巧设直线方程解题

在解析几何中,解决直线与圆锥曲线关系问题的基本方法是设出直线方程,与圆锥曲线联立方程组,利用韦达定理,体现一种“设而不求”的思想．在设直线方程时,我们总习惯用斜截式、点斜式,而又时常忽略斜率不存在的情形．故当斜率不为零时,将直线方程设为x=my＋n,可避免斜率存在性的讨论．先看例1的两种解法．     

巧设直线方程解题

<正>在解析几何中,解决直线与圆锥曲线关系问题的基本方法是设出直线方程,与圆锥曲线联立方程组,利用韦达定理,体现一种"设而不求"的思想.在设直线方程时,我们总习惯用斜截式、点斜式,而又时常忽略斜率不存在的情形.故当斜率不为零时,将直线方程设为x=my+n,可避免斜率存在性的讨论.先看例1的两种解法.     

“弦长公式”的灵活应用

说起公式｜AB｜=√1＋k2｜x2-x1｜（＊），学过解析几何的学生都知道这是当直线和圆锥曲线相交时，用来求弦长的公式．公式中的x1、x2是交点的横坐标，｜x2-x1｜可以用直线方程和圆锥曲线方程联立后所得的二次方程的韦达定理求解．然而，公式（＋）只能用来求“弦长”吗？     

减少解析几何解答题计算量的技巧

技巧1:用好数形结合思想和“设而不求”法学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大.事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程以及“设而不求”法,往往能够减少计算量.像直线与圆锥曲线的相交关系,高考一般进行重点考查.这种凡涉及圆锥曲线中的弦长问题,我们常用的技巧是将直线与圆锥曲线方程联立,用根与系数的关系、整体代入和“设而不求”法,除了运用代     

聚焦圆锥曲线问题中的“同构法”——以近五年高考圆锥曲线试题为例

<正>1.问题的提出高中平面解析几何中的圆锥曲线问题是高考重点考查的内容,是高考考查学生核心素养的重要载体,对学生的数学运算能力有较高的要求.对于此类问题,学生通常将直线方程与圆锥曲线方程联立,再利用韦达定理求解.但在具体解答过程中,往往计算量非常大且繁杂,使很多考生半途而废.笔者发现,对于很多圆锥曲线高考题,如果运用“同构法”解决,可以简化运算步骤,     

探究圆锥曲线的中点弦的解法

在解析几何中“求以圆锥曲线中的定点为中点的弦的方程”是直线与圆锥曲线位置关系中重要考点之一,高考中也多次出现.题目:设A、B两点是双曲线C:2x2-y2=2上两点,点N(1,2)是线段AB中点,求直线AB方程.解法1(巧用韦达定理,整体替换):要求过定点N(1,2)的直线AB的方程,关键是求斜率k.设点A(x1,y1),点B(x2,y2),由中点公式知:x1+x2=2,y1+y2=4,再利用韦达定理整体替换构造关于k的方程,求k的值.设直线AB方程为:y=k(x-1)+2,代入双曲线C的方程整理得:(2-k2)x2+2k(k-2)x-k2+4k-6=0.当2-k2≠0时,则Δ=4k2(k-2)2-4(2-k2)(-k2+4k-6)>0,解得k<23且k≠…     

浅谈韦达定理在解析几何中的应用

直线和圆锥曲线相交的问题是解析几何中的重要内容之一,也是高考的热点内容.韦达定理在解决此类问题中起着重要作用,特别是在解决有关弦长、两条直线互相垂直、弦中点、对称、轨迹、定点问题时能化难为易,化繁为简. 1 韦达定理在圆锥曲线有关弦长方面的应用 例1 已知抛物线 24yx=的顶点为O, 点A(5,0)倾斜角为/4p 的直线l与线段OA相 交,但不过O,A两点,且 交抛物线与M,N两点, 求△AMN面积最大时,直线l的方程. x O y A N M 解 设直线l的方程为yxb= .联立方程yxb= 和24yx=,得22(24)0xbxb - =.由0D>,得1b<. 设1122(,),(,)MxyNxy,则 2121…     

例谈圆锥曲线中非对称问题的处理策略

<正>在圆锥曲线问题中,将直线方程与曲线方程联立后,消去x或y,得到方程再结合韦达定理来进行其它运算是常见的解题思路,但是在某些问题中可能会涉及需要计算两根系数不相同的代数式.像这种“非对称”的韦达定理结构,通常是无法根据韦达定理直接求出的,大部分学生遇到这样的问题束手无策.本文以一道高三调研试题为例,提出了非对称韦达问题常见的六种解决思路,供读者参考.     

设点代入,作差求解

解析几何中,我们常会遇到一类与中点有关的问题,一般的处理方法是设直线方程,代人圆锥曲线方程,转化为一元二次方程,利用韦达定理来解,思路自然,但有时运算量太大.但如果采用“设点代入,作差求解”的方法来解,常常可减少运算量.避免错误.     

求中点弦所在直线方程的简单方法

求中点弦所在直线的方程 ,是解析几何中的一类重要题目 .这种题目的常规解法主要有以下几种 :第一种 ,设直线方程为点斜式 ,利用韦达定理 ,求中点的横坐标或纵坐标 ,进而求直线的斜率 ;第二种 ,设所求的直线与曲线两交点分别为 (ｘ1 ,ｙ1 ) ,(ｘ2 ,ｙ2 ) ,分别代入曲线方程中 ,通过两方程相减进而求出直线的方程 ,这种方法称为设而不求的方法 ;第三种 ,设直线方程为 ｘ =ｘ0 +ｔｃｏｓα ,ｙ=ｙ0 +ｔｓｉｎα,利用ｔ1 +ｔ2 =0 ,从而求出ｔａｎα ,这种方法称为参数法 .以上这些方法计算都比较复杂 ,学生容易出现错误 ,下面介绍一种简单的方…     

打破“模块”禁锢，优化圆锥曲线的解题过程

解析几何题普遍计算量大,学生十分“敬畏”,常常不知如何动笔．我们为了让学生驾驭这类型难题,常常灌输一种模块化思想,例如直线与圆锥曲线方程联立,再用韦达定理;弦长中点问题用“点差法”等等．解题“模块化”了,我们的学生当然可以“依葫芦画瓢”,可是有些解题过程是很灵活的,我们没有办法程序化,     

挑战解析几何五大易错点

解析几何包含直线和圆的方程及圆锥曲线方程两部分内容,在高考中,其分值占总分的15％左右．考查的重点有以下几点：考查基础,包括直线的倾斜角、斜率、距离、平行与垂直,点对称、直线对称,线性规划问题等：直线和圆锥曲线的位置关系以及轨迹问题,仍然以考查方程思想及用韦达定理处理弦长和弦中点为重点;坐标法使平面向量与平面解析几何自然地联系并有机结合起来,相关交汇试题应运而生;涉及圆锥曲线参数的取值范围的问题也是命题的亮点．     

巧解圆锥曲线定值问题

对于圆锥曲线中的定值问题 ,学生在解答时常常会感到无从下手 .这里介绍几种巧妙方法 ,供读者参考 .一、巧用韦达定理圆锥曲线方程是二元二次方程 ,增加一个条件即能消去一个变量 ,化为一元二次方程 ,从而可用韦达定理解决有关问题 .　　【例 1】　已知直线l与x轴正向交于定点P(mP ,0 ) ,(m >0 ,m为常数 ) ,直线l与抛物线y2 =2Px(P >0 ,P为常数 )交于A(x1,y1) ,B(x2 ,y2 )两点 ,求证 :x1x2 ,y1y2 为定值 .证明 :设直线l的方程是x =ay+mP ,代入抛物线方程得 :　y2 =2P(ay+mP)即　y2 -2Pay-2mP2 =0显然 ,由韦达定理得 :y1y2 =-2mP2 为定…     

“点差法”,差在哪?

中点弦问题是解析几何中的重点、热点问题.解圆锥曲线的中点弦问题,很多学生习惯于用所谓“点差法”:首先设出弦的两端点坐标,然后代人圆锥曲线方程相减,得到弦中点的坐标与所在直线的斜率的关系,从而求出直线方程.但是,有时候符合条件的直线是不存在的,这时使用“点差法”便会走入“误区”.下面问题中便有学生经常掉入“陷阱”.题目:已知双曲线 x~2-y~2/2-1,问是否存在直线 l,使 M(1,1)为直线 l 被双曲线所截弦 AB 的中点.若存在,求出直线 l 的方程;若不存在请说明理由.错误解法1:(点差法)设直线与双曲线两交点 A、B 的坐标分别为(x_1,y_1),(x_2,y_2),M 点的坐标为(x_M,y_M).由题设可知直     

巧构“齐次式”解一类解新几何问题

在高中解析几何的学习过程中,我们经常碰到直线与圆或直线与圆锥曲线位置关系的相关题目．经验告诉我们,利用常规的方法（即联立方程,再根据韦达定理和已知条件求解）可以去解决这一类问题,但通常运算量比较大,导致容易出错．当我们深入研究题目,充分挖掘题目隐含条件后,结合“齐次式”知识,我们可以得到别样的思路．下面我们通过几个例子对这一类问题进行探讨．     

在教学反思与研究中创新——对一道双曲线题的个性思考

（1）本题是一道常规的解析几何题,主要考查直线与圆锥曲线的位置关系,这是解析几何的重点内容之一,也是高考的热点之一．该题充分体现了由知识立意向能力立意转化、遵循教材（必修内容）但不拘泥于教材（不但考查必修内容,而且选修内容中阅读教材的知识点也在考查之列）的高考命题原则,解答此类问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立,组成方程组,通过消元、利用韦达定理和判别式等知识并结合解析几何的相关知识,进而获解．不过解题时务必要明白我们的解题目标是什么？     

一类圆锥曲线的另类解题思路

圆锥曲线作为压轴题,每年都会受到高中学优生的青睐。但由于思路不清晰,计算量大,计算技巧比较灵活,会导致在有限的时间内,圆锥曲线成为难以攻克的高地。本文针对需要用到韦达定理的圆锥曲线问题提出一个较为统一的解题思路。以前的直线与圆锥曲线问题会先设直线方程,然后联立方程得到韦达定理,然后利用韦达定理作大量的运算,最后证明我们需要的结果。我提出的思路是,先看题目需要我们证明什么,一般证明的东西会是个等式。我们称这个等式为目标式,接下来对目标式进行处理,最终要处理成只含有韦达定理的形式,即和跟积的形式。第二步才是联立方程,得到韦达定理。第三步,将得到的韦达定理代入我们第一步的目标式,证明出等式。     

韦达定理为何在这里“失灵”

若ax^2＋bx＋c=0（a,b,c∈R,且a≠0）有两实根x1,x2,则x1＋x2=-b/a．我们常用这个韦达定理解决解析几何中的直线和圆锥曲线相交问题,如直线l：y=kx＋t与圆锥曲线C：f（x,y）=0相交于不同两点A,B,     

一直一曲有玄机

处理富于变化的一直线与某一圆锥曲线的综合问题,方法之一就是退到一元二次方程解决,其三步曲是:①直线方程代入圆锥曲线方程;②利用一元二次方程的韦达定理或判别式;③想干嘛就干嘛·本文意在揭示“想干嘛”有哪些多样化的特征,“就干嘛”又有哪些规律化的玄机·一、角平分线、弦长(或面积)问题例1如图1,过点P(1,2)的直线与抛物线y=x2相交于A、B两点,O为坐标原点,当直线OP平分∠AOB时,求直线AB的方程及△AOB的面积·解:直线y-2=k(x-1),代入y=x2得x2-kx+k-2=0·设交点A(x1,y1)、B(x2,y2),由韦达定理x1+x2=k,x1x2=k-2·因为直线OP平…     

从近几年江苏高考试题谈解析几何复习策略

<正>江苏近几年高考数学解析几何题一般分为两部分:一是直线与圆的方程,二是圆锥曲线.分析近几年江苏高考数学试题,将直线、圆、圆锥曲线融合在一道题中,侧重于考查学生的综合能力的试题多,主要包括求曲线(直线、圆、椭圆)方程问题及根据直线、圆、圆锥曲线求值(离心率、斜率、点到直线距离及参数取值等).一、高考试题题型及特点1.考小题,重在基础有关解析几何的小题,考查的重点在于基础知识,其中,直线与圆、圆锥曲线等内容