对圆的弦中点坐标与弦的斜率关系的联想

1问题众所周知,圆具有如下的性质:如果.AB是圆O:x2 y2=r2的一条弦(不包括直径),M(x0,y0)是弦AB的中点,那么OM⊥AB,从而当x0y0≠0时,有kOM·kAB=-1,而,故,也就是说:知道了弦的中点坐标我们便可以直接写出此弦的斜率.     

圆幂定理在几何计算中的应用

相交弦定理、切割线定理以及它们的推论称为圆幂定理。圆幂定理在几何计算中的应用,主要是应用圆幂定理建立关于未知几何量的方程或方程组,然后通过解方程或方程组,求得未知几何量的值。 一、应用相交弦定理或其推论解题 例1 已知⊙O的弦AB=8cm,弦CD平分AB于点E苦CE=2cm,则ED的长为( )。 (A)8cm (B)6cm (C)4cm (D)2cm     

解析几何中要善于应用图形的几何特征

解析几何主要是通过计算来研究曲线的方程或曲线的几何性质 ,如果我们能善于应用平面几何图形的基本性质特征 ,有时可使问题容易解答 .1　使用几何特征可以简化解题过程图 1例 1　直线 l:y=k(x+2 2 )与圆 O:x2 +y2 =4相交于 A,B两点 ,O是坐标原点 ,△ ABO的面积为S.(1)求函数 S= f(k) ;(2 )求 S的最大值 ,并求取得最大值时 k的值 .解　 (1)原点 O到直线 l的距离为 d=2 2 |k|1+k2 ,弦长 |AB|=2 |OA|2 - d2 =24 - 8k21+k2 ,S =12 |AB |· d =12 · 24 - 8k21+k2 · 2 2 |k|1+k2 =4 2· k2 (1- k2 )1+k2 .∵ |AB|>0且 S>0 ,∴ - 1相似文献   

课本中一道例题引发的探究性学习案例——圆的相交弦定理在圆锥曲线中的延伸与拓展

在初三我们学过圆的相交弦定理:圆的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等.即: 若圆O内的两条相交弦AB,CD相交于点P,则| PA|·|PB|=|PC|·|PD| 在人教版的选修4-4中有这样一道例题(课本第38页例4):     

九年级第一学期期中几何质量检测题

一、选择题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.下列命题 ,正确的是 (　　 ) .(A)三点确定一个圆(B)任意三角形都有并且只有一个外接圆(C)经过圆心且平分弦的直线 ,垂直于这条弦(D)直角所对的弦是直径2 .已知AB和CD是同圆上的两条劣弧 ,并且AB=2CD .则 (　　 ) .(A)AB =2CD(B)AB >2CD(C)AB <2CD(D)AB与 2CD的大小无法确定3.⊙O中弦AB⊥CD于E ,AE =2 ,BE =6 ,OE =3.则⊙O的直径等于 (　　 ) .(A) 4 5　　 (B) 6 5　　 (C) 37　　 (D) 2 2 14 .圆的弦长等于它的半径 ,那么 ,这条弦所对的圆周角的度数为 (　　 ) .(A) 30°　 (B) 6…     

圆锥曲线焦点弦长的统一形式及其应用

<正> 设AB是经过焦点在x轴或平行于x轴的直线上的圆锥曲线的焦点弦,则|AB|=1+k2/|1-e2+k2|·l,其中k是焦点弦的斜率,e是圆锥曲线的离心率,l是圆锥曲线的通径长. 类似地,AB是经过焦点在y轴或平行于y轴的直线上的圆锥曲线的焦点弦,则|AB|=1+k2/|1+(1-e2)k2|·l.     

利用圆的对称性找漏解

<正> 不少同学在解答与圆有关的几何计算问题时常常漏解.若能够充分利用圆的对称性,则可找回漏解. 一、平行弦间的距离问题例1 ⊙O的半径为5厘米,弦AB∥CD,.AB=6厘米,CD=8厘米,求AB和CD的距离.(人教版第三册几何第85页习题)     

利用圆的几何性质解题

在涉及到圆的有关问题时.若能抓住题设中圆的图形特征和数量关系,充分利用圆的有关几何性质,常常可使问题的解决变得更简捷. 性质1 圆的弦的垂直平分线必过圆心例1 (2001年全国卷)过点A(1.-1).B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是__. 分析:因线段AB为所求圆的弦,没点C为AB的垂直平分线与直线x+y-2=0的交点.由已知条件及性质1.知点C为     

一个值得商榷的公式

文[1]中提到,圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)过焦点的弦长有一个统一的公式:设圆锥曲线的离心率为e,焦点到准线的距离为p,过焦点的弦AB的倾斜角为θ,则|AB|=|1-2ee2cpos2θ|并用极坐标的方法给予了证明,证完后强调:该公式虽然是在极坐标系中证明的,但应用公式时可以不受坐标系     

圆锥曲线的一个弦长公式与应用

关于圆锥曲线的焦点弦长公式已有讦多文章论述,而对顶点弦长问题尚未多见,其实顶点弦长问题也是近年各类考试的热点.为此,本文介绍顶点弦长度的一个公式及其应用,供读者参考. 定理设AB是经过横向型圆锥曲线顶点(指的是抛物线的顶点、椭圆长轴顶点、双曲线实轴顶点)A的弦,该弦的斜率为k,e是离心率,p为焦点到相对应准线的距离,则|AB|     

圆锥曲线切线的两个性质

众所周知,圆有如下性质:过圆222x+y=r(r>0)外一点作圆的切线,PB(PPAA,B为切点),则OP平分弦AB;当∠APB为90时,点P在以O为圆心,2r为半径的圆上.通过类比,笔者发现圆锥曲线也有类似的性质.性质1过圆锥曲线外一点作它的切线,PPA     

圆锥曲线过焦点的弦

由抛物线的定义可以推出,过抛物线y2=2px(p＞0)焦点(P/2,0)弦AB的弦长与弦AB中点的横坐标有着密切的关系:|AB|=x1+x2+p=2x+p,其中A点的坐标为(x1,y1),B点的坐标为(x2,y2),x=x1+x2/2.     

圆锥曲线过焦点的弦

由抛物线的定义可以推出,过抛物线y2=2px(p＞0)焦点(P/2,0)弦AB的弦长与弦AB中点的横坐标有着密切的关系:|AB|=x1 x2 p=2x p,其中A点的坐标为(x1,y1),B点的坐标为(x2,y2),x=x1 x2/2.……     

复平面上圆方程的若干等价命题

我们知道 ,解有关复数的命题大体有三大策略 :(1)化归思想 ;(2 )整体思想 ;(3)数形结合 .本文以数形结合的解题思想为中心 ,探讨复平面上圆方程的若干等价命题 ,供同行参考和指正 .定理 1　下列六个命题彼此等价 :1.虚数 z满足 |z|=r(r是正实数 ) .2 .虚数 z满足 |z2 |+(1- r) |z|- r=0(r是正实数 ) .3.虚数 z满足 zz=r2 (r是正实数 ) .4 .虚数 z满足 - 2 r相似文献   

多弦关系的三角证法

在一个已知圆中,弦长是它所对的弧的函数。设圆的直径为d,弦AB所对的弧度数为2a,显然可以得出 AB=dsina(如图) 通过这个公式,可以把同一个圆中众多的弦统于一直径和圆周上的弧。从而把某些难以捉摸的几何问题转化为较为有规律的三角演算。在大部份情况下,解法简洁,思路自然。下面试举数例。例1 P是正三角形     

|x-a|的几何意义(初一、初二)

|x-a|的几何意义是:数轴上两数x和a对应的点A和B之间的距离(如图1),即线段AB的长.记为|AB|. 从这个几何意义出发,能很好地解决一些含有绝对值符号的问题,比用代数法简单. 例1 适合关系式|3x-4|十|3x+2|=6的整数x的值的个数是( ) (A)0.(B)1.(C)2.(D)大于2的自然数.     

巧妙构圆 简捷求解

在解有关解析几何问题时,可先根据题设条件,构造一个辅助圆,然后运用平几中有关圆的特性将问题转化,使其获得简解·【例1】已知圆O:x2+y2=R2及圆外一点P(a,b),过点P作圆O的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,求直线AB的方程·分析:以P为圆心,以PA为半径构造一个圆,可将问题转化为求两圆的公共弦方程,从而简便求解·如图,由切线长定理及切线的性质得PA=PB,且|PA|2=|PO|2-|OA|2,于是以P为圆心,以PA为半径的圆方程:(x-a)2+(y-b)2=a2+b2-R2,①它与已知圆O:x2+y2=R2,②交于A、B两点·故由①—②得ax+by-R2=0,即为所求直线AB的方程·…     

一圆锥曲线共线焦半径性质的发现、引申和应用

<正>圆锥曲线有许多优美的性质,比如统一定义;统一极坐标方程ρ=ep/1-ecosθ;横(纵)向型圆锥曲线的统一焦点弦长公式|AB|=2ep/1-e2cos2(α|AB|=1-2ep/e2sin2α)(对双曲线为同支焦点弦),等等.这些统一性质不仅体现了椭圆、双曲线、抛物线的紧密联系,展示了圆锥曲线内在的"统一美",而且其本身也具有广泛应用价值.作为教师,若与学生一起     

错在哪里?(初三)

下面几道题的解答,都有错误,请你想一想,错在哪里? 1.已知两圆半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且R2+d2-r2>2Rd.试确定两圆的位置关系. 解因为R2+d2-r2>2Rd,所以R2-2Rd+d2>r2,即(R-d)2>r2,所以R-d>r, R-r>d,所以两圆内含. 2.⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,公共弦AB与连心线O1O2交于G,若AB=48,     

初三第一学期期末平面几何质量检测题

一、填空题(每题3分,共30分) 1.在Rt△ABC中,么C=90。,BC=4,sinA=吾.则AB=——. 2.如图1,已知△ABC中,BC=4,么A=60。,么B=45。.则AC的 c长为 . 3.一圆中两弦相交,一弦长为2n且被交点平一分,另一弦被交点分成l:4两部分.则另一弦的长为一 4.如图2,00’内含于00,00的弦AB、AC分别切00’于D、E,^E的度数是140。.则砬的度数是 . 5.已知两圆半径分别 图2为1.5 cn'l和2.5 CITI,一条外公切线长为4 cIll.则两圆的位置关系是—— 6.如图3,AB是00的直径,CD是 .00的弦,AB、CD的延长线交于E点,已知AB:2DE,么E=18。.则么AOC的度数是图…