分组分解法的若干思路

分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一 .分组的目的是为提取公因式 ,应用乘法公式或其它方法创造条件 ,以便顺利地达到分解因式的目的 .至于如何分组 ,不少同学总感到困难 .下面介绍几种常见的思路 ,供同学们学习时参考 .一、按公因式分组例 1　 ( 1 ) ( 2 0 0 2年新疆乌鲁木齐市中考题 )分解因式 :m-n -mn+ 1 =.( 2 ) ( 2 0 0 2年云南省中考题 )分解因式 :a2 -ab +ac-bc.分析　 ( 1 )中第 1、3项结合有公因式m ,提取m后剩下 (n-1 ) ,而第 2、4项为一组正好是n-1 .( 2 )中第 1、2项有公因式a ,第 3、4项有公因式c.可把它们分别分为一…     

分组分解法例说

分组分解法是因式分解的一种重要方法,而恰当地选择分组方案则是分组分解法的关键,也是难点.如何分组具有一定的灵活性,其目的是使分组后各组可以应用基本方法继续分解下去.下面举例说明.一、分组后使各组有公因式,然后应用提取公因式法继续分解.例1分解因式2am+3bn-6an-bm.分析:观察题目特征,将一、三项分为一组,有公因式2a,提取2a后余下因式(m-3n);将二、四项分为一组,有公因式b,提取b后余下的因式也是(m-3n),这样就可以继续使用提取公因式的方法进行分解.解:原式=(2am-6an)-(bm-3bn)=2a(m-3n)-b(m-3n)=(m-3n)(2a-b).例2分解因式ax-ay+bx+…     

因式分解中的变换技巧

因式分解是初中代数的重要内容之一,它的解法变化多样,为帮助同学们学好这部分内容,本文以课本中的有关题目为例,说明常见变换技巧,供参考和选用.一、指数变换例1分解因式xn+1-3xn+2xn-1解:以指数最低的xn-1为标准,把xn+1、xn分别变换为x2·xn-1、x·xn-1,则原式=xn-1(x2-3x+2)=xn-1(x-1)(x-2)二、符号变换例2分解因式(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)解:将-(b-a)变换为a-b,则原式=(a-b)(x-y+x+y)=2(a-b)x三、部分项分解变换例3分解因式x2-6x+9-y2解:原式=(x-3)2-y2=(x+y+3)(x-y-3)四、系数变换例4分解因式81+3x3解:将3提取后便于运用立方和公式分解原…     

因式分解的十二种方法

因式分解的方法多种多样 ,现总结如下 :一、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式 ,那么就可以把这个公因式提出来 ,从而将多项式化成两个因式乘积的形式 .例 1　分解因式 :x3-2x2 -2x .解　原式 =x(x2 -2x -1 ) .二、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系 ,如果把乘法公式逆用 ,那么就可以把某些多项式分解因式 .例 2　分解因式 :a2 + 4ab + 4b2 .解　原式 =(a + 2b) 2 .三、分组分解法要把多项式am+an+bm +bn分解因式 ,可以先把它前两项分成一组 ,并提出公因式a ;后两项分成一组 ,并提出公因式b ,从而得到a(m +n) +b(m+n)…     

因式分解容易错(初二)

1.符号出错 例1分解因式一4m3+z6mZ一26m. 解原式-一Zm(2,2+sm一13). 2.系数出错 例2分解因式(2x十4)2一(护+Zx). 解原式一2(x十2)2一x(x+2) 一(x+2)(x十4). 3.指数出错 例3分解因式p3m一尸m. 解原式一尸,(尸3一1) 一尸‘(尸一1)(PZ+P+1). 4.有公因式不提 例4分解因式16一36护. 解原式一(4+6x)(4一6x). 5.提公因式不尽 例5分解因式4x一9护. 解原式一x(4一16xZ) 一x(2+4x)(2一4x). 6.书写结果不规范 例6分解因式(3a一4b)(7a一sb)+(1 la一12b)(7a一sb). 解原式一(7a一sb)·2·(7a一sb). 7.结果不是整式的积 例7分解因式a卜3+了.解原式一(去…     

因式分解常用的方法与技巧

一、配方法例1分解因式:2x3-x2z-4x2y+2xyz+2xy2-y2z解:原式=(2x3-4x2y+2xy2)-(x2z-2xyz+y2z)=2x(x2-2xy+y2)-z(x2-2xy+y2)=(x2-2xy+y2)(2x-z)=(x-y)2(2x-z)·二、拆项法例2分解因式:x3-3x+2·解:原式=x3-3x-1+3=(x3-1)-(3x-3)=(x-1)(x2+x+1)-3(x-1)=(x-1)(x2+x-2)·注:本题是通过拆常数项分解的,还可通过拆一次项或拆三次项分解,读者不妨一试·三、添项法例3分解因式:x5+x+1·解:原式=(x5-x2)+x2+x+1=x2(x3-1)+(x2+x+1)=x2(x-1)(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x3-x2+1)·四、主元法例4分解因式:2a2-b2-ab+bc+2ac·解:以a为主元,将原式整理成关…     

分组分解法的技巧

一、2 - 2分组 :即四项式里两个两个分成一组 ,且能提取公因式或能运用平方差公式 ,或能用立方和 (差 )公式 ,最后又能提取因式。例 1.分解因式 2 x3 + x2 - 6 x- 3。分析 :这是四项式 ,一、二项系数比为 2∶ 1,三、四项系数比也为 2∶ 1,因此可以一、二为一组 ,三、四为一组进行 2 - 2分组。解 :2 x3 + x2 - 6 x- 3=(2 x3 + x2 ) + (- 6 x- 3)=x2 (2 x+ 1) - 3(2 x+ 1)=(2 x+ 1) (x2 - 3)。因为一、三项系数比为 1∶ (- 3) ,二、四项的系数比也为 1∶ (- 3) ,所以还可以一、三项为一组 ,二、四项为一组进行 2 - 2分组。例 2 .分解因式 x2 -…     

提取公因式的易犯错误

一、有公因式不提 例1 分解因式8x3-32xy． 错解 原式=x(8x2-32y)． 例2 分解因式4x2yz+16y2． 错解 原式=4(x2yz+4y2)． 评析 提取公因式时,既要提取相同字母的最低次幂,也要提取各项 系数的最大公约数,因为公因式包括公约数．否则,都是不正确的．     

挖掘“十字相乘法”的作用 提高学生分解因式的能力

在初中《代数》第二册第7.5节分组分解法中第120页上的例1,给出了如下解法: 例1 把a~2-ab ac-bc分解因式。解:a~2-ab ac-bc =(a~2-3b) (ac-bc) =a(a-b) c(a-b) =(a-b)(a c) 当然,此例还可有其它不同的分组分解方法。但学生往往容易产生这样一种错觉:此例除了采用分组分解法之外,别无它法。然而事实上并非如此。此例还可以用课本7.6节要讲的“十字相乘法”求解(但7.6节中并无这样的例子)。具体解法如下: 解:a~2-ab ac-bc =a~2 (c-b)a-bc (看成关于a的二次三项式) =(a-b)(a c) 一般来说,凡适合分组分解法进行因式分解的多项式,如能整理成某个字母的二次三项式,则均可采用“十字相乘法”进行因式分解。例如课本第122～123页上的例4～6,把m~2 5n-mn-5m,x~2-y~2 ax ay,a~2-2ab b~2-c2分解因式,实际     

待定系数法分解因式

待定系数法是一种十分重要的数学方法,具有广泛的应用.运用待定系数法分解因式是根据两个多项式相等则它们同类项的对应系数相等的原理.分解时,先假定某个多项式已经分解为含有字母系数的两个或两个以上的因式,再利用上述原理确定待定系数. 例l分解因式2尹一7xy+3犷十4x十3y一6. 解·:首项2尹可分解为2二·。 :.设原式一(2二十aly十::)(x+a。夕十。:) =2了2+(Za,+a,)却十alaZ少2十(2c2+c,)了 十(二;。:+山c;)少十c,c,. 比较等式两边多项式对应项的系数,得 f Za,+al-一7, {口la,一3, 一芍Zc,+c;一4,解得或 …rl‘2一,_ ‘“l‘2,1~“2‘l一…     

中考试卷中的因式分解试题分析

因式分解的方法很多．初中课本主要要求掌握用提取公因式法、公式法、十字相乘法以及分组分解法分解因式．细析几年来各地中考试卷中的因式分解试题，发现试题的形式多以提取公因式法和分组分解法出现，有时侧重于上述四种方法的综合应用，而考查的基本方法则是公式法．下举几例说明．一、以提取公因式法的形式出现1．连续提取公因式例1分解因式：a（x－y）＋（ay－ax）y，（89年石家庄市）分析前一项括号中是x一y·后一项的括号中是ay－ax．因此，后一项须提取一a，然后用连续提取少因式法加以分解．解原式一a（x—y）－a（x一），）y一a（…     

合理分组 巧妙分解

分组分解法是因式分解中技巧性较强的一种方法,分组没有固定的模式,其关键在于经过适当分组后,各组可分别用提公因式法、公式法来分解因式,为帮助同学们学习,下面就四项、五项和六项式的分组方法作一介绍。 一 多项式为四项时 1.当四项中有两项符合平方差公式,或两项两项之间有公因式,或两项两项之间的系数比相同时,可试用“二·二”分组法。 例1 分解因式:(1)ma+nb-na-mb;     

巧用代入法 妙求分式值

一、化简代入技巧例1先化简,再求值。ba-b·a3+ab2-2a2bb3÷b2-a2ab+b2,其中a=23,b=-3。解:待求式=ba-b·a(a-b)2b3·b(b-a)=-ab=-23÷(-3)=29。二、求值代入技巧例2已知a(a-2)-(a2-2b)=-4,则a2+b22-ab=。解:∵a(a-2)-(a2-2b)=-4,∴a2-2a-a2+2b=-4,∴-2(a-b)=-4,a-b=2,故a2+b22-ab=(a-b)22=222=2。三、换元代入技巧例3如果x:y:z=1:3:5,那么x+3y-zx-3y+z=。23,则。解:设x=k,y=3k,z=5k,则x+3y-zx-3y+z=k+9k-5kk-9k+5k=5k-3k=-53。四、和积代入技巧例4已知x=樤3+樤2,y=樤3-樤2,试求2xyx2-y2+xx+y-yy-x的值。解:由题设得,x+y=2樤3,x-y=2樤2,xy=1…     

分组分解法引入教学设计的反思

分组分解法是因式分解的一种重要方法 ,它是提取公因式以及公式法分解因式的综合运用,需要经过一次分组、两次分解才能完成。其中,合理分组既是基础,又是关键,需要认真观察,瞻前顾后,具有一定的预见性。科学设计引入,才能体现分组分解法发生的过程,又能够感悟分组分解法的步骤。我设计了如下的引入:一、引入的设计(一)尝试分解下列因式:1 ax-bx;2 x2-y2;3 a(x+y)+b(x+y);     

提取公因式易犯的八种错误

■一、有公因式不提例1 分解因式8x3 - 32xy.错解:原式=x(8x2- 32y).例2 分解因式4x2yz + 16y2.错解:原式=4(x2yz+ 4y2).评析:提取公因式时,既要提取相同字母的最低次幂,也要提取各项系数的最大公约数,因为公因式包括公因数,否则,都是不正确的.正解:1.原式=8x(x2- 4y).2.原式= 4y(x2z + 4y).■二、公因式提不尽例3 分解因式3x(m - n) - 6y(n - m).错解:原式=3[x(m -n) - 2y(n - m)]=3(mx - nx - 2ny + 2my).评析:公因式既可以是单项式也可以是多项式,n - m可变形为- (m - n),因此,上题中的公因式应为3(m - n).正解:原式=3x(m - n) + 6y( …     

因式分解方法谈

学过因式分解的人爱说:“一提、二代、三分组”.“提”是指“提取公因式”,在因式分解时,首先应当想到的是有没有公因式可提.“代”就是指“应用公式”(代公式).将乘法公式反过来写就得到因式分解中所用的公式,常见的有七个公式:(1)a2-b2=(a+b)(a-b);(2)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);(3)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);(4)a2+2ab+b2=(a+b)2;(5)a2-2ab+b2=(a-b)2;(6)a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3;(7)a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3.以上公式必须熟记,牢牢掌握各自的特点.如果“一提、二代”都不能奏效,就应当采用分组分解.一般地,分组分解大致分为三步:(1)将原式的项适…     

因式分解的换元解法

换元法是数学中的一个重要的思想方法。就是将代数式中的某一部分用一个新字母(元)来替换。此法用于多项式的因式分解,能使隐含的因式比较明朗地显示出来,从而为合理分组、运用公式等提供条件,使问题化难为易。例1分解因式(x2+xy+y2)2-4xy(x2+y2)。解:设x2+y2=a,xy=b,则原式=(a+b)2-4ab=(a-b)2=(x2-xy+y2)2。例2分解因式(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)2。解:设x+y=a,xy=b,则原式=(a-2b)(a-2)+(b-1)2=a2-2ab-2a+4b+b2-2b+1=(a-b)2-2(a-b)+1=(a-b-1)2=(x+y-xy-1)2=〔(1-y)(x-1)〕2=(y-1)2(x-1)2。例3分解因式(x2-4x+3)(x2-4x-12)+56。解:设x2-4x=y,…     

例谈分组分解法

在运用分组分解法分解因式时,唯有正确分组,才能顺利获解.本文结合实例说明如何根据多项式的特点正确分组,供同学们学习时参考. 一、按公因式分组例1 (2001年河北)分解因式x2-xy+xz-yz.分析:一、二两项有公因式x,三、四两项有     

例谈分组分解法

四项或四项以上的多项式一般选用分组分解法分解因式．分组应遵循的原则是：（１）分组后各组可分别用基本方法分解因式；（２）各组分别分解因式后，各组之间还可用基本方法继续分解因式．分组是否正确，就看是否满足这两个原则的要求．同时满足则是正确的，否则就是错误的．例１分解因式：ａｘ—２bｘ＋aｙ-2ｂｙ．分析第一、二项有公因式x，第三、四项有公因式ｙ，可试用按公因式分组，显然分组后下一步的分解仍能继续进行．解原式=（aｘ一2ｂx）十（aｙ一２by）=x（ａ-2ｂ）十ｙ（ａ—2ｂ）=（a-2ｂ）（ｘ＋ｙ）．例２分解因式：１０ａ2…     

适当选取主元分解因式

在分解因式时,有时遇到的多项式中,不止一个字母,若认定其中某一个字母为主元,按降幂排列,便会发现有公因式可提或可利用公式,给分解带来方便,请看下面的例子.例1 分解因式 bc(b+c)+ac(c-a)-ab(a+b).解选取 b 为主元,整理,得原式=(c-a)b~2+(c~2-a~2)b+ac(c-a)=(c-a)[b~2+(c+a)b+ac]