每期一题

题:若:a、b、c为正数,试求函数y=(x~2+a~2)~(1/2)+((c-x)~2+b~2)~(1/2)的极小值。解法一复数法运用代数中学过的复数模不等式 |z_1|+|z_2|≥|z_1+z_2|。设 z_1=x+ai x_2=(c-x)+bi ∴|z_1|=(x~2+a~2)~(1/2) |z_2|=((c-x)~2+b~2)~(1/2) ∵|z_1|+|z_2|≥|z_1+z_2| ∴y=|z_1|+|z_2|≥|z_1+z_2| =|x+ai+c-x+bi| =|c+(a+b)i|=(c~2+(a+b)~2)~(1/2) ∴y_min=(c~2+(a+b)~2)~(1/2)。解法二代数法运用不等式(x_1~2+y_1~2)~(1/2)+(x_2~2+y_2~2)~(1/2)≥((x_1+x_2)~2+(y_1+y_2)~2)~(1/2)其中等号仅当x_1/x_2=y_1/y_2时成立。∴y=(x~2+a~2)~(1/2)+((c-x)~2+b~2)~(1/2)     

一道复数题的多解与引申

题 已知复数z_1,z_2满足|z_1|=|z_2|=1,且z_1/z_2 z_1/z_2=0,求|z_1~2-z_2~2|的值.     

对一道复数方程题的解法分析

贵刊文（*）中例2是一道复数方程题:已知复数z的模|z|=1,且z~(11) Z=1,求Z.(1988年苏州竞赛题)文（*）所给解法如下:由条件得z~(11)=1-z,两边取模得|z~(11)|=|1-z|.∵|z|=1,∴|z~(11)|=1,于是|z|~2=|1-Z|~2,即zz=(1-z)(1-z）=1-z-z zz,∴z z=1.令z=a bi代入上式,得 a=1/2,由 a~2 b~2=1,得b=±(3~1/2)/2,∴z=1/2±(3~1/2)/2i.文对这种解法进行了概括:“此例采用复数取模,使复数转化为实数,又在新层次上将实数转化为复数”.     

源头活水来 串连思路宽

本文就高中《代数(下册)》(人民教育出版社、90年版)“不等式”一章中三个简单而重要的习题,串连课本定理、习题、高考题、竞赛题进行阐述,并简要说明其统一形式及应用。串连起到了推波助澜的作用。用问题串连概念,澄清、变活源头;用概念串连问题,拓宽、理顺思路。 (Ⅰ) (a~2 b~2)(c~2 d~2)≥(ac bd)~2 一、用(Ⅰ)串连课本知识 《课本》15页第6题,“已知ad≠bc,求证(a~2 b~2)(c~2 d~2)>(ac bd)~2” 1.[证题思路] 用本章定理1(p.8.“a~2 b~2≥2ab”)就有(a~2 b~2)(c~2 d~2)=(ac)~2 [(ad)~2 (bc)~2) (bd)~2≥(ac)~2 2acbd (bd)~2=(ac bd)~2。这里可突出“等号当且仅当ad=bc时成立。”以加深理解定理1,也利于极值等问题的求解。 不妨进一步说明(Ⅰ)是重要的柯西不等式的二维形式,其三个二次式,从不等关系     

不等式解题思路的串连分析

本文就高中《代数(下册)》(人民教育出版社、90年版)“不等式”一章中三个简单而重要的习题,串连课本定理、习题、高考题、竞赛题进行阐述,并简要说明其统一形式及应用。 (Ⅰ)(a~2+b~2)(c~2+d~2)≥(ac+bd)~2 一、用(Ⅰ)串连课本知识 《课本》15页第6题:“已知ad≠bc,求证(a~2+b~2)(c~2+d~2)>(ac+bd)~2。”     

用复数证几何题

在《全日制十年制学校中学数学教学大纲》中,要求“理解复数运算的几何意义”。利用复数运算证明几何题,不仅有助于数学知识的综合运用,而且有助于加深理解复数的几何意义。本文就平面几何中常见的几种类型,给出复数证法。一、预备知识 1、平面上两点之间的距离设z_1=x_1+iy,z_2=x_2+iy_2是平面上任意两点,则z_1、z_2的距离 d=|z_2-z_1|=((x_2-x_1)~2+(y_2-y_1)~2)~(1/2) 或d=(|z_2-z_1|~2)~(1/2)=((z_2-z_1)(z_2-z_1))~(1/2) 2、复数有理运算的几何意义。①加减法——平移变换     

巧用|z|=1=(1/2)解题举

我们知道在复数中,|z|=1(?)z=1/z(z∈C),此式对有些复数题解法化较简便现举例说明如下: 例1 如果三个复数名z_1、z_2、z_3适合|z_1|=|z_2|=|z_3|=1,求证:|z_1 z_2 z_3|=|(1/z_1) (1/z_2) (1/z_3)|.     

柯西不等式的一些应用

六年制重点中学高中代数第二册第95页第6题是这样一道不等式证明题: 已知ad≠bc,求证(a~2 b~2) (?)·(c~2 d~2)>(ac bd)~2。这题的推广,就是柯西不等式,也称柯西——布尼亚可夫斯基不等式:     

重视数形结合 培养思维的深刻性

“数缺形时少直观,形缺数时欠入微”,在教学时,引导学生重视数形结合,使学生形成由形思数,由数想形,进行联想,从而揭示出问题的特征与本质,达到培养思维深刻性的目的.例1 设|z_1|=5,|z_2|=2,|z_1-(?)_2|=(13)~(1/2),求(?)_1/z_2的值.分析按常规解法是把复数设成三角形式或把模用共轭复数表示.解如图(一)所示,三角形 AOB_1三边长均已知,故由余弦定理:cos∠AOB_1=|OA|~2 |OB_1|~2 |AB_1|~2/2|OA||OB_1|=4/5     

利用课本关于不等式的例题进行探究

本文利用全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)数学第二册(上)P.27参考例题中的例1,在课堂教学中进行探究性学习的尝试.现将教学设计如下,供参考. 例题:已知a、b、c、d是实数,a~2+b~2=1,c~2+d~2=1,求证:|ac+bd|≤1.     

一个不等式在解几中的应用

高中《代数》(下册)第15页习题十五第6题为:“已知 ad≠bc,求证(ac bd)~2<(a~2 b~2)(C~2 d~2)”(柯西不等式)一般地,易证下列不等式成立:(a~2一b~2)(x~2-y~2)≤(ax十by)~2≤(a~2 b~2)(x~2 y~2)(其中a,b,x,y∈R)当且仅当bx=-ay时,左边取等号;当且仅当bx=ay时,右边取等号.本文拟介绍该不等式在解几中的一些应用,供参考.设直线l‘:Ax By=0,椭圆(X~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1及椭圆上一点P_0(x_0,y_0).则(Ax_0 By_0)~2=     

一道全国竞赛题的多种解法

1994年全国高中数学联合竞赛第二试第一题:x的二次方程x~2 z_1x z_2 m=0中,z_1,z_2,m均是复数,且z_1~2-4z_2=16 20i,设这个方程的两个根α,β满足|α-β|=2(7~(1/2)),求|m|的最大值和最小值 。本刊94年第12期介绍的一种解法外,还有多种不同的解法,现给出如下:     

不等式习题再处理一例

复习中,总要找不少例、习题.笔者认识到,与其从茫茫题海中去找,不如引导学生从课本中去“变”. 例 求证ac bd≤(a~2 b~2)~(1/2)(c~2 d~2)~(1/2)(高中代数下册第14页练习第2题). 一、强化结论     

利用|Z|~2=Z·Z解题

|z|~2=z·z是复数模的一个很重要的性质。利用它解决与复数模有关的问题特别有效。例1 若|z|=1,试证:z/(1 z~2)∈R(z~2≠-1)。证明:∵|z|=1,∴|z|~2=z·z=1, z/(1 z~2)=z·z/(z z~2z)=1/(z z), ∵z z∈R, z/(1 z~2)∈R。例2 已知复数a、b、c的模均为1,且a b c≠0,求证:     

一道值得深究的不等式习题

高中《代数》第二册(甲种本)有一道习题: 求证 ac+bd≤(a~2+b~2)~(1/2)(c~2+d~2)~(1/2)。这道习题似乎平淡无奇,在教学中易被忽视。其实,它蕴含着丰富的潜能,值得深入挖掘。一、证明方法的挖掘本题证法较多,例如比较法、综合法、分析法、反证法等,学生做起来思路自然,游刃有余。如果就此而止,那是远远不够的。事实上,可有如下不同的视角。视角一:启导学生考察式子的整体特征,由外形“()≤()~(1/2)()~(1/2)”联想到判别式“b~2-4ac≤0”。证法一(构造函数法) a=b=0时,原不等式显然成立,a、b不全为零时,构造二次函数     

此题,最好是从几何背景去想(高二、高三)

第十二届高二第2试,有一题是: 已知复数z,ω满足:|z-1-i|-|z|=2~(1/2),|ω+3i|=1,则|z-ω|的最小值为( ) (A)2.(B)17~(1/2)(C)-1 (D)不能确定的. 解此题,若是考虑设z=a+bi,w=x+yi(a,b,x,y∈R)如此下去,则推算很艰难!最好的方法是从几何背景去想,则很容易破解.方程     

关于a+b+c=0的一组优美结论

a+b+c=0(a,b,c∈R),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若 a+b+c=0,则 b~2≥4ac 或a~2≥4bc 或c~2≥4ab.证明:因为 a+b+c=0,所以 b=-(a+c),b~2=(a+c)~2=a~2+c~2+2ac≥2ac+2ac=4ac,即 b~2≥4ac.同理可得,a~2≥4bc,c~2≥4ab.结论2 若 a+b+c=0,则 a~3+b~3+c~3=3abc.证明:因为 a+b+c=0,所以 a+b=-c,(a+b)~3=-c~3,即 a~3+3a~2b+3ab~2+b~3+c~3=0,也即 a~3+3ab·(a+b)+b~3+c~3=0,又 a+b=-c,所以 a~3+b~3+c~3     

巧证一道复数题

题 已知△ABC的三个顶点A,B,C对应的复数分别是z_1,z_2,z_3若(z_2-z_1)/(z_3-z_1)     

一复数题的应用

题目如果复数z_1、z_2、z_3满足|z_1|=|z_2|=|z_3|=1,且z_1 z_2 z_3=0。证明z_1、z2、z3所对应的点是内接于单位圆的一个正三角形的三个顶点。分析:由|z_1|=|z_2|=|z_3|=1,知复数z_1、z_2、z_3所对应的点都在单位圆周上。因此关键是证明z_1、z_2、z_3所对应的点构成正三角形。证明:利用复数的代数形式来证明。     

复数问题解题思想方法归类及例析

复数问题在中学数学中,涉及面广,知识跨度大,与代数、三角、几何等知识有着密切的联系.在高考数学试题中,对复数内容在注重考查基础知识和基本技能的同时,还把一些基本数学思想方法列为重要考查内容.因此在高三复习阶段,应引导学生结合课本,把复数问题中所蕴含的几种基本数学思想方法予以充分揭示.一、化归思想.化归思想在复数问题中应用非常广泛.复数模的性质及复数相等的定义,提供了复数问题与实数问题实行双向化归的可能;而利用复数的三角式又可以把复数中的许多求值问题化归为三角问题来解决,反之亦然.例1.解方程 z |(?)|=2 i,(高中代数(下)P222题14①)解:令z=a bi(a,b∈R)则 a (a~2 b~2)~(1/2) bi=2 i∴a (a~2 b~2)~(1/2)=2 (1)b=1 (2)