黎卡堤方程的几种可积类型

刘维尔早已证明黎卡堤方程在一般情况下,不能用初等解法求解．本文给出几类特殊的黎卡堤方程的初等解法．定理1黎卡堤方程y一川X灯’十以X）y＋wt（。）,其中P,Q,R’EC,mEC,且满足条件P（x）R’（x）＋Q（x）R（x）＋（m－l）R’（x）＝0时,则方程可积,其通解为证明：令y＝X＋B（X）,代入方程后可得此为贝努利方程,积分此方程得代回原来变量,即有y＝X＋R（X）为原方程的通解．定理2黎卡堤方程y＝P（x灯‘＋Q（x）y＋R（x）,其中P、Q、R6C,且满足条件n。‘P（x）十忡（X）＋R（X）＝0,则此方程可积,其通解为y“u…     

某些平面曲线的垂足曲线

平面上定点C在曲线K的动切线上射影的轨迹称为曲线K关于定点C的垂定曲线．解析几何中论证过，椭圆、双曲线b2X2±a2y2＝a2b2关于其焦点的垂足曲线是圆x2＋y2＝a2，抛物线y2＝4ax关于其焦点的垂定曲线是直线x＋a＝0．本文拟研究某些其他平面曲线的垂足曲线问题。假设已知曲线Kf（X，y）＝0（1）和定点C（a，b），则曲线K的动切线方程是过点C并且垂直于切线（2）的直线方程是其中，（XY）是流动坐标，而（X，y）是曲线K上点的坐标。从方程（1）、（2）和（3）消去x和y，就得到曲线K关于定点C的垂足曲线方程．命题1椭圆关于其中心的垂足…     

一初等最优问题的矩阵证明

一个三角形当其周长为定值时,它的面积最大者为正三角形．这一命题的证法很多,本文绘出一个用矩阵证明的方法．设三角形的周长为L,三边长分别为X,y,Z,其面积为X,y,Z的函数,记为S（X,y,X）,这里X＞0,y＞0,Z＞0且X＋y＋Z＝L．－．面用等周的线性变换设最初三角形三边长为X。,yo,Z。,作下列线性变换由平面几何常识知,有S（x。,Y。,z）＜s（x;,y;,z）＜s（x。,y。,z）＜s（x。,y。,z）且Xi＋yi＋Zi—L（i＝0,1,2,3）故上述线性变换保持三角形周长不变且使三角形面积增加,称其为面增等周线性变换．合并…     

《因式分解》期考复习自测题

一、填空题（每小题5分,共30分）二、单项选择题（每小题5分,共30分）1．下列各式从立到右的变形,为因式分解的是（）（A（。－y）（。－b）－。。－bX－。y＋by;（B）4－X‘－y’＋Zxy＝（2＋。－／）（2－x＋y）;（C）aZ＋l＝。（。＋1）;（D）。’－。－30＝（x＋6）（。－5）．2．将x’＋x’－9。－9分解因式,正确的结果是（）（A）。＋l）（x’9）;（B）（x＋l）（x’＋9）;（C）（x—l）（。＋3）（x－3）;＜D）（X十且）＜。十二5）＜x一二5）．3．将（x－y）‘＋6（y－。）＋9分解因式,正确的结果是（）（A）（x－…     

关于二次曲线中点弦的一个性质及其应用

记f（x,y）＝Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F（A、B、C不全为零）．定理若过一点（a,b）的直线被二次曲线f（x,y）＝0截得的弦（不过有心曲线的中心）的中点为（X0,y0）,则证明方程f（x,y）＝0可变形为令ZAX。十河。十p一人‘（。,y。）,ZO。＋B。＋E一人’（x。,y。）,设过点（a,b）及点（x。,y。）的直线方程为将（2）代入（l）,整理得易知该方程有两个不等的实根x1及x。,依韦达定理及中点坐标公式得试举几例说明定理的应用例1给定双曲线X’一会一1,过点A（2,1）的直线l与所给双曲线交于两点产;和P。,求线段P;P。…     

在轮换对称区域上的积分

定义：设有一区域Q，若将变量X、y、Z依次轮换后，Q保持不变，则称Q为轮换对称区域。定理1设函数P（X，y，z）、Q（X，y，z）、R（X，y，一在轮换对林区域V（三维空间区域）上可积，且在变换。：X’＝y，y’＝Z，Z’＝X作用下，P变为Q，Q变为R，R变为P，则推论1设L为三维空间曲线，且为可轮换对称域，其余条件同定理1，则有识分推论2设积分区域为空间曲面Z，其余条件同定理1，则有积分由上面的定理及推论不难得出推论3设二元函数P（X，y）、Q（X，y）在轮换对称区域g上可积，且在变换。；：其中Li］球面X‘＋y‘＋Z‘＝1在第一…     

一个代数不等式的证明

《中学教学月刊》1999年第10期《一组三角形不等式的代数本质》一文中，有一个留待探讨的不等式，本文利用＜b，m＞0）给出其证明．若x，y，zR＋，xy＋yz＋zx=1，则8x2y2z2＞（1－x2）（1－y2）（1－z2）．证明（1）x＞0，y＞0，z＞0，xy＋yz＋Zx=1，x，y，z三个数中至多有一个数不小于1（若有两个数不小于1，则与xy＋yz＋zx=1矛盾）．从而原不等式左边＞0，右边＜0，不等式成立．（2）若0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，由即4ZJ）r＞（1一人（1－Z勺．同理可证，勿’xz＞（1－X勺（1－X勺，4X’ry＞（1－X勺（1－y）三式相乘得4’X、‘X‘…     

定积分的计算机求解

应用牛顿-莱布尼兹公式求定积分十分方便。但对于找不出原函数的定积分。我们不能舍本求末。走入求定积分的误区。而应当求曲线和X轴所围成的面积。用计算机近似求解。     

圆系方程中圆的存在性、性质及应用

本文通过对圆系方程（x^2＋y^2＋D1x＋E1y＋F）＋λ（x^2＋y^2＋D2x＋E2y＋F2）=0（λ≠1）表示圆的存在性和性质的深入研究，得到了几个有价值的结论，特别是用圆的方程推出了三角形中过顶点的相关线段的长度公式．     

根据项数 确定方法

进行多项式的因式分解，一般应先考虑有没有公因式可提取，在提取了公因式以后，或者在没有公因式可提取的情况下，我们可以再根据多项式的项数来确定因式分＠的方法，一般可以分为以下几种类型．一、二项式对于二项式，首先应考虑能否应用平方差公式、立方和及立方差公式．在上述公式都不能运用的情况下，再考虑用添项分组的方法来解．例1分解因式：xy’－X’y．（995年贵阳市中考试题）闻原式一xy（y。一。·勺一xy（y＋X）（y一2，）．例2分解困式：64X＋X‘．（1995年呼和浩特市中考试题）闪原式一。（o‘＋x3）一X（X＋4）（XZ－4i…     

利用三角形面积公式证题五例

面积公式能直观给出几何图形的性质，同时，它也是证明几何命题的有力工具。利用三角形面积公式解题，常显出简捷、新颖等特点，以下就此举例说明之。例1、（梅涅劳斯定理）一直线分别截△ABC的三边（或边的延长线）AB、BC、CA于D、E、F则这道题的证法很多，利用面积公式S。“7absinC证明，不仅证法简单明了，而且不用作辅助线，显出其较大优越性。例及若O＜8＜7，求证：sin6”cos6＜店。证明：如图，凸妞C为等腰直角三角形，在斜边见上取一点D，连AD，设／BAD＝6’则zDAC一90”－6o例3、（切割线定理）已知：点P是①O外一点，P…     

定积分的三大热点问题

定积分题目以考查基础知识为主,难度不大,属中、低档题.现举例分析定积分的三大热点问题,供同学们参考.一、计算型这类题的特点是：给出定积分的表达式,求其值.例1∫_0^（2π）（sinx＋cosx）dx=（）.A.0 B.πC.2πD.4π解：函数y=-cos x＋sin x是函数y=sin x＋cos x的一个原函数.     

应用乘法公式的技巧

公式是解题的重要工具，灵活巧妙地使用公式，可使问题迅速地得到解决．本文向同学们介绍应用乘法公式的几个技巧．一、巧结合例1计算：（2a＋1）（2a－1）（4a2＋2a＋1）（4a2－2a＋1）．抛原式一〔（2a＋1）（4a2－2a＋1）〕［（2a－1）（4a2＋2a＋1）〕=（8a3+1）（8a3－1）=64a6－1．二、巧分组例2计算：（Zxwy－zWS）（Zx－y＋z＋5）．用原式一［（ZZ＋5）＋（y－Z》［（ZZ＋5）－（y－Z）j一（ZX＋5）’一（y－X）’一4X’－／－X’十勿z＋20X＋25．三、巧拆项例3计算：（X－2）（X2+2X＋5）．分析如果把“5”拆成“4＋1”，…     

代数期考训练题

一、单项选择题（每题2分,共24分）1．下列方程中,二元一次方程是（）（A）xy=1;（B）y=3x－1;（C）x＋＝2：（D）x2＋x-3-0．2．若是二元一次方程mx＋Zy＝5的一个解,则m的值为（A）1;（B）－1;（C）3;（D）－3．3在等式y＝kx＋b中,当x=-1时,y=0当x＝0;y＝-1,则这个等式是（）（A）y＝－x－l;（B）y＝－y＋1;记何一。－1;（D灯二十十1．4下列各式中,一元一次不等式是（）（A八一十y＞l;（B八’－3。＋2＞0;,＿、ZX－I－if＋X,＿＼111（c）”一二女c：（D）女X十吉x＞卡”＋1．。一,42’“一”2一3一6—’““5…     

两圆位置关系的判定方法

两圆位置关系的判定,有两种方法：一、根据两国国心距d与两圆半径R、r的和、差关系判定：（l）d＞R＋no两圆外离;（2）d＝R＋no两国外切;（3）－r＜d＜R＋no两圆相交;（4）d＝R－r（R＞r）＿两圆内切;（5）d＜B－r（B＞r）＿两圆内含．下面的中考题就是用这种方法判定的．例1已知①O;和①O。的半径分别为gcm和scm,圆心距O1OZ＝4cm,贝u①O;和①OZ的位置关系是（）（A）内含;（B）内切;（C）相交;（D）外切．（999年,江西省）例2设两圆的半径为R和r,圆心距为d,若B＋r＜d,则两圆的位置关系为（）（A）内含;（B）相…     

计算机数学基础练习题1

1　单项选择题(1)设命题公式G : P→ (Q∧R) ,则使公式G取真值为 1的P ,Q ,R赋值分别是 (　　 )。　A .0 ,0 ,0　　　　　　　　B .0 ,0 ,1　　　　　　　　C .0 ,1,0　　　　　　　　D .1,0 ,0(2 )谓词公式 yP(y)取真值为 1的充分必要条件是 (　　 )。　A .对任意 y ,使P(y)都取真值 1　　　 B .存在一个 y0 ,使P(y0 )取真值 1　C .存在某些 y ,使P(y)都取真值 1　　 D .存在 y0 ,使P(y0 )取真值 0(3)设G x yP(x ,y) →Q(z,w) ,下面四个命题为真的是 (　　 )。　A .G是前束范式　　　　　　B .G不是前束范式　C .G不是一阶…     

正弦平方差公式的应用

sin2α－sin2β＝sin（α＋β）sin（α－β）在现行高级中学《代数》上册（必修）中是以习题形式出现的，但它却是一个重要的公式．因其形似x2－y2＝（x＋y）（X－y），故不妨称之为正弦平方差公式．合理地利用这一公式，可以使许多三角题得到简捷巧解．例1求sin’20”＋cos’50”＋sin20”cos50“的值．（1995年全国高考试题）解原式一sin’20”＋1－sin’50”十sin20”。。s50”一1＋sin（20“＋50o）sin（2矿一5旷）＋Sll20”C0550”1．＿＿＾1，＿＿。一1一手sin70o十手（sin70o－sin30o）2—”一’－2”—“”“’——”””—一34…     

关于微分方程y″+py′+qy=f(x)解的积分公式

介绍关于微分方程y″＋py′＋qy＝f（x）的一种积分公式求解法。此法首先将该微分方程化为一阶线性微分方程,通过解两次一阶线性微分方程．得到该微分方程的积分公式,而后根据特征方程的三种情况,即相异实根、相等实根、共轭复根给出三个不同情形下的解的计算公式。最后村论了几种f（X）特殊情况下的微分方程解的公式。     

点到直线距离公式的简捷证明及推广应用

一、点到直线距离公式的证明 命题：点P（X0,Y0）到直线L：Ax＋By＋C=0（A2＋B2≠0）的距离为d,则d=｜Ax＋By0＋C｜/√A2＋B2     

困惑、探究、明理、延伸——由圆系方程想到的探究

命题:经过两圆C1:x2 y2 D1x E1y F1=0与C2:x2 y2 D2x E2y F2=0 的交点的圆的方程可以设为:x2 y2 D1x Eay F1 λ(x2 y2 D2x E2y F2)= 0(λ∈R且λ≠-1)……………………………(1) 在求过两已知圆交点的圆的方程时,我告诉学生可用上述命题来解题,这样可避免求两圆的交点．学生为该解法的美妙喝彩的同时提出了两