解决“指对同构”问题的一种简单方法

<正>利用同构法来解决函数恒成立问题是近几年高考的热点,而“同构”法中又以“指对同构”最为复杂,其隐藏深,构造方法巧妙会使大部分同学望而生畏．本文以2020届新高考一卷第21题与江西八校2022届4月联考第12题为例来谈谈我的解法．例1 (2020新高考一卷第21题)已知函数f(x)=ae^x-1-lnx+lna (2)若f(x)≥1,求a的取值范围．     

对两道高考题的思考

1.(2010年高考数学全国课标文科第21题)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.(Ⅰ)若a=12,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.2.(2012年高考数学湖南卷文科第22题)已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.     

函数与导数交汇的四大常考点

一、研究原函数与导函数之间的关系例1(2012年高考重庆理科卷第8题)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图像如图所示,则下列结论中一定成     

例析二次求导在高考函数问题中的应用

正导数是判断函数单调性的有力工具.导函数大于零,则原函数为增函数,导函数小于零,则原函数为减函数.在求出导函数后,如果导函数的正负问题仍不明确,而导函数也可导,就可以再继续对导函数求导,即求出f″(x),则可以用f″(x)的正负去判断f'(x)的增减性,进而达到解决原函数f(x)的目的.下面结合高考真题来体会二次求导在解高考函数压轴题中的具体操作策略例1(2010安徽卷理第17题)设a为实数,函数f(x)=     

“端点效应”破解不等式恒成立问题

<正>1试题呈现(2019年新课标全国卷Ⅰ文科第20题)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)是f(x)的导函数.(1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;(2)若x∈[0,π],f(x)≥ax,求a的取值范围.2试题解析与评析     

函数周期性的是与非

近几年的高考试题中出现了一些深层次刻画函数周期性的题,这类题以前主要用于数学竞赛或高考模拟训练,现在高考试题中也时有出现,这是一种新动向.为此,笔者撷取高考中的几例,对函数周期性的是与非进行一些探索.一、函数周期性判断的变式例1 (2006年安徽卷第15题)函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x 2)=1/(f(x)),若     

以e~x与lnx为背景的函数不等式的证明

在近年的高考试题中,经常会出现以ex与ln x为背景的函数不等式的证明问题,而学生普遍感觉比较困难,下面对此类问题加以探讨,供读者参考.一、以ex为背景的函数不等式例1(2014年福建理科卷20题第(Ⅱ)问)证明:当x>0时,x2相似文献   

一道高考压轴题的5种解法

函数在高中数学中占有非常重要的地位，而抽象函数的奇偶性、周期性与对称性是函数中非常重要的章节，逐渐成为高考命题的热点题型.2022年的高考中，全国乙卷理科第12题及新高考Ⅰ卷第12题同时出现了此类题型.如何突破学生的认知盲区，抓住解决问题的突破口，让学生理清解题的关键点，提升学生的解题能力和思维能力，是当前亟待解决的问题.     

2014年陕西省高考理科数学第21题研究

<正>最近,在研究陕西省高考理科压轴题时,有了意外的收获,得到了标准答案以外且优于标准答案的新解法,汇总如下,与读者共享.题目(2014年陕西高考理科数学第21题)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf'(x),x≥0,其中f'(x)是f(x)的导函数.(Ⅰ)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;     

一道高考题的探源、背景与别解

2009年高考数学陕西卷理科第20题如下: 考题1 已知函数f(x)=ln(ax+1)+导1-x/1+x≥0,其中a>0. (1)若f(x)在x=1处取得极植,求a的值;     

封面数学家简介：

(2007年高考全国卷Ⅰ第20题)设函数f(x)=e~x-e~(-x)。(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2; (Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围。命题者提供的参考答案:     

2013年高考新课标Ⅰ卷16题一题多解

<正>2013年高考新课标Ⅰ卷16题难倒不少学生,很多平时成绩优秀的学生都在此题面前陷入困境,本人从三个角度探讨三种不同解法,希望起到抛砖引玉的作用。(2013新课标Ⅰ卷16题)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图     

2017年高考数学江苏卷第20题的赏析与思考

<正>1原题再现2017年高考数学江苏卷第20题如下:已知函数f(x)=x~3+ax~2+bx+1a>0,b∈(R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b~2>3a;(3)若f(x)、f′(x)这两个函数的所有极值     

老师,为什么这方法失灵了?——2018年高考全国卷Ⅰ文科第21题的解题反思

<正>2018年高考刚刚落下帷幕,做真题、研真题是老师、学生们的热门话题,笔者也布置了一些真题给学生做并对其讲解,在讲评2018年全国卷Ⅰ文科第21题时,引发了紧张而又惊喜的一幕.题目(2018年全国卷Ⅰ文科第21题)已知函数f(x)=ae^x-lnx-1.1)设x=2是f(x)的极值点,求a的值,并求f(x)的单调区间;2)证明:当a≥1/e,f(x)≥0.     

研究2012年高考卷中的几道函数解答题

1福建卷文科压轴题的自然解法题1(2012·福建·文·22)已知函数f(x)=axsinx-3÷2(a∈R),且在0,π[]2上的最大值为π-3÷2.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)判断函数f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明.     

初高中教学衔接的忧与思——由一道高考题的计算挫折谈起

正1.问题提出(2009年高考福建卷·文21)已知函数f(x)=3x3+ax2+bx且f′(-1)=0.(Ⅰ)试用含a的代数式表示b;     

巧用最值定义 简解高考压轴题

2012年高考数学湖南理科卷第22题如下:已知函数f(x)=eax-x,其中a≠0.(Ⅰ)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合;(Ⅱ)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1相似文献   

函数导数图象交汇

由于函数的单调性、极值、最值、值域都与其导函数有着非常密切的关系,而函数图象既是表述函数问题的重要载体,又是函数性质的直观反映.因此,近几年的高考中出现了不少导数与函数图象的交汇性试题.这类题在高考中常常以创新题的面貌出现,虽然难度不大,但具有背景新、内容新、结构新的特点,能有效考查学生的观察能力、直觉思维能力、合情推理能力和综合能力.下面介绍四种类型,以供参考.类型1:由原函数或原函数的图象确定其导函数的图象【例1】定义域为R的函数f(x)由x-lnf(x)=0确定,则导函数f′(x)的图象的大致形解状析是(:).由x-lnf(x)=0可…     

核心素养导向下对一道高考试题的解法探析

1试题呈现(2020年高考全国Ⅲ卷理科21题)设函数f(x)=x^3+bx+c,曲线y=f(x)在点(1/2,f(1/2))处的切线与y轴垂直.(Ⅰ)求b;(Ⅱ)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)的所有零点的绝对值都不大于1.     

一道高考题的溯源·探究·巧证·推广

一道好题不一定要有多么难,只要它是数学知识的有机融合体(非矫揉造作的堆砌物),能够很充分地考查解题者对数学概念本质属性的理解、对定理或公式的掌握程度,且能起到举一反三的功效,我们就可以称之为一道好题!当然一道好的高考题更能发挥试题的导向作用,特别是通过解题过程对理性思维能力进行深入的考查,比如2009年高考天津卷文科第10题,把导数应用于单调性、常规问题的同时,进一步升华到处理与不等式恒成立问题的证明.给不等式的证明增添了新的思路.1一道好题堪称经典2009年高考天津卷文科第10题如下:问题1设函数f(x)在R上的导函数为f′(x),且2f(x)+xf′(x)>x2,下面的不等式在R上恒成立的是.A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)>xD.f(x)