从老虎捕食谈沃洛诺依图的应用

同学们可能都在电视上看到过这样的镜头:一只老虎昂首走在丛林里,它在巡视自己的领地,这块土地上的弱小动物将是它的捕食对象.如果这块土地上有两只老虎分别蹲在指定的位置上,又假如这两只老虎的捕食能力(如奔跑速度)是同样的,那么怎样划分它们的捕食范围呢?     

平面向量在几何中的若干应用

向量是数学研究的一种重要工具,尤其是解决几何问题,常有独到之处.下面我们来看看向量在几何中的若干应用.一、垂直平分线例1如图1,O、A、B是平面上三点,向量OA=a,OB=b,设P是线段AB垂直平分线上任意一点,向量OP=p.若a=3,b=2,求p·(a-b)的值.分析:要不要把式子p·(a-b)展开?有没有必要把p用a、b来表示?题意中最主要的条件是什么?P是线段AB垂直平分线上任意一点,那么线段垂直平分线上的点有什么性质呢?线段垂直平分线上的点到线段距离相等,即PA=P B,a-p=b-p,两边平方得a-p 2=b-p 2即(a-p)·(a-p)=(b-p)·(b-p),a2-2a·p p2=b2-2b·p p…     

一道课本例题的演变

人教版几何第三册 72页有这样一道例题 :如图 1 ,点O是∠EPF的平分线上的一点 ,以点O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D .求证 :AB =CD .证明　分别作OM ⊥AB ,ON⊥CD ,M、N为垂足 ,∴∠MPO =∠NPO ,∴OM =ON ,∴AB =CD .在这个例题中 ,如果把点P看作是运动的点 ,它与圆的位置关系就有三种 :①点P在圆外 ;②点P在圆上 ;③点P在圆内 .因此就可以得到这样一个题目 :点P与⊙O的位置关系有三种 :如图 2、3、4所示 .图中PC经过圆心 ,且∠APC =∠BPC .求证 :PA =PB .分析　本题中的三种位置关系体现了运动变化的观…     

三角形部分概念和定理精析

一、概念辨析———三角形三条角平分线的性质与三边垂直平分线的性质的联系和区别区别:(1)名称不同:三角形角平分线的交点叫做三角形的内心;而三边垂直平分线的交点叫做三角形的外心.(2)性质不同:三角形角平分线的交点到三边的距离相等;而三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等.(3)位置不同:三角形角平分线的交点总在形内;而垂直平分线的交点可能在形内,也可能在形外,还可能在线上.联系:(1)都交于一点;(2)等边三角形角平分线的交点是三边中垂线的交点.例1如图1,A、B、C三点表示三个村庄,为解决村民子女就近入学的问题,有关部门计划建…     

几何不等问题

在平面几何里,证明线段不等的问题是一个难点·学生常常束手无策,那么是否有规律可循呢?其实,这类问题都可以转化为利用三角形三边关系定理来解决,这里从以下几方面举例说明·一、利用翻折变换集中条件例1已知:如图1,DE是BC的垂直平分线·求证:AB>AC.证明:连接DC.在△ADC中,AD+DC>CA·因为DE是BC的垂直平分线,所以BD=DC,所以AD+BD>AC,即AB>AC.例2已知:如图2,在△ABC中,AE为外角∠DAC的平分线,P为AE上的一点·求证:PB+PC>AB+AC.在AD上截取AM=AC,连接PM·因为AP=AP,∠1=∠2,AM=AC,所以△APM≌△APC,所以PM=P…     

怎样画轴对称图形

下列美丽的图案都是利用轴对称设计出来的 .怎样画轴对称图形呢 ?第一 ,要能准确找到对称点 .我们知道 :“如果一个图形关于某一条直线对称 ,那么连结一对对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴 .”那么这两个对称点就应该在对称轴两旁与对称轴垂直的直线上 ,且到对称轴的距离相等 .如果点在对称轴上 ,那么图 1这点的对称点就是它本身 .如图 1 ,作点A关于直线l的对称点 .过点A作l的垂线AH ,H为垂足 ,延长AH到A′,使HA′ =AH ,则点A′就是点A关于直线l的对称点 .而点B的对称点B′与B重合 .第二 ,如果图形是由直线、线段或射线组…     

与垂直平分线有关的计算题

与垂直平分线有关的计算题主要有两类,一类是关于边长和周长的计算,一类是关于角的计算,要熟练解决与垂直平分线有关的计算题,关键是要掌握垂直平分线的性质以及有关的结论,如图1所示,在△ABC中,DE是BC边上的垂直平分线,有以下结论（根据垂直平分线的性质很容易证明）.     

线段垂直平分线的应用

线段的垂直平分线的性质和它的判定是人教版初中几何第二册中的一节内容。在学习中一般容易被学生忽视,但有些题若能把线段垂直平分线的性质或判定利用上,会使证题过程变得简单巧妙。例1已知:如图,∠1=∠2,BC=BD求证:AD=AC(人教版初二几何复习题三)分析:这个题一般地用三角形全等的方法证明,但如果连结CD,设AB与CD相交于点E,则可以这样证明:因为:∠1=∠2,BC=BD,所以AE是CD的垂直平分线,所以:AC=AD。这样做,既复习了等腰三角形三线合一的性质,又复习了线段垂直平分线的性质一举两得。例2已知:如图,AB=ACDB=DC,AD的延长线交BC…     

谈谈轴对称图形与轴对称

一、知识剖析 1.轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴. 2.轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形成轴对称,这条直线就是对称轴.折叠后重合的点叫做对称点. 3.线段的垂直平分线:经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,又称线段的中垂线. 4.轴对称图形与轴对称的区别与联系: (1)区别:轴对称图形研究的是一个具有特殊形状的图形,轴对称研究的是两个全等图形的位置关系;轴对称图形只涉及一个图形,轴对称涉及到两个图形.     

一类静电场的电场强度和电势的变化规律

如图1所示,A,B是带电量均为+q的固定点电荷,两者相距2L.试说明,在AB连线的垂直平分线上的电场强度和电势的变化规律.在教学过程中发现:这类问题学生往往难于解决,错误率很高.     

巧用角平分线三例

巧用角的平分线,解决与之有关的几何问题,往往能化难为易.一、绕角平分线翻折例1如图1,已知ABC中,AD是外角平分线,P是AD上异于A点的任一点.分求证析与:P简B证 PC>AB AC.由于结论中的4条线段PB、PC、AB和AC的位置分散,很难直接进行比较,于是设想,如果把它们转移在同一三角形中就好办了.因为AD是外角平分线,故将APC绕AD翻折180°,则点C必定落在BA的延长线上,用C′表示,此时APC≌APC′,这样把PC、AC与PB、AB处在同一个PBC′中,根据三角形两边之和大于第三边即可证得结论.二、作两边的垂线,构造全等三角形例2如图2,四边形…     

对最速问题的讨论

我们知道质点自半径为R的空心球的最高点P由静止开始无摩擦地沿任一弦下滑至球面，如图1所示．可以证明所需的时间始终恒定，且等于√4R/g如果将半径分别为r和R两个球O1、O2相切，那么质点从O1球面上的任一点P，通过相切点滑到O2的球面上，如图2所示，所需时间是否也相等呢?     

走进直线、射线和线段

一、要准确分清三个概念的含义 1.直线. (1)直线是向两方无限延伸的一条笔直的线,如代数中的数轴,就是一条直线(它只规定了原点、方向和长度单位). (2)一个点可以用一个大写字母表示.一条直线可以用一个小写字母表示.如图1中的直线可以记作l,如果点A、点B在直线l上,那么直线l也可以记作直线AB. (3)一个点P与一条直线l有两种位置关系,如图2,①中:P点在直线l外,②中:P′点在直线l上. (4)两条直线a和b,如果它们只有一个公共点O,这两条直线的位置关系叫做相交,公共点O叫做交点.如图3. (5)经过一点有无数条直线.     

一道中考数学探究性试题

下面是 2 0 0 3年河北省一道中考数学探究性试题 .探究规律 :图 1如图 1,已知直线m∥n ,A、B为直线n上两点 ,C、P为直线m上两点 .( 1)请写出图 1中面积相等的各对三角形 ;( 2 )如果A、B、C为三个定点 ,点P在m上移动 ,那么 ,无论点P移动到任何位置 ,总有与△ABC的面积相等 .理由是.解决问题 :如图 2 ,五边形ABCDE是张大爷 10年前承包的一块土地示意图 .经过多年开垦荒地 ,现已变成如图 3实线所示的形状 ,但承包土地与开垦荒地的分界小路 (即图 3中折线CDE)还保留 .张大爷想过点E修一条直路 ,直路修好后 ,要保持直路左边土地面积与承…     

线段垂直平分线性质定理及其逆定理的应用

定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．同数学语言表示：如图1,直线ｌ上AB于CAC＝BC）。PA。PB．点P在l上J逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．用数学语言表示：如图1,PA二PBrt点P在AB的垂直平分线上．定理提供了判定两条线段相等的依据,逆定理提供了证明点在直线上的依据．它们在计算、证明、作图中都有重要的作用．一、在计算中的应用移ul如图2,等腰rtABC中,过腰AB的中点D作垂线（A、C在此垂线的两侧）交另一腰AC于E,连结BE．如果AD＋AC＝24cm,BD＋BC二20cm,求…     

平面几何(之20) 三角形的线

(5)三角形的中垂线及垂心的证明先说明什么是线段的中垂线.1.线段中垂线的定义·性质过线段的中点并且垂直于线段的直线就称为该线段的垂直平分线,简称中垂线.如图1所示的三个图中,直线l都过线段AB的中点H且都垂直于AB.     

《生活中的轴对称》综合指导

一、知识要点(请你仔细阅读并填空) 1.如果一个图形____,那么这个图形叫做____,这条直线叫做____. 2.对于两个图形,如果____,那么称这两个图形成轴对称,这条直线就是____. 3.角是____图形,对称轴是____,角的平分线上的点到的距离相等. 4.____叫做线段的垂直平分线. 5.等腰三角形是____图形,对称轴是____,等腰三角形的特征有:(1)____,(2)____,(3)____.     

一道几何习题的联想

《几何》第一册第202页有这样一道习题: 例1 求证:如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形,那么这个四边形是矩形. 已知:如图1,ABCD是□,它的四个内角的平分线AF、     

证明(二)单元测试卷

一、填空题(每小题5分,共40分)1.如图1,AO=BO,AE=BD,P是AD和BE的交点,该图中有对全等三角形.图1图22.如图2,∠A=∠C,AF=CE,若要证明△ABE≌△CDF,还需补充一个条件,(1)若以“SAS”为依据,则补充的条件是.(2)若以“ASA”为依据,则补充的条件是.3.若等腰三角形的一个内角为150°,腰长为a,则腰上的高等于.4.在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,AC的垂直平分线交AB于D,则图3∠BCD=.5.如图3,△ABC中,AB=16,AC的垂直平分线MN交BC于N,若△NBC的周长为26,则BC=.6.如图4,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,BC=3,下列各图所示的三角形…     

反射光路 镜“居”何处?

例1如图1所示,已知入射光线AO与其反射光线OB,请画出平面镜的位置.分析根据光的反射定律可知:反射角等于入射角,法线平分入射光线与反射光线的夹角,且法线与镜面垂直.过入射点O作∠AOB的角平分线(虚线)ON,过O点作ON的垂线