从一道赛题谈多思善想

以1998年全国初中数学竞赛的一道几何题为例,较为深入且又具体地介绍了一下解题后的三思：优化、新法、推广,作为多思善想的一种体现。     

多思善想解难题

<正>同学们在解决一些数学难题时,可以结合条件多思善想、仔细分析,一定会探索出正确的路径。题目1一个九位数,各个数位上的数字之和是16,其中万位上的数字是亿位上的数字的2倍,这个数最大是多少？最小是多少？思路分析根据已知条件,知道这是一个最高位为亿位的九位数。要想使这个数最大,     

从一道大赛题谈起

1992年全国初中联赛二试几何题的内涵相当丰富。我在寻找此题的逆命题时,发现了一些有趣的事情,写出来供参考。 1.为叙述方便,先写出n个条件(图1)。(A)等腰条件:AB=AC;(B)三分条件;BD= 2DC;(C)倍长条件:BE= 2EA;(D)等角条件:∠BED=∠BAC;(E)倍角条件:∠BED=2∠DEC。在本文中,条件(C)十分重要,下面是原     

从一道全国赛题谈起

1994年全国联赛中有这样一道题:设0<θ<π,则sinθ/2(1 cosθ)的最大值是_______。 此题的答案是4/9(3~(1/2)),由此结论可得若干重要不等式: 在△ABC中有     

一道“祖杯”赛题的别解

贵刊1997·3期刊登了第九届初中“祖冲之杯”数学邀请赛试题,其中第五题是:如图1,P为△ABC边BC上的一点,且PC=2PB。已知∠ABC=45°,∠APC=60°,求∠ACB。 原附答案是利用对称性求解的。思路比较难想。     

从一道“一题多解”题谈起

下面的题,仅用算术方法至少就有五种解法。甲、乙二人分别从两地同时出发相向而行,并以对方出发点作为自己的终点,在距全路程中点三公里处相遇;巳知甲走完全路程要15小时,乙走完全路程要12小时。问两地相距多少公里? 分析一:要求两地相距多少公里,由甲走完全路程要15小时和甲每小时速度是多少公里即可求出。要求甲每小时速度是多少公里,可考虑甲从相遇处到中点这3公里路程用了多少小时。由甲走完全路程     

巧解“创新杯”赛难题

[题目]《数学小灵通》2003年第12期第47页“首届创新杯赛六年级试题”第10题:在一个圆周上有70个点,任取一点标上1,然后按顺时针方向在标有数1的点后数两个点标上2,在标有数2的点后数三个点标上3,……(如下图所示)继续这个过程,在圆周上分别标出1、2、3、…、2002、2003。显然.在圆周上的这些点中,有的点可能被标上多个数,有的点可能没有被标上数,那么标有2003的那个点上被标出的最小数是_____。     

欧拉公式刍议——从一道“华杯”复赛题谈起

义务教育课程标准实验教科书《数学》初一年级用的教材,由北京师大、华东师大等单位分别组织编写,有趣的是这两种教科书中都介绍了欧拉公式。可见欧拉公式深受人们的青睐,因为它一直被数学家们认为是一件惊人的发现,伟大的发明,它不仅在数学方法上有所创新,而且推动了现代数学的重要分支——拓扑学的发展。     

联想类比 妙解赛题——从一道竞赛题谈起

2003年12月21日江苏省初中数学竞赛初三第2试中有一试题：图1是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第15行的实心圆点的个数等于______。     

一道数列题的多思多解

题目 等差数列{an}中，其前n项的和记为Sn，若S10=100，S100=10，求S110。     

一道赛题巧解

1993年德国有一赛题: 设△ABC三边AB=c,BC=a,CA=b,延长AB到A″,使BA″=a,反向延长到B′,使AB′=b,类似得A′,C′,B″,C″,如图,证明:S_(A′B″B′C″C′A″)/S_(△ABC)≥13。(＊)     

一道“祖冲之杯”竞赛题的改进

第七届“祖冲之杯”数学邀请赛第五题是:实数a、b、c满足(a c)(a b c)<0,证明(b-c)~2>4a(a b c)。 本刊1995年第2期给出的答案如下: 设辅助二次函数:     

巧解一道赛题

2>0. (1)×(2)×(3)褂 丽1_4x藉1籍4y舞百1 4两z_1. (4) ( 。)( 。)( 。) ” 一’ 由均值小等式知 1 4x。≥4x,1 4y。≥4y,l 4z。≥4z,一:It中等号当It仅当z—y—z一去时成立. .·.百再孬百6i4xy再z4Y丽而≤l’ 一(1 4z。)(1 。)(1 4￡。)飞“等0当J L仪当z—y一2一百1¨Y q~x11Pi.,|. {lfm(4)叮知只行z—y一。一寺.故原办稚纰彳『l从j组解: (z,Y,￡)一(0,0,0), (“炉)一(告,一导,l_1). 解法2:ill越设有z≥0,y≥0,2≥0.hll然z=0,∥一0,2—0灶方程组的‘纽解. 当x>0,y>O,z>0时,① ② ⑨,得 .￡’ ’y^一≈ 4x。 . 4.y。 . 4乎一丽十…     

从一道题的错解分析谈起

如图1所示,长为L的绝缘细线,一端悬于O点,另一端连接一质量为m的带负电的小球,置于水平向右的匀强电场中,在O点正下方钉一     

从一道题谈起

最近,我听了一位教师课题为《曲线方程的求法》的一节课.其中一道例题:求圆心在(2,1),且与x2+y2?3x=0的公共弦所在直线过点(5,?2)的圆的方程.解由已知可设圆的方程为x2+y2?4x?2y+F=0.(1)又x2+y2?3x=0,(2)(1)?(2)得?x?2y+F=0.而直线?x?2y+F=0过点(5,?2),把(5,?2)代入?x?2y+F=0,得F=1.因此所求圆的方程为:x2+y2?4x?2y+1=0.评课会上,有人提出:(1)?(2)所得?x?2y+F=0一定是相交弦吗?若不是,它又是什么呢?本文就此展开讨论.不失一般性,设两个不同的圆22O1:x+y+D1x+E1y+F1=022(D1+E1?4F1>0).(3)22O2:x+y+D2x+E2y+F2=022(D2+E2?4F2>0).(4)(3…     

从一道题的错解分析谈起

如图1所示，长为L的绝缘细线，一端悬于O点，另一端连接一质量为m的带负电的小球，置于水平向右的匀强电场中，在O点正下方钉一个钉子O＇，已知小球受到的电场力是重力的1/√3,现将细线向右水平拉直后从静止释放，细线碰到钉子后要使小球刚好绕钉子O，在竖直平面内作圆周运动，求OO＇长度。