数和函数;ω（ｎ）是ｎ的不同素因数的个数,Ｐ１、Ｐ２、…、Ｐω（ｎ）是ｎ的适合Ｐ１＜Ｐ２＜…＜Ｐω（ｎ）的素因数。本文证明了：如果２｜ｎ,则必有ｎ＝２;如果ｎ为奇数且ω（ｎ）≤２,则必有ｎ＝３ａ,其中ａ是任意的正整数;如果ｎ为奇数且ω（ｎ）＝３,则必有Ｐ１＝３或者Ｐ１＝５,Ｐ２＝７以及１１≤Ｐ３≤３１;如果ｎ为奇数且ω（ｎ）＝４,则必有Ｐ１＝３或者Ｐ１＝５,７≤Ｐ２≤１３,１１≤Ｐ３≤１７以及１３≤Ｐ４≤２３。上述结果部分地解决了Ｇｒａｈａｍ猜想     

等比性质的推广及应用

等比性质如果，那么．其中≠０且ｂｊ≠０ｊ＝１２…ｎ现把该性质推广如下．推论１如果，则．其中≠０且ｍｊ≠０ｂｊ≠０ｐｊ∈Ｚｊ＝１２…ｎ证明：∵ｍｊ≠０ｂｊ≠０ｐｊ∈Ｚｊ＝１２…ｎ∴，∴＝ｋ，由性质得＝ｋ即＝ｋ．推论２，那么＝ｋｎ．其中≠０，且ｂｊ≠０ｊ＝１２…ｎ证明略下同推论３如果，那么＝ｋｎ．其中≠０，且ｂｊ≠０ｊ＝１２…ｎ推论４如果，那么＝ｋ±ｐｎ．其中≠０，ｂｊ≠０ｐ是定实数且ｐ≠０例１已知，且ａ２＋ｃ２＋ｅ２＋ｈ２＝４试求代数式ａｂ＋ｃｄ＋ｅｆ＋ｈｇ的值．解：∵，∴，由推论２得．∵ａ２＋…     

浅议等差数列的基本性质

等差数列具有一系列基本性质，掌握这些特性对提高解题速度有着重要的作用。现总结如下，以供参考。 性质１ 有限项等差数列到首尾两项“等距离”的两项的和等于首尾两项的和。即：等差数列｜ａｎ｜共有ｎ项，则ａ１＋ａｎ＝ａ２＋ａｎ－１＝ａ３＋ａｎ－２＝…。 性质２ 若｜ａｎ｜是等差数列，ａｍ、ａｎ、ａｐ、ａｑ分别是该数列的第ｍ、ｎ、ｐ、ｑ项，且ｍ＋ｎ＝ｐ＋ｑ，则ａｍ＋ａｎ＝ａｐ＋ａｑ。 利用等差数列的通项公式容易证得以上两个性质。 性质３（性质２中的条件再加强些）在性质２的条件下并满足：①公差 ｄ≠０；②ｍｎ＞ｐ…     

一个充要条件的应用

一个充要条件的应用韩天禧（甘肃省高台一中７３４３００）定理数列｛ａｎ｝为等差数列的充要条件为：它的前ｎ项和Ｓｎ＝Ａｎ２＋Ｂｎ，或通项ａｎ＝２Ａｎ－Ａ＋Ｂ（Ａ、Ｂ为常数）．证明必要性设等差数列｛ａｎ｝首项为ａ１，公差为ｄ，则Ｓｎ＝ｎａ１＋ｎ（ｎ－１）ｄ...     

关于3—素近环的求导

本文证明了如下结果：设Ｎ是零对称３－素近环，Ｕ是Ｎ的一个非零不变子近环，ｄ１ｄ２为Ｎ的求导，２Ｎ≠０．（１）如果ｄ１ｄ２（Ｕ）＝０，那么ｄ１＝０或者ｄ２＝０：（２）如果对所有ｘ，ｙ∈Ｕ有ｄ１（ｘ）ｄ２（ｙ）＝－ｄ２（ｘ）ｄ１（ｙ），那么ｄ１＝０或者ｄ２＝０。     

等差数列的两个递推关系式

等差数列的两个递推关系式徽县一中李宗奇通常反映等差数列的特征的递推关系式为：ａｎ＋１－ａｎ＝ｄ，或者ａｎ＋２－２ａｎ＋１＋ａｎ＝０，其中ｄ为常数，ｎ∈Ｎ。本文给出另外两个递推关系。性质１若数列｛ａｎ｝的项满足其中ｎ≥２，且ｎ∈Ｎ，则｛ａｎ｝为等差数列...     

在X′（Kp）—边着色完全图Kp中的置入问题

给出了图Ｇ是在Ｋｐ中（ｌ，ｍ，ｎ）可置入的概念，证明了下列结果，设ｐ是系数，且ｐ≥３．（１）长度的ｐ的圈是在Ｋｐ中（ｐ－１／２，ｘ′（Ｋｐ），ｘ′（Ｋｐ）可置入的，此处ｘ′（Ｋｐ）是Ｋｐ的边着色数。（２）长度为ｐ的圈Ｃｐ是在Ｋｐ中（ｐ－１／２，ｘ′（Ｃｐ），ｘ′（Ｃｐ）可置入的，此处ｘ′（Ｃｐ）和Ｘ′（Ｋｐ）分别是Ｃｐ和Ｋｐ的边着色数。     

怎样速求“连比”比值

我们把形如ｎ１：ｎ２：ｎ３（ｎ为一物理量）的比叫做连比．在“全国统编”九年义务教育三年制初中物理第一册第１１８页和近几年中考以及初中物理竞赛中常有求连比比值的问题，而有的“试题”的答案繁琐，有些同学对上述问题感到“困惑”，为此本文介绍简单易行的方法如下；例１有三个用相同材料制成的圆柱体，高度相同．它们的质量之比为ｍ１：ｍ２：ｍ３＝２：３：５，把它们竖直放置在水平面上，则水平面上受到的压强之比ｐ１：ｐ２：ｐ３是（）Ａ．２：３：５；Ｂ．５：３：２１Ｃ．１：１：１；Ｄ．１５：１０：６．（’８９南京市初…     

正方形内四点和五点问题的精确值

在单位边长正方形内ＡＢＣＤ内任意放置ｎ个点Ｐ１，Ｐ２，．．．．Ｐｎ记入（Ｐ１，Ｐ２，．．．．Ｐｎ）＝ｍｉｎ｛｜ｐｉｐｊ｜ｉ≠ｊ，ｉ，ｊ＝１，２．．．ｎ｝，λ＾＊ｎ＝ｓｕｐ｛λ（ｐ１，ｐ２，．．．ｐｎ）｜ｐ１，ｐ２，．．．ｐｎ是正方形ＡＢＣＤ内任意ｎ｝。文献「１」中指出λ３－λ１０的精确值尚未确定，「２」中证明了λ＝     

关于梅森素数分布规律的猜想

本文在周海中教授关于梅森素数分布规律的研究基础上，作进一步的探讨．本文定义Ｒ序列为：由使２ｐ－１为素数的素数ｐ及形如２（ｋ＝０，１，２，３，…）的数按由小至六次序排列的序列，序列的第ｎ项记为Ｒ（ｎ）．通过对Ｒ（ｎ）已确定的前３５项的分析，提出了的猜想，并由此推论出每一个梅森素数的分布区域．     

自然数幂和公式之历史发展

自然数幂和公式之历史发展中国科学院自然科学史研究所汪晓勤所谓自然数幂和，系指１ｐ＋２ｐ＋…＋ｎｐ＝∑ｎｒ＝１ｒｐ（ｐ∈Ｎ）．（１）在中学数学里，我们遇到ｐ＝１，２，３三种情形．（１）的求和公式从低次幂到高次幂，从特殊到一般的历史所留给我们的不同时代、...     

成果集锦

(ｍ ,ｎ ,ｐ)阶等差数阵如果三维数阵 {ｘｉｊｋ}的横、竖和纵的所有行分别构成ｍ阶、ｎ阶和 ｐ阶等差数列 ,就称 {ｘｉｊｋ}为 (ｍ ,ｎ ,ｐ)阶等差数阵 .它有如下主要性质 :( 1)若 {ｘｘｊｋ}为 (ｍ ,ｎ ,ｐ)阶等差数阵 ,则对固定的ｉ0 ,ｊ0 ,ｋ0 ∈Ｎ ,二维数阵 {ｘｉ0 ｊｋ}、{ｘｉｊ0 ｋ}、{ｘｉｊｋ0 }分别为(ｎ ,ｐ)、(ｍ ,ｐ)、(ｍ ,ｎ)阶等差数阵[1 ] .( 2 )若 ( 1)中数阵的公差分别记为ｄｉ、ｅｊ、ｆｋ,则{ｄｉ}、{ｅｊ}、{ｆｋ}分别为ｍ、ｎ、ｐ阶等差数列 ,且Δｍｄｉ=Δｎｅｊ=Δｐｆｋ=ｄ(常数 ) .( 3)若 (ｍ ,ｎ ,ｐ)阶等差…     

完全环上d－连续模的结构

在文献［１］及［２］的基础上，本文研究了某一特殊环类亦即完全环上ｄ－连续模的结构。并获得了下面的结果：若Ｍ是完全环Ｒ上ｄ－连续模，则：Ｍ＝ＮｏＮ１…Ｎｎ其中（ａ）Ｎ０是拟投射Ｒ－模（ｂ）每－Ｎλ（１≤ｉ≤ｎ）是不可分ｄ─连续模但不是拟投射Ｒ－模且不同构于Ｎｏ的任一不可分直和项，　１≤ｉ≠ｊ≤ｎ，Ｎｉ与Ｎｊ的投射覆盖皆不同构．（ｃ）存在Ｒ的理想Ｂ及右理想Ａ１，Ａ２，…，Ａｔ，不可分益等元ｅ１，ｅ２…，ｅｔ使（ｉ）ＮｉｅｉＲ／ｅｉＡ，ｅｊＲｅｉＡ＝ｅｉＢ１≤ｉ≤ｔ（ｉｉ）对Ｎ０任一不可分直和项Ｋ，存在Ｒ的某不可分幂等元ｅ，使ＫｅＲ／ｅＢ。     

用通项求一类组合数列的和

若数列｛ａｎ｝中每一项都含有组合数Ｃｍｎ,则称｛ａｎ｝为组合数列．短文介绍一种利用组合数列的通项求其前ｎ项和的方法．兹举例说明如下：例１求Ｃ１ｎ＋２Ｃ２ｎ＋３Ｃ３ｎ＋…＋ｎＣｎｎ．解所求的和式是以通项ａｋ＝ｋＣｋｎ的组合数列的前ｎ项之和．∵ａｋ＝ｋＣ...     

“ab＋cd＝mn”型几何题的证明方法

“ａｂ＋ｃｄ＝ｍｎ”型几何题的证明方法张引妙“ａｂ＋ｃｄ＝ｍｎ”型综合证明题的证明方法可抽象为：其中，ｎ，±ｎ＝ｎ，且ｎ、ｎ，、ｎ，共线。即在线段ｎ上选适当的点分ｎ为ｎ１、ｎ２两段。通过证明ａｂ＝ｍｎ，和ｃｄ＝ｍｎ２这样两个熟悉的基本题，进而相加或相...     

四元数整环Z（i,j,k）上广义Hermite—酉矩阵的广义酉相似

定义了四元数整环Ｚ（ｉ,ｊ,ｋ）,在Ｚ（ｉ,ｊ,ｋ）上定义了广义酉矩和广义Ｈｅｒｍｉｔｅ－酉矩阵,并在广义酉相似的关系下,研究了广义酉相似的充要条件,标准型和全系不变量,且文「１」「２」的结论成为本文的特例。     

一套美国中学化学教材中的习题(续7)

第十一章原子中的电子课文中的问题１．下列各亚层中各有多少个轨道？ａ．３ｐ亚层ｄ．４ｐ亚层ｂ．２ｓ亚层ｅ．３ｄ亚层ｃ．４ｆ亚层ｆ．第三能量层（译者注：第三能量层即主量子数ｎ＝３的电子层,含３ｓ,３ｐ,３ｄ三个亚层。与电子层类似。）２．按能量降低的顺序...     

捕捉隐含信息 优化解题过程

本文通过具体的例子说明如何捕捉题中隐含的信息，优化解题过程。 一、捕捉隐含的定义、定理、公式信息使解题变得简洁 例题１设数列ａｎ的前ｎ项的和为Ｓｎ，该数列从第二项开始，后项减去前项的差为常数，且Ｓｎ＝（ｎＮ），若ｂｎ＝（－１）ｎＳｎ，求数列ｂｎ的前ｎ项和Ｔｎ· 分析 １：如果仅仅发现题中 Ｓｎ、ａｎ（或ｎ）的关系，直接运用公式ａｎ＝则解题较复杂．如果同时发现该数列是等差数列，则可利用题中公式和等差数列的知识来解，解题过程就变得简洁． 解法１：在Ｓｎ＝中令ｎ＝１可得： ａ１＝１，令ｎ＝２，得１＋ａ２＝ａ…