Janic不等式的两个加强及其它

本文约定:△ABC的三边长,外接圆半径,内切圆半径,面积以及三边对应的旁切圆半径分别为a、b,c,R,r,△,ra、rb、rc,∑表示循环和. 1967年,R.R.Janic曾建立如下的不等式(见文[1])     

R.R.Janic不等式的加强及应用

<正>本文约定:△ABC的三边长为a、b、c,三个内角为A、B、C,外接圆半径为R,内切圆半径为r,半周长为s,面积为△,∑表示循环和,∏表示循环积.R.R.Janic曾经建立了如下不等式[1]:     

Jani(c)加强不等式的一个逆向不等式

本文约定△ABC各元素:三边长a、b、c,半周长p,面积S,高ha、hb、hc,外接圆半径R,内切圆半径r,旁切圆半径ra、rb、rc.     

一个几何不等式的再加强及应用

设△ABC的三边长为a,b,c,面积、外接圆半径、内切圆半径分别为△,R,r.文[1]证明了如下结果:     

Euler不等式加强式的改进及逆向

176 5年 ,著名数学家 Euler建立了关于三角形外接圆半径 R与内切圆半径 r的一个重要不等式 [1 ]R≥ 2 r. ( 1 )文 [2 ]给出上述不等式一个十分漂亮的加强形式R≥ 2 r+ 18R[( a- b) 2 + ( b- c) 2 + ( c- a) 2 ],( 2 )其中 a,b,c为三角形的三边长 .本文进一步加强 Euler不等式并给出其逆向形式 .定理　 a,b,c,R,r分别为△ ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径 ,则11 6 R( | a- b| + | b- c| + | c- a| ) 2 + 2 r≤ R≤ 2 r+ 11 6 r( | a- b| + | b- c| + | c- a| ) 2 .( 3)证明　 ( 3)式中左边不等式等价于R- 2 r- 11 6 R( | a- b| + …     

关联四个圆的一个恒等式

文 [1 ]给出了关联三个圆的一个结论 :图 1命题　在圆内接四边形ABCD中 ,O、R分别是其外接圆的圆心和半径 ,I1、I2 分别是△ACD、△BCD的内切圆的圆心 ,r1、r2 分别是△ACD、△BCD的内切圆半径 ,O到I1、I2 的距离分别记为d1、d2 .则有R2 -d21r1=R2 -d22r2 .①本文将给出该命题的一个推广 ,得出涉及两个三角形、关联四个圆的一个恒等式 .命题　设△A1B1C1的外心为O1,内心为I1,外接圆半径为R1,内切圆半径为r1,O1I1=d1;△A2 B2 C2 的外心为O2 ,内心为I2 ,外接圆半径为R2 ,内切圆半径为r2 ,O2 I2=d2 .则有R21-d21R1r1=R22 -d2…     

Finsler-Hadwinger不等式的又一加强

设△ABC的三边长为a、b、c,其面积、半周长、外接圆半径、内切圆半径分别为△、s、R、r、∑表示循环和.     

一个不等式猜想的证明

文[1]提出了100个待解决的不等式猜想问题,其中第95题是:设锐角三角形的三边长、三傍切圆半径、内切圆半径和外接圆半径分别为 a、b、c、r_a、r_b、r_c、r、R.则 r_a/r_b r_b/r_c r_c/r_a≥1 R/r (1)本文将证明此猜想.证明:令 a=y z,b=z x,c=x y,则 x、y、z>0,     

Milosevic不等式的又一加强

1987年,D.M.Milosevic提出并证明了下述不等式: 设△ABC的三边长为a、b、c,相应边上的高为h_a、h_b、h_c,外接圆半径和内切圆半径分别为R、r。则     

旁心三角形的一个面积公式

定理设△ABC 三边为 a,b,c,a+b+c=2p,外接圆半径为 R.则由三个旁心构成的三角形的面积 S_0=2pR.证明:记△ABC 面积为 S,内切、旁切圆半径分别     

对正弦定理的思考

三角形中的正弦定理有其结构对称、形式优美的特点.这种外在的美,使人深思.记△ABC的三边分别为a,b,c,外接圆半径为R,内切圆半径为r,面积为S.     

例析字母研究的策略与方法

2007年春考有这样一道题(20题):通常用a、b、c分别表示△ABC三个内角A、B、C所对边长,R表示△ABC的外接圆半径,给定三个正实数a、b、R,其中b≤a,问a、b、R满足怎样关系时,以a、b为边长,R为外接圆半径的△ABC不存在,存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)?在△ABC存在情况下,用a、b、R表示C.     

关于Milosvic不等式的一点加细

本文约定:在△ABC中,a,b,c表示三边长,A、B、C表示三内角,R,r,S表示外接圆半径,内切圆半径以及半周长.∑、∏表示循环和以及循环积.如∑a=a b c,∏a=abc.     

三角形中一些量的关系

设△ABC的三边为a、b、c,半周长为p,面积为△,外接圆半径为R,内切圆半径为r,显然,量p、△、R、r均可由三边a、b、c表出,即     

两个三角形对偶恒等式

<正>近日,笔者发现了涉及三角形各边上的高及旁切圆半径的两个对偶恒等式.定理在△ABC中,a,b,c分别为其三边长,R,r分别是它的外接圆半径和内切圆半径,ra,rb,rc分别为三边上的旁切圆半径,ha,hb,hc分别为三边上的高.则有:     

四面体的Milosevic不等式

文[1]收录了由D.M.Milosevic在1987年提出并证明的一个不等式: 设△ABC的三边长为a、b、c,相应边上的高为ha、hb、hc,外接圆半径、内切圆半径分别为R、r.则     

任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法

已知三角形的三边,如何求三角形的外接圆半径R和内切圆半径r？     

欧拉不等式一个加强的再改进

<正>设△ABC的三边为a、b、c,外接圆和内切圆半径分别为R、r,则有著名的欧拉不等式R≥2r.文\[1\]中建立了如下三角形式的加强.定理1设R、r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径,则有(Σ表示循环和)■当且仅当△ABC为正三角形时取等号.由于式(1)可改写为■,由熟知的不等式■,可知式     

一个有关旁切圆半径的不等式链

本文约定：在△ABC中，a，b，c表示三边长，ra、rb、rc表示旁切圆半径，R、r、s、△表示外接圆半径、内切圆半径、半周长以及面积，∑、П表示循环和与循环积.     

∑(a2)/(rbrc)的最佳形式

R.R.Janic不等式是: (a2)/(rbrc)+(b2)/(rcra)+(c2)/(rarb)≥4,①其中ra、rb、rc分别是ABC的三边a、b、c所对应的旁切圆半径.