从函数视角看一个不等式猜想及其推广

文[1]提出了猜想如下:猜想若a、b、c是正实数,且满足abc=1,则a~2/2+a+b~2/2+b+c~2/2+c≥1.文[2]给出了该猜想的肯定性证明,并给出了一个推广:命题1设a_k为正实数,     

对一个猜想不等式的拓展与证明

正在应用放缩法证明不等式时,有以下一个典型例子[1]:设0≤a,b,c≤1,则a/(1+b+c)+b/(1+c+a)+c/(1+a+b)+(1-a)(1-b)(1-c)≤1(1)当且仅当a,b,c中有两个为零,另一个为[0,1]中的任意数,或者当a,b,c不全为零且不为零的数都等于     

一个不等式猜想的再推广及简证

宋庆老师在文[1]末提出了四个不等式猜想,其中猜想1如下: 猜想 若a,b,c是正实数,且满足abc=1,则a2/a+2+b2/b+2+c2/c+2≥1. 文[2]运用均值不等式的变式x2/y≥2x -y(x＞0,y＞0,当且仅当x=y时等号成立)证明了这个不等式猜想及如下一般性推广: 推广:若a,b,c,λ,μ是正实数,且满足abc=1,则a2/λa+μ+b2/λb+μ+c2/λc+μ≥3/λ+μ.     

一个不等式的又一个简捷证明

文[1]给出了一对非常优美的姐妹不等式设a,b,c是正数,且a+b+c=1,则有(1/(b+c)-a)(1/(c+a)-b)(1/(a+b)-c)≥(7/6)~3(1)当且仅当a=b=c=1/3时取等号,     

对一个不等式猜想的再研究

在文[1]中,宋庆老师提出如下不等式猜想：若a,b,c为正实数且满足abc=1,则a^2/2＋a＋b^2/2＋b＋c^2/2＋c≥1.文[2]作者证明了此猜想,对比上述不等式,笔者证明了一些相类似的不等式.首先给出一个引理。引理x1,y1∈R^＋,i=1,2,…n,     

两个猜想不等式的证明

正~~     

一组猜想不等式的统一证明

宋庆老师在文[1]末提出4个猜想.其中猜想4为:已知a,b,c是正数,求证a~2/(a~2+(b+c)~2)+b~2/b~2+(c+a)~2+c~2/c~2+(a+b)~2≥3/5(1);(a~3)/(a~3+(b+c)~3)+(b~3)/(b~3+(c+a)~3)+(c~3)/(c~3+(a+b)~3)≥1/3(2);(a~4)/(a~4+(b+c)~4)+(b~4)/(b~4+(c+a)~4)+(c~4)/(c~4+(a+b)~4)≥3/(17)(3).     

《一组猜想不等式的证明》引发的思考

在文[1]中,陆爱梅老师提出一组四个猜想不等式: 猜想1 已知a,b,c是满足abc=1的正数,证明:a2/a3+2+b2/b3+2+c2/c3+2≤1/3(a+b+c); 猜想2 已知a,b,c是满足a+b+c=1的正数,证明:a2/b+c2+b2/c+a2+c2/a+b2＞3/4; 猜想3 已知a,b,c是满足a+b+c=3的非负实数,证明:a+b/a+1+b+c/b+1+c+a/c+1≥3; 猜想4 已知a,b,c是两两不同的实数,证明:(a-b/a-c)2+(b-c/b-a)2+(c-a/c-b)2≥a2+c2/a2+b2+b2+a2/b2+c2+c2+b2/c2+a2.     

一个有理不等式猜想的证明

文[1]给出了如下不等式:设a,b,c,d＞0且a+b+c+d=1,则a/1+a+b/1+b+c/1+c+d/1+d＜1/1+abcd (1)文[2]给出了不等式(1)的一个类比定理 设a,b,c,d＞0且a+b+c+d=1,则a2/1+a2+b2/1+b2+c2/1+c2+d2/1+d2＜1/1+a2b2c2d2(2)并提出如下.     

两个猜想不等式链的初等证明

文[1]证明了两个优美的无理不等式链: ①若a＞ 0,b＞0,则 √a/2a+b+√b/2b+a≤√a/2b+a+√b/2a+b≤2/√3; ②若a＞0,b＞0,则√a/3a+b+√b/3b+a≤1≤√a/3b+a+√b/3a+b.     

一个有理不等式猜想的证明及推广

本文主要对2011年8月发表于《中学数学研究》上的一文《一个有理不等式的类比及猜想》中的一个有理不等式猜想进行证明,并适当推广.     

一个分式不等式猜想的证明

猜想 若a1,a2,…,am〉0,a1＋a2＋…＋am=1,λ≥0,m≥2,n∈Z,则a1^n/1＋λa^2＋a2^n/1＋λa3＋…＋am-1^n/1＋λam＋am^n/1＋λa1≥m^2-n/m＋λ（＊）这是吴国胜老师在文[1]中提出的一个猜想,下面给出证明．     

一个代数不等式猜想的证明

文献[1]提出如下一个代数不等式的猜想:猜想设 a_i>0,i=1,2,…,n,3≤n ∈N,证明或否定:f(a_1,a_2,…,a_n)=(a_1/1 a_1 a_1a_2 … a_1a_2…a_(n-1)) (a_2/1 a_2 a_2a_3 … a_2a_3…a_n) (a_3/1 a_3 a_3a_4 … a_3a_4…a_na_1) ……     

一个不等式猜想的深入探讨

从启发式教学模式角度,对一个熟知的数学命题,引导学生做出大胆“类比、猜想”,并启发学生分析证明思路,进行论证,无疑是值得赞扬的教研探讨模式之一.许多数学教师在教学及教学研究中提出这种“类比、猜想”,使用“大胆猜想、细心求证”方法以锻炼和提高学生创新思维能力.文献[1-5]对2009年《数学通报》第十期问题1818进行了研究.针对问题1818,施刚良老师等[1]提出如下类比猜想.     

一个三角形角的不等式的再思考

在文[1]中,作者提出并探讨了一个关于三角形内角的不等式:问题1 在锐角△ABC中,有∑1/(sin 2A)≥∑1/(sin A). ①当且仅当△ABC 为正三角形时等号成立.笔者通过思考与探索,得出了较不等式①强的结论:     

一个不等式猜想的证明及推广

宋庆老师在文[1]中提出两个优美的无理不等式,其中定理1及猜想1如下：     

一道不等式题的思考

华罗庚曾经说过:“善于退,足够地退,退到最原始而又不失去重要性的地方,是学好数学的一个重要的诀窍.”上面尝试一和尝试二未能顺利求解,于是将条件中的椭圆退化成圆,简化了思维,体现了数学之简、数学之美.对题目的解法探究、拓展、引申是一名高中数学教师必须拥有的专业素养,充分探索题目的根源,通过推广达到举一反三的目的,在面对学生时能高屋建领.教师平时的解题备课中,也应该不断发现问题、提出问题、探究问题,提升自己的数学核心素养.     

一个不等式猜想的证明及推广

宋庆老师在文[1]中提出两个优美的无理不等式,其中定理1及猜想1如下：     

一个不等式的再推广

文[1]给出如下命题及猜想： 命题 设xi〉0（i=1,2,…,n）,n∑i=1xi=1,则n∏i=1（1/1-xi-xi）≥（n/n-1-1/n）^n,（1）,当且仅当x1=x2=…=xn=1/n时等号成立。     

一个不等式猜想的上界

在文献[2]中给出了不等式n√a^n-x^n≥a-xt，（a〉0，λ〉0，n∈N={1，2，…}，0≤x≤λ〈a）的推广形式和下界估计。我们使用极值的方法进一步得到该不等式的最佳上界估计．