最大公因式的另一种求法

在《高等代数》的各种教材中,关于一元多项式的最大公因式的求法已有许多介绍,如辗转相除法,因式分解法等.但是辗转相除法书写起来颇为繁琐,即会用分离系数法,往往仍有累赘之感.因式分解法虽从理论上来讲是可行的,但实际分解每一个多项式来求最大公因式确是一件繁重的工作.本文利用矩阵的行初等变换来解决这个问题.命题1:设F为数域,f_1(x),f_2(x)∈F(x),令d(x)=(f_1(x),f_2(x)),对于任取c_1·c_2≠0,φ_1(x),φ_2(x)∈F(x),则有:(f_1:(x),f_2(x))=(f_2(x),f_1(x))=(c_1f_1(x),f_2(x)=(f_1(x),c_1f_2(x))=(f_1(x),f_2(x)+f_1(x)φ(x))=(f_1(x)+f_2(x)φ_2(x),f_2(x))=d(x)证明:现只证明(f_1(X),f_2(X)+f_1(X)+φ_1(X))=d(X),其它类同.∵d(X)=(f_1(x),f_2(x))∴d(x)|f_1(x)且d(x)|f_2(X)∴d(X)|(f_2(X)+f_1(X)φ_1(X))∴d(x)为f_1(x)和f_2(X)+f_1(X)φ(x)的一个公因式现设φ(x)为f_1(x)和f_2(x)+f_1(X)φ_1(x)的任一公因式,则φ(x)|f_1(x)且平φ(x)|(f_2(x)+f_1(X)φ_1(X))=φ(X)|f_2(x)∵φ(X)|d(x)∴由最大公因式的定义和d(x)的唯一性知(f_1(x),f_2(x)+f_1(X)φ_1(x))=d(x)可将这个结论运用数学归纳法推广到n个一元多项式的情形:     

重要极限lim x→0(1 x)1/x=e的一个推广

我们把重要极限lim x→0(1 x)1/x=e推广为lim x→0(1 α(x))β(x)=ex→0 limα(x)β(x),其中lim x→0α(x)=0,lim x→0β(x)=∞。从而可以简化这一类型的极限计算。     

基本初等函数的积分定义法

一、自然对数函数引理1:若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则积分上限函数(x)=f(t)dt在[a,b]上可导,且φ’(x)=f(x)。 由于自然对数函数 ln’x =1/x 所以     

例谈命题失误的反思与启迪

命题失误有多方面的表现,比如试题本身的条件是矛盾的,解法错误,答案错误等等.本文从两个例子谈谈对他人命题失误的反思,供参考。例1.[德阳市高2004级“二诊”文科数学试题〗函数f(x)对一切x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时,有f(x)>1,则当x<0时,f(x)的范围为()(选择支略)。命题者解:在f(x+y)=f(x)+f(y)中令x=y=0可得f(0)=0在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y=-x可得f(x)+f(-x)=0,故f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称,而x>0时,有f(x)>1,所以x<0时,f(x)<-1反思:实际上,在函数方程的知识中可以证明对一切x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)(柯西方程…     

谈谈周期函数的定义域

设f(x)是定义在非空实数集D上的函数,若存在某一个正数T,使得关系式: f(x) f(x±T)=f(x)对于D内所有x都成立,则称f(x)为周期函数,T为f(x)的一个周期。     

对三次函数的基本性质的探求

三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0,x∈R)的导函数是二次函数,这就促成了它成为新旧教材有机结合的重要载体。因此,了解和掌握三次函数的基本性质就显得很有必要,本文对此作一些探讨。1、定义域、值域f(x)是处处连续且可导函数,定义域x∈R,值域y∈R。2、奇偶性f(x)不是偶函数;f(x)是奇函数的充要条件是b=d=0(即偶次项系数全为零)。3、单调性、极值对三次函数求导,f′(x)=3ax2+2bx+c.根据其判别式可得出:(1)当Δ=4(b2-3ac)≤0时,f(x)是R上的单调函数,不存在极值。且当a>0时单调递增;当a<0时单调递减。(2)当Δ=4(b2-3ac)>0时,f(x)不是R上的单…     

一道求值题的扩展

求值题灵活多变,不容易掌握其规律,下面对一道求值题作些变化,仅供参考 例已知了x 3y 42 了3x 11y 152一。,求xZ 2y2一422,。,去二一产令汽井子的值。xz y‘ 222一’一“ 解:,.’了x 3y 4: 丫3x 11y 152一。x 3y 42=03x 1 ly 152=O乡·原式- 2又(一粤:):一422 乙1尹 1、。‘,3卜万z,“十气一下万z)“十22“ 乙乙; 当z一。时,无意义 引导学生讨论: 1.若改变已知条件,使结果不变,则有如下几种情形: (1)(x 3y 42)竺 (3x 1 ly 1 52)2=(); (2)一x 3y 421 一3x 1 ly 1 52一(); (3)了x 3y 42 (3x 1 ly 152)2=o; (4)丫x 3y 42 1 3x 1 ly 1521=o; (5…     

微积分学基本定理的加强形式

大多数高等微积分教科书里,微积分学基本定理都是如下的形式:定理 若函数f(x)在区间[a,b]上黎曼可积,函数g(x)在[a,b]上满足关系式g′(x)=f(x),则integral from n=a to b (f(x)dx=g(b-)g(a))本文的目的是给出这个定理的两个加强形式.在我们的第一个结果里,仅假设函数f(x)是g(x)的右导数.函数g(x)在点x处的右导数由下式定义:     

利用函数讨论方程

在近几年的数学高考试题中,时常出现对含参变数的方程的解进行讨论的问题。许多学生由于分析问题、解决问题的能力不强,对这类问题往往讨论得不完全甚至不知如何着手。本文利用“方程f(x)=g(x)的解是函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点的横坐标”这一结论来讨论这类问题。 例1、讨论关于X的方程x+m=(9-x~2)~(1/2)的实数解的个数。 解:方程x+m=(9-x~2)~(1/2)的实数解的个数,     

关于收敛无穷限积分的被积函数为无穷小的判定

本文给出广义积分integral form x to ( ∞)(f(x)dx))如的被积函数f(x)当x→ ∞时为无穷小的若干判定准则。     

一道代数题解质疑

在多项式的因式分解中,有这样一个题目:证明:若f~2(x)|g~2(x),则f(x)|g(x)某高校的题解是这样的:“可设f(x),g(x)的分解式为:     

关于二阶微分方程周期解的研究

证明了Duffing方程x″ g(x)=p(t)的调和解及无穷多的次调和解的存在性,其中g(x)是奇函数,满足g′(x)＞0且lim(x→∞) g(x)=a＞0,周期为2π的连续函数p(t)满足| p(t)|＜Vt∈R.     

一类求积公式的准确代数精确度

给定Jacobi权函数W(α,β),(x)=(1+x)α(1+x)β,(α,β＞-1),设xn＜xn-1＜…＜x2＜x1为Jacobi多项式Pn(α,β)(x)的零点,yn-1＜yn-2＜…＜y1为其导数的零点,则Gauss型积分公式∫-1f(x)w(α,β)(x)dx的代数精度至少为2n-1.     

斯图姆-刘维尔问题的特征值的一种算法

1.引言设(a,b) cR是一个有界开区间,考虑如下的斯图姆一刘维尔问题(尸(二)丫)‘了(6)+叮(x)y二几s(、)了 二O(1 .1) 了口、、 一yrjee‘的特征值的近似计算,其中尸(x)任C,([a,bl),,(x),s(x)eC([。,6]),且满足 产1,蕊尹(x)〔产。(22) 产2:‘叮(x)‘产二(1 .3) 产3,蕊:(x)岌产二(1 .4)其中O<闪,成两2,o感脚,簇产二,。<脚;蕊产二。 在文〔1」中所给出的方法比差分方法好)但只能计算第一特征的近似值,计算量又较大。在本文中,我们利用Galerkin方法计算斯图姆一刘维尔问题的特征值的近似值。在文【l]中的问题是本文的特例,即q(万)二o,,(二)二1…     

函数周期性的判定与周期的求解

众所周知周期性是函数的重要性质之一,它应用广泛、技巧性强,不易掌握,并且它的判定与求解是历届高考的考点,然而教材除了定义外未明确给出具体的判定与求解方法,因此本文归纳出若干判定与求解方法如下:基本根念和性质定义:对于函数f(X),若存在常数T(T≠0)使当X取定义域E内每一个值时,f(x+T)=f(x)= f(x-T)都成立,则称f(x)是周期函数,T为其一周期.性质:1.周期函数的定义域E是上下无界.2.周期函数必有正周期.3.若函数f(x)存在最小正周期T,则KT(k∈E,k≠0)是它的全部周期.4.若函数f(x).(x∈E)以T为周期,则它在(x-T,x),(x,x+T)上其图象相同.常用判定法和求解理论依据,周期函数的定义、性质、图象.一、直接推导法——例1.f(x)=|cosx|(广东88年高考题)     

对一道定积分试题解法的讨论

看起来,似乎此解法也很简单、且答案正确。事实上,此解法却犯了一个概念性的错误。我们指出:吉米多维奇著《数学分析习题集》对不定积分∫((1-sin2x)~1/2)dx的解法答案是错误的。即F(x)=(cosx sinx)·sgn(cosx-sinx)并不是∫((1—sin2x)~1/2)dx的原函数:(参看《德州师专学报》自然科学版第二期,《求不定积分容易忽略的一个问题》。)其错误在于F(x)=(cosx sinx)·sgn(cosx-sinx)在点x=π/4 kπ(k∈J,J表示整数集合)不连续。若对F(x)进行适当“加工”就能得到真正的原函数:     

van der Waerden函数底数的进一步推广

定理设uo(x)是x到与其最近的整数的距离,则对任意整数a≥2,函数在(-∞,+∞)内连续且无处可微。 函数f(x)的连续性的证明可参考(3),本文只证函数f(x)在区间     

定积分不等式性的推广

将定积分的一个不等式性:若f(x)≥0,则∫_a~bf(x)dx≥0,作更深一步的推广:在一定条件下,f(x)>0,有∫_a~bf(x)dx>0成立。     

关于一个求和算子的逼近阶

设f(×)∈C2π,Un(f,x)是f(x)的基于结点X(n)k=(2kπ)/(2n+1) (k=0,1,2,3…n)的求和算子.研究用Un(f,x)逼近f(x)的问题,得到了阶的估计.     

凸函数不等式的证明和推广

引言 凸函数是高等数学中最常见的一类函数,根据凸函数的特性,可推导并证明凸函数所特有的一类不等式,并推广出一系列重要的不等式。 1凸函数不等式 定义:设函数f(x)在区间I上有定义,若对于任意点xl,x:任I和入e(0,l)有 f(厄一+(1一久)xZ))汀(x一)+(1一又)·f(xZ)则称f(x)在I上是凸函数。定理1:设f(x)是区间I上的凸函数,久:,七,…,礼是一组正数,且艺、,=1,则对于任意点x,,xZ,…, 短=1x,el有又,几oxo+几*+一x;+一= 乏反,、、_‘二JA环i下八k+卜q+l一又oj(xo)+几川f(几十l)一*。,(客六小入*十一f(八+l)) f几:_,几。l丽j Lx,)+半f(xZ)+八0…