形如cos 2/7π cos 4/7π cos 6/7π(n∈N)的数都是有理数吗?

在《三角函数》教学中,总要遇到求cos2/7π cos4/7π cos6/7π和cos2/7π·cos4/7π·cos6/7π的值的问题。结果发现,cos2/7π、cos4/7π、cos6/7π这三个无理数的和与积分别等于-1/2和1/8,都是有理数。进而发现,     

一类反三角函数题的解法

关于用一个反三角函数表示两个反三角函数的和的问题,如果两个反三角函数的和的取值范围在所求的反三角函数的值域内时,学生计算起来比较顺利,不易出错。如: 把arc cos3/7+arc cos9/11化为反余弦函数的形式解:设arc cos(3/7)=α,arc cos(9/11)=β,则0<α<π/2,0<β<π/2,于是0<α+β<π。 cos(α+β)=cosα cosβ-sinα·sinβ=3/7×9/11     

一道含三角函数分式齐次式最值的解法

正题目求y=cos2x+2sin2x/sinxcosx,0xπ/2的最小值.分析本题属含三角函数分式齐次式,可用同角三角数关系弦化切处理,也可用倍角公式降幂化简处理.     

巧构几何图形解三角题

三角函数的定义是建立在三角形、单位圆基础之上的,因此,不少三角题可以用几何方法求解． 1．构造角,利用线段关系 [例1]求证cosπ/7-cos2/7π cos3/7π=1/2(第五届IMO试题)     

一个三角恒等式的简证及其它

第5届国际数学竞赛有这样一题: 证明:cosπ/7-cos(2π)/7+cos(3π)/7=1/2,①①式可等价变换为: cosπ/7+cos(3π)/7+cos(5π)/7=1/2, ②文[1]中用复数方法将②式推广为: cosπ/n+cos(3π)/n+cos(5π)/n+…+cos(n-2)/nπ =1/2(n为奇数,且n≥3)。③本文用纯几何构造方法更简洁的证明③式,其证明过程可作为③式的几何解释,并同时得到n为偶数时的两个恒等式。如图示,作∠XOY=π/n。     

一道IMO试题的几何模型及应用

第五届IMO第5题是:证明: cos π/7-sos (2π)/7+cos=(3π)/7=1/2. 因为cos (3π)/7=cos(π-(4π)/7)=-cos (4π)/7,所以原题变为: cos π/7-cos (2π/7)-cos (4π/7)=1/2.由于π/7+(2π)/7+(4π)/7=π,故可构造一个三角形来证明.     

例谈利用方程思想解三角函数题

方程思想是一种重要的数学思想 ,方程与三角函数紧密联系 ,利用方程思想去解三角函数题 ,有利于解题思路的寻求与优化 ,有利于沟通知识的纵横联系 ,有利于培养创造性思维 ,下面略举数例加以说明。1　利用方程思想解三角函数求值题例 1　求cos2π5 +cos4π5 -13 cos2π5 cos4π5 的值。解　构造三角方程cosx +cos2x =cos2π5 +cos4π5 ,显然2π5 ,4π5 是这个方程的两个特殊解 ,上述方程可化为2cos2 x +cosx -1 -cos2π5 -cos4π5 =0 ,∴cos2π5 ,cos4π5 是方程 2 y2 +y-1 -cos2π5 -cos4π5 =0的两个相异根 ,根据韦达定理得方程 :cos2π5 +…     

一类三角级数求和公式的导出

教师如何巧编三角题或论证题?本文对形如cosπ/7+cos3π/7+cos5π/7、cosπ/5-cos2π/5、cos~2π/5+cos~22π/5、cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°的计算和cosA+cos(120°-A)+cos(120°+A)=0、cos~2A+cos~2(60°-A)+cos~2(60°+A)=3/2等证明的常见题,都可看作这里导出的一类三角级数求和公式的简单应用实例。     

一堂习题课的“节外生枝”

数学教学,离不开解题教学,解题教学的过程正是思想交流,思维碰撞的过程,思维的发散与发展,能力的提炼与提升往往是难以预设的,如果把控不好,也会弄得“一发不可收拾”,还会被学生“牵着牛鼻子走”. 1 案例描述 在上完三角函数后,笔者开设了一堂习题课,在引导学生系统梳理这一章的知识网络后,出示了一道例题:若n∈Z,化简sin(nπ-α) cos[(n-1)π-α]sin[(n+1) π+a] cos(nπ+a).     

三角函数式的化简策略

三角函数式的化简是三角函数中的一个重点内容,化简的目标是:能求出值的应求出值、三角函数种类尽量少、项数尽量少、尽量让分母不含三角函数、尽可能不带根号、函数次数最低等.由于三角函数式的化简技巧灵活、方法多样,因此本文着重介绍一些常用的化简策略,供同学们学习时参考. 策略1 回到定义 例1 化简(sinθ+sin2θ)/(1+cosθ+cos2θ) 解:设P(x,y)是角θ的终边上一点,为运算方便,令OP=r=1,     

cos(α β) cos(α-β)=2cosαcosβ之应用

高中数学代数第一册第三章3·4节“关于三角函数和(差)与积的互化”教学,对于求三角函数值、化简三角函数及三角函数式恒等变形具有重要的作用,由于公式繁多记忆不便,给教学带来不少困难,原因之一就是缺乏一个多样而统一的简单的公式所致。下面我们来提出一种解决问题,使八个公式统一起来的方案。首先,建立一个基本公式:cos(α β) cos(α-β)=2cosαcosβ     

此题有玄机(高二、高三)

在复习“三角函数”时,老师讲了一道三角题已知sin3α/sin(π/6-3α)=cos3α/cos(π/6-3α)=2~(1/3)(α≠kπ/4,且k∈Z),求tan2α.老师给出的解答:由已知可得     

妙用公式“sin~2α+cos~2α=1”

公式“sin2α+cos2α=1”是高中三角函数问题中一个十分重要的公式,它是同角三角函数基本关系式之一,具有十分广泛的应用.在解决三角问题时,如能活用该公式,充分挖掘其潜在功能,往往可以推陈出新,给人以耳目一新的感觉.一、三角函数式的化简例1化简1-sin6α-cos6αsin2α-sin4α.解1-sin6α-cos6αsin2α-sin4α=1sin2αcos2α-sin2α+cos2αsin2αcos2α×(sin2α+cos2α)2-3sin2αcos2αsin2αcos2α=1-(1-3sin2αcos2α)sin2αcos2α=3.二、用公式求值例2已知sinθ+cosθ=15,θ(0,π),则cotθ=_____.解∵sin2θ+cos2θ=1,∴(sinθ+cos…     

三角运算关键在变

三角恒等变形,公式繁多,技巧性强,不易熟练掌握.但如果在“变”字上下功夫,常可抓住关键,找到解题途径.一、变角对已知角进行和、差、倍、半角等各种形式的合理变换,有利于某些三角函数化简求值.例1(1997年高考题)sin7°+cos15°sin8°cos7°+sin15°sin8°的值为.解:由7°=15°-8°,利用差角正弦和余弦公式,化简得原式=sin15°cos15°=1-cos30°sin30°=2-3.练习(1992年高考题)已知π2<β<α<3π4,cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35,求sin2α的值.二、变项对于某些三角函数化简,求值问题,若添项或拆项等,则往往能一举成功.例2(1994年高考题)…     

如此改编教材中的三角函数题

教材原题1（人教A版高中数学教材必修4第147页第1题）已知sinα-cosα=1/5,0≤α≤π,求sin（2α-π/4）的值.改编过程在同角三角函数的基本关系中,sinα＋cosα,sinα-cosα,sinαcosα之间的相互转化＂知一求二＂,是高考常考的内容之一.将原题中的条件换成另两种形式或进一步用倍角公式给出,即可改编成以下试题.这类试题主要涉及三角函数的定义、     

解三角题要注意挖掘隐含条件

在解决三角函数问题中,学生往往会因忽视题中的隐含条件而导致错误.下面结合几例学生易错题进行说明.例1已知α∈(0,π),且sinα cosα=12,则cos2α的值为()(A)74(B)-74(C)±74(D)-14错解把sinα cosα=12两边平方,得1 sin2α=14,∴sin2α=-34.又α∈(0,π),∴2α∈(0,2π).∴c     

巧用对称思想解题

中学数学中有些问题,直接解答往往受阻,如果能恰当地运用对称思想,可使问题容易解决,同时也给人以美的享受.本文通过几例,介绍它在解题中的几种巧用.一、解三角问题例1.求cosπ7cos2π7cos3π7的值.解:设x=cosπ7cos2π7cos3π7,y=sinπ7sin2π7sin3π7,则xy=18sin2π7sin4π7sin6π7=18sinπ7sin2π7sin3π7=18y.∵y≠0,∴x=18,即cosπ7cos2π7cos3π7=18.点评:这类三角问题常见,若用常规解法难而繁,这里我们挖掘问题潜在的对称性,构造出对称式,使问题得以轻松解决.二、解复数问题例2.已知z∈C,解方程zz-3iz=1+3i.〔1992年高考(理)题24〕…     

向量背景下的三角函数的考查

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一.它是沟通代数、几何、三角函数的一种工具.以下针对向量在三角函数的图象与性质方面的应用作一简单的介绍,体现向量在三角函数中的工具作用.一、求值例1已知△ABC的三个顶点A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),其中π2<α<3π2.(1)若|AC→|=|BC→|,求α的值;(2)若AC→·BC→=-1,求cosα-sinα的值.解:(1)AC→=(cosα-3,sinα),BC→=(cosα,sinα-3).由|AC→|=|BC→|,有(cosα-3)2 sin2α=cos2α (sinα-3)2,整理得sinα=cosα,tanα=1.又因为π2<α<3π2,所以α=5π4.(2)因为AC→·BC→=-…     

如何消除数学教学中思维定势的负面影响

数学思维的力是数学能力的核心.要培养学生思维能力,既要注重思维定势的形成,又要注重消除(或者减少)思维定势的负面影响.二者缺一不可,而在实际的教学当中,后者易被忽视.在教学中归纳题型、题类,及时总结教学方法和教给学生解题方法对于培养学生思维能力是极为有效的,经常这样做就会形成经验,进而形成思维定势.但是,思维定势有时会产生误导,影响解题的准确性和速度,这就是思维定势的负面影响.例如:cosθ/2 2/cosθ求(-π/2,π/2)内的最值.有些同学一看到式中cosθ/2 2/cosθ中的两项cosθ/2与2/cosθ在(-π/2,π/2)内均为正值,就受到思维定势的影响,毫不     

通过构造辅助方程求某些三角函数式的值

构造法是数学中常用的也是重要的方法之一.本文将通过构造辅助方程求某些三角函数式的值,而这些三角函数的值都是不易直接求解的。例1 求sin18°的值. 解:设α=18°,那么3α=90°-2α,从而sin3α=cos2α,即 3sinα-4sin~3α=1-2sin~2α, 4sin~3α-2sin~2α-3sinα 1=O.这说明sin18°是方程4x~3-2x~2-3x 1=0的一个根. ∵ 4x~3-2x~2-3x 1=(x-1)(4x~2 2x -1). ∴原方程的根为1,(-1±5~(1/5))/4,于是sin18°=(-1 5~(1/5))/4. 例2 求 cosπ/7-cos2π/7 co3π/7的值。解:设α=π/7,并设原式为y,那么y=cosα cos3α cos5α,从而