关注球的切、接问题的教学

空间想象能力是指对空间图形的观察、分析和抽象思维的能力。它有三个方面的要求：能根据条件画出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变形。高考对空间想象能力的考查常以基本几何体（如正方体、长方体、正四面体、球等）为依托来进行，由于这些几何体含有空间基本的线线、线面、面面关系，那么牢牢地以它们为依托来实施教学对提高学生的空间想象能力是大有裨益的。     

球的内接与球内切问题

在立体几何第二章中，关于球的内接与球内切问题，有些同学搞不太清楚，在此将有关的’规律作一小结，以帮助同学们学习．要解决这类问题，一方面要搞清楚球的内接与球内切的含意，另一方面要作出适当的轴截面，把空间问题转化为平面问题，下面就各种情况举例说明。     

运用割补法解决球的切、接问题

球是立体几何中的一个重要的几何模型,与球有关的考题"琳琅满目"。"割补法"是解决立体几何问题的重要方法,简单地说就是把不规则的几何体割或补成规则的几何体。本文举例说明"割补法"在球的切、接与截面等典型问题中的应用。     

例谈球接、切问题的处理策略

在有关球的诸多问题中,球的接、切问题将球与其他常见多面体有机结合起来,全方位、多视点、深层次地考查了立体几何的基本思想,由于这类问题一般不易画出其立体图形,且常与函数、方程、不等式等数学知识相联系,综合性强,涉及的知识面广,思维价     

例谈球接、切问题的处理策略

在有关球的诸多问题中,球的接、切问题将球与其他常见多面体有机结合起来,全方位、多视点、深层次地考查了立体几何的基本思想,由于这类问题一般不易画出其立体图形,且常与函数、方程、不等式等数学知识相联系,综合性强,涉及的知识面广,思维价值高,要求学生有较强的空间想象能力与分析解决问题的能力. 为此,笔者在近年来的教学实践中,更关注了有关球的接、切问题的处理方法. 球作为一种常见的几何体,其基本思想仍然是将三维空间立体图形化归为二维空间平面图形的问题,但球又有着许多不同于其他几何体的独特性质,因而在处理方法上应该有着它的独到之处,本文试图从以下几个方面来介绍球的接、切问题的常见的转化策略:     

与球有关的接、切问题例析

在平时的学习与考试中 ,经常会出现与球有关的接、切问题 ,同学们感到较棘手 .下面通过几道例题加以分析 ,希望给同学们以启发 .一、通过选择一个截面 ,转化为平面图形来解决例 1　已知球的半径为R ,在球内作一个内接圆柱 ,这个圆柱底面半径与高为何值时 ,它的侧面积最大 ?侧面积的最大值是多少 ?解 :如上图 ,令圆柱的高为h ,底面半径为r,侧面积为S,则有　(h2 ) 2 r2 =R2 ,∴h =2R2 -r2 ,∴S =2πrh =4πrR2 -r2=4πr2 (R2 -r2 )≤ 4π (r2 R2 -r22 ) 2 =2πR2 .当且仅当r2 =R2 -r2 时 ,即r=22 R时 ,取等号 .此时圆柱的高为 2R .点评…     

2006年高考中球的切、接问题

一、球与棱柱的切、接问题这类问题常见的是球与正方体的切、接问题.有如下相关结论:(1)球的内接正方体的对角线是球的直径;(2)球的外切正方体的棱长是球的直径;(3)和正方体各棱都相切的球的直径是正方体的面对角线.     

与球有关的接、切问题例析例析

在平时的学习与考试中，经常会出现与球有关的接、切问题，同学们感到较棘手．下面通过几道例题加以分析，希望给同学们以启发．     

浅谈多面体与球的“切”、“接”问题

由于多面体与球的组合体问题最能考查同学们的空间想象能力和逻辑思维能力,而成为近几年高考的热点问题之一,同学们往往找不准过球心和多面体一条棱的轴截面,而导致所构造的球的半径与多面体的要素不在同一个平面内,导致错误百出.下面把高中常见的正多面体与球"切""接"问题的求法归纳如下,然后通过例子展示更一般问题的求法.     

球与几类特殊四面体的切接问题的探索

球与多面体的切接问题,一般通过作截面把立体图形平面化,然后用平面几何的相关知识来解决,而球与几类特殊的四面体(三棱锥)的切接问题,可以转化为球与长方体的切接问题来解决.长方体(正方体)与球的三种切接关系:一、球内切正方体的各个面,称球为正方体(棱长为a)的     

用割补法解球的切、接川题

1．切 例1求棱长为a的正四面体内切球的体积． 分析内切球与四面体的四个而都相切,即内切球的球心到每个侧面的距离都等于球的半径,于是可将四面体分割成棱锥来解决．     

球的堆切问题

球的堆切问题是一类常见题型．由于立体几何降低了教学要求，所以现行教材没有体现这部分内容．但是在05年、06年连续两年的高考中都出现了球的堆切问题．这不仅没有超纲，反而更好地体现了高考命题的原则：以知识为载体，从问题入手，用统一的数学观点组织材料，全面考查各种能力，强调综合性、应用性，重点体现对理性思维的考查．在不突破教学大纲的前提下，将个别试题与竞赛试题接轨也是近年高考数学命题的一种新趋势．球的堆切问题不易画出其立体图形，对空间想象能力要求较高，求解也比较困难，学生得分率很低．本从这两年高考试题的变化人手，探讨求解这类问题的几种思考方法．     

立体几何中的切接截问题

简单几何体的面积与体积是必修教材的一节内容,在高考中也常以选择题或填空题的形式出现,以平面截几何体的截面问题和几何体的外接球、内切球问题为载体,考查同学们的直观想象和数学运算等核心素养。     

切球问题解法初探

在各类数学竞赛中，经常有切球问题出现，如果出现球的个数较多，一则难以想象各球之间的几何特征，二则不易画出其立体图形，这就增加了切球问题求解的难度．本文拟对切球问题的解答方法作初步探索．一、作出截面某些几何问题如能作出某一截面图形，能够把球的大圆和球心反映出来，则问题常能得到顺利解决．例1在棱长为1的正方体内放9个等球，八个三面角内各放一个，中间放一个，求这些球的最大半径．分析:欲使球的半径最大，显然，八个三面角内所放的球必须与三面角的三个面都相切，而中间的一个球又与这八个球都相切．易知这些球的球心分…     

圆台内切球问题

关于圆台内切球的问题有下面的定理成立:定理 若一球内切于一圆台,圆台的母线与底面所成的角为α,则圆台的侧面积与球表面积之比为:S_圆台侧:S_球=csc~2α;圆台体积与球体积之比为:     

从正方体透视正四面体与球体的切接问题

如图 1,我们看到正四面体内接于一个正方体 ,此时 ,正四面体的 6条棱恰为正方体的 6条面对角线 ,正方体的中心也是正四面体的中心 .我们可以将一个正方体切割成一个正四面也可以将一个正四面体补形成一个正方体 ,利用这个事实 ,可以通过正方体研究正四面体与球体的切接问题 ,从而化难为易 .在多面体与球体的切接问题中 ,正方体和正四面体与球体的切接类型是最丰富、最全面的 .主要有 ( 1)正方体或正四面体的外接球 ;( 2 )正方体或正四面体的内切球 ;( 3)正方体或正四面体的棱切球 .解决此类问题的基本思路是 :作出过它们“接”“切”点的轴…     

正八面体外接与内切球的几个不变量

设正八面体 A1 - A2 A3A4A5- A6棱长为 a,Mi( i=1 ,… ,1 2 )为各棱中点 ,Nj( j=1 ,… ,8)为各面中心 ,O为其内切球和外接球中心 ,r与 R分别为其半径 ,则有定理 1　设 P为正八面体外接球上任一点 ,则( 1 ) ∑6i=1 PA2i=1 2 R2 ;( 2 ) ∑1 2i=1 PM2i=1 8R2 ;( 3) ∑8i=1 PN2i=323R2 .证明　由 O是外接球心 ,知 ∑6i=1 OAi=0 ,OP=OAi=R,∴∑6i=1 PA2i=∑6i=1 PAi2 =∑6i=1 ( OAi- OP) 2=∑6i=1 ( OAi2 + OP2 ) - 2 OP∑6i=1 OAi=∑6i=1 ( R2 + R2 ) =1 2 R2 .类似可证 ( 2 ) ,( 3) .应用相应结果 ,可证定理 2　设 P′为正…     

基于元认知理论的高中数学教学设计——以“球与几何体的切接”为例

数学来源于现实生活,反过来服务于现实生活.球的切接问题对于球的性质的探讨,具有实际应用价值.数学元认知教学设计是引导学生对自身思维进行计划、监控和调节,久而久之在没有教师的提示下,学生也能具有元认知意识,对自己的认知活动进行调控.数学元认知教学设计的关键点在于准确掌握不同层次学生的元认知知识结构和意识,并给予匹配的解答,以及数学学科核心素养的落实.“球与几何体的切接”教学设计呈现元认知教学设计的过程,描绘了学会学习、以学为主的教学理念对师生带来的挑战,展现了教师理论指导实践的路径.     

机智接“球”

一次,我组织开展主题活动"味道"。活动室四周摆放着幼儿搜集来的各种食品、调料、水果等。幼儿自由地探索、品尝各种味道,气氛活跃。其中,幼儿感受最深的是辣味。经过一段时间的自由探索,幼儿开始交流自己的感受和体验。就在这时,一个幼儿突然站起来说:"我感到太辣了,我要喝水!"全班随即沸腾起来:"我也觉得太辣了,我也要喝水……"场面开始混乱。此时,我心里十分矛盾:这是一次公开活动,如果我同意他们出去喝水,活动还能顺利进行下去吗?如果不同意他们,我又该如何往下引导?换句话说,孩子们抛过来的这个"球"我该不该接?如果接,该怎么接?     

几何体间的切与接

一、选择题1.已知正方体 ABCD-A_1B_1C_1D_1内有一个内切球,点 E、F、M、N 分别是棱 AD、A_1D_1、AB、A_1B_1的中点,过 EF 和 MN 作一截面,则截面图形是