不可忽视的“三点共线”(初一)

在几何证明中,“三点共线”容易从图形中看出,但如果已知条件中没有明确说明,就不可以在证明中直接使用,以保证证明的严谨性.下面举两个例题说说“三点共线”. 例1 如图1, ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE⊥AD于E,OF⊥BC于F.求证:OE=OF. 错证因为四边形ABCD是平行四边形,所以OA=OC,     

巧用模型好解题

问题:如图1,点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点,PE⊥BC,PF⊥CD,垂足分别是E,F.求证:AP上EF.解决:简证:如图2,延长FP交AB于点H,延长EP交AD于点G,易得四边形BEPH和PFDG均为正方形,∴PE=PH,PF=PG,∴矩形AHPG≌矩形FCEP,∴绕点P把矩形AHPG顺时针旋转90°,再向下平移     

构造三角形中位线解题例举

例1已知:四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC=BD,M、N分别是AB、CD的中点,MN交BD、AC分别于点E、F求证:OE=OF.分析:如图1,要证OE=OF,只要证∠OEF=∠OFE,即可.取AD中点G,连接MG、NG,则有MG∥BD,NG∥AC,从而有∠OEF=∠GMN,∠OFE=∠GNM,又MG=12BD,NG=21AC,而AC=BD,故有MG=NG,从而有∠GMN=∠GNM,故可得∠OEF=∠OFE.例2如图2,△ABC中,∠ACB=2∠B,AD⊥BC于点D,M是BC的中点,求证:MD=21AC.分析:取AB中点N,连出△ABC的中位线MN,则有MN=21AC,所以只要证MD=MN即可,连接ND,则ND=21AB=BN,从而…     

证明(三)自测题

一、填空题1.在ABCD中,若∠A+∠C=140°,则∠C=°,∠B=°.2.对角线相等且互相平分的四边形是,对角线相等且互相垂直的平行四边形是.3.若菱形的两条对角线长分别为6cm,8cm,则这个菱形的周长为,面积为.4.如图1,矩形ABCD的两条对角线交于O点,∠AOB=60°,AB=2cm,则矩形的对角线长是,矩形的周长是.图1图25.如图2,四边形ABCD是正方形,延长BC至点E,使CE=AC.连结AE,AE交CD于F,那么∠AFC度数是.6.如图3,直线l是四边形ABCD的对称轴,且AB=CD.今给出下面四个结论:①AB∥CD;②CA⊥BD;③AO=OC;④AB⊥BC.其中正确的结论是.图3图4…     

有关特殊四边形问题的解答

<正>初中阶段的特殊四边形,有梯形和平行四边形,其中四边形包括正方形、菱形和矩形等．下面以梯形与平行四边形为例,与同学们一起来探究特殊四边形的问题,希望可以帮助大家提升解答特殊四边形问题的正确率．一、关于平行四边形问题的解答例1矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,点E是一条边BA延长线上的点,AE=2,如果AB=6,BC=8,求先点OE的长．解析:矩形ABCD是平行四边形中的一种,因为点O是AC的中点,所以同学们可以利用中点构建中位线,如取AB的中点F,连接OF,如此构建△ABC的中位线．     

一道竞赛题的推广和有关结论

原题在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，P是对角线AC、BD的交点，M、N分别是AB、CD上的点，满足DM⊥AC，BN⊥AC．求证：M、N、P三点共线．[第一段]     

三点共线问题例谈

例　求证顺次连结菱形对角线交点到各边的垂线的垂足所围成的四边形是矩形 .已知 :如图菱形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ、ＢＤ交于点Ｏ ,ＯＥ ⊥ＡＢ ,ＯＦ⊥ＢＣ、ＯＧ⊥ＣＤ、ＯＨ ⊥ＡＤ ,垂足分别为Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ .求证 :四边形ＥＦＧＨ是矩形 .说明　在解此题时大多数学生都是利用菱形的对角线平分每一组对角 ,对角线的交点到相邻两边的距离相等 ,从而得到对角线相等且互相平分的四边形是矩形 .这里没有证明对角线交点到对边的两条垂线段在一条直线上而默认 ,显然是错误的 .下面介绍两种证法 .途径一　避开证明三点共线 .证明　因为四边形Ａ…     

巧用正方形对角线所在的直线是其对称轴解题

我们都知道正方形是轴对称图形,它的对称轴有两条,本文只研究其中的一条——对角线所在的直线,解题时如果能考虑到这一点,往往能达到事半功倍之奇效.例1如图1,点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接PA、EF.求证:PA=EF.简析BD是对称轴,点P在对称轴上,点A、C是对称点,根据轴对称的性质得PA=PC,连接PC,因为PE⊥BC,PF⊥CD,∠BCD=90°,所以四边形PECF是矩形,所     

圆内接四边形的定义、性质、判定及应用

一、知识要点1．圆内接四边形的定义．2．圆内接四边形的性质．3四点共圆的证明方法．4四点共图在证题中的应用．二、解题指导例1如图1，过正方形ABCD的对角钱AC上任一点分别作两邻边的平行线，分别交各边干E、F、G、H．求证：E、F、G、H四点共图．分析（1）由国的定义可知，要证结论成立，只要证H、F、G、H多l］某一定点的距离相等．设正方形ABCD的对角线交点为O，于是只要证OE=OF=OG=OH即可．OE=OH，OF=OG是显然的，只要证明OF=OH即可，为此过O作AB的垂线MN，易证MN平分AB和FH．由此即得OF=OH．证明略．（2）由阿…     

数学问题与解答

651.在凸四边形ABCD中,边AB、DC的延长线交于点E,边BC、AD的延长线交于点F,若AC上BD于G,求证:∠EGC=∠FGC.证:如图1,过E、F分别作直线BD的垂线.垂足分别为M、N.由AG⊥BD知ME∥AG∥NF,∴MG/BG=AE/AB,NG/DG=AFAD.     

中考试题命制的一个“超人”现象

<正>题目矩形ABCD中,AB=4,AD=3,P、Q是对角线BD上不重合的两点,点P关于直线AD、AB的对称点分别是点E、F,点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H.若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形,则PQ的长为__.这是2013年浙江省绍兴市中考数学卷的填空压轴题,此题有多难,你我作为数学教师不妨试一试……     

《证明(三)》单元测试卷

一、填空题1.在ABC D中,若∠A+∠C=140°,则∠C=°,∠B=°.2.对角线相等且互相平分的四边形是,对角线相等且互相垂直的平行四边形是.3.若菱形的两条对角线长分别为6cm,8cm,则这个菱形的周长为,面积为.4.如图1,矩形ABCD的两条对角线交于O点,∠AOB=60°,AB=2cm,则矩形的对角线长是,矩形的周长是.图1图25.如图2,四边形AB C D是正方形,延长BC至点E,使CE=AC.连结AE,A E交CD于F,那么∠A FC度数是.6.如图3,直线l是四边形A BC D的对称轴,且AB=C D.今给出下面四个结论:①AB∥CD;②CA⊥B D;③AO=O C;④AB⊥BC.其中正确的结…     

应用一个结论 巧证一类赛题

高中《数学》第二册(上)P.88B组第2题:已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,求证它的对角线互相垂直.即如图1,在四边形ABCD中,若AB2 CD2=BC2 AD2,则AC⊥BD.     

用方程(组)法解几何竞赛题

解几何竞赛题的方法很多,且各有特色.本文将选几道富于思考性的平面几何竞赛题为例,介绍方程(组)在解题中的应用,意在提高学生综合运用所学知识解题的能力. 例1.四边形ABCD外切于⊙O,AC⊥BD于E点,P,O,R,S分别为边AB,BC,CD,DA上的切点,连PR,QS.求证:四边形ABCD是以一条对角线为轴的对称图     

构造平行四边形证题例析

平行四边形具有对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质.证明某些几何题时,若能巧妙地构造出平行四边形,就会化难为易、化繁为简,证明过程简捷. 现举例说明. 一、证两线段相等例1 已知:如图1,在四边形ABCD中,AB=DC, AD=BC,E、F在对角线AC上,且AE=CF. 求证:BE=DP.(河北省中考题) 证明:连结BD交AC于O,连结DE、BF. ∵AB=DC,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形.     

对角线互相垂直的四边形的面积

对角线互相垂直的四边形的面积等于它的两条对角线长的积的一半,下面我们证明这个结论。已知:四边形ABCD中,对角线AC⊥BD于E,如图1.求证:S四边形ABCD=1/2AC·BD.     

三道几何竞赛题的简证

题1已知圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD交于点E,直线AD与BC交于点F,G、H分别为边AB、CD的中点．证明：EF与过点E、G、H的圆切于点E．     

面积法解题更简便

我们先看一道哈尔滨市的中考试题: 如图1,已知在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC.点P为BC边上一点,且PE⊥AB,PF⊥CD,BG⊥CD,垂足分别为E、F、G.求证:PE PF=BG,有关的参考解答如下:过点P作PH⊥BG,垂足为H,如图2所示. BG⊥CD,PF⊥CD,PH⊥BG, 易知四边形PHGF是矩形.     

1999年全国高中数学联赛加试试题及参考解答

如图,四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD.在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G.求证:∠GAC=∠EAC.证 连结BD交AC于H.对△BCD用塞瓦定     

相似图形中的探究题

相似形的内容丰富,解题思路灵活.最近几年,以相似形为题材的探究题,在各地中考题中频频出现.现举数例,供大家参考. 一、类比联想,探求作图思路例1 (1)阅读下列材料,补全证明过程: 已知:如图1,矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,OE⊥BC于E,连结DE交OC于点F,作FG⊥BC于G。