两个几何等式

文[1]中收入三角形旁切圆半径（ra,rb,rc）和高（ha,hb,hc）间的三个不等式∑hahb≤∑rarb;∑ ha＋hb/ra＋rb;∑ ha＋hb/ra=rb≤3;∏ hb＋hc/ra＋ha≤1.我们把它们“加强”为等式：     

H．Demir-D．C．B．Marsh不等式的加强

1965年，H．Demir与D．C．B．Marsh建立了三角形中的如下不等式：若△ABC的3条高和边上的旁切圆半径分别为九ha,hb,hc,ra,rb,rc则ra/ha＋rb/hb＋rc/hc≥3．本文将其加强为：     

Demir——Marsh不等式的最佳形式

H．Demir和D．C．B．H．Marsh曾建立了如下不等式：若ha，hb,hc，ra，rb,rc分别为△ABC三边a，b，c上的高和旁切圆半径，则有：ra/ha＋rb/hb＋rc/hc≥3.[第一段]     

两个几何不等式的加强

1 .1 96 5年 ,H .Demir-D .C .B .Marsh建立了三角形高线ha、hb、hc 和旁切圆半径为ra、rb、rc 的不等式[1] :raha+ rbhb+ rchc≥ 3.①文 [2 ]把上述结果加强为 :设三角形的内角平分线和旁切圆半径分别为ωa、ωb、ωc,ra、rb、rc,则raωa+ rbωb+ rcωc≥ 3.②本文将②再加强为 :rarb+rc+ rbrc+ra+ rcra+rb≥32 .③由三元均值不等式易证式③成立 .欲证③是②的加强 ,只须证下列三式rb+rc≥ 2ωa,④rc+ra≥ 2ωb,⑤ra+rb≥ 2ωc.⑥据旁切圆半径及角平分线公式 ,rb+rc≥ 2ωa 等价于p(p-a) (p -c)p -b + p(p-a) (p -b)p -c≥ 4 bcp(p -a)b…     

关于四面体高和旁切球半径的一个不等式

设△ABC的三边a,b,c对应的高为ha,hb,hc,对应的旁切圆半径为ra,rb,rc,则有R.R.Janic不等式[1]:≥.3ra rb rc①2hb hchc haha hb文[2]考虑了不等式①的加强形式:ra?rb?rc≥.1②hb hchc haha hb8本文将不等式②类比到三维空间的四面体,得到.定理设四面体A1A2A3A4体积为V,外接球半     

两个常用不等式的最佳形式

[1]给出了两个常用不等式： （1）∑ha＋hb/ra＋rb≤3； （2）∏ha＋hb/ra＋rb≤1.[第一段]     

两个几何不等式

命题在△ABC中,ra、rb、rc、R、r、s分别为旁切圆半径、外接圆半径、内切圆半径及半周长,则有。     

三角形三边不等式的代数变换f(a,b,c)=f(y+z,z+x,x+y)

关于△ABC三边a、b、c的不等式证明，文已给出了若干证明方法．其中，文建立了代数变换：f（s-a，s-b，s-c）=f（x，y，z）；文建立了代数变换：f（ra，rb，rc）=f（x，y，z）（其中半周长s=a＋b＋c/2；ra，rb，rc分别为△ABC的旁切圆半径）．但是，对于一类“轮换对称不等式”，以上方法显得力不从心．本文将文的代数变换：f（s-a，s-b，s-c）=f（x，y，z），改造为代数变换：f（a，b，c）=f（y＋z，z＋x，x＋y），导出了两个漂亮的定理，找到了△ABC三边a、b、c的不等式（包括非完全对称的“轮换对称不等式”）的证明妙法．     

涉及旁切圆半径的一个几何不等式的加强

引言 设△ABC的三边BC=a,CA=b,AB=c对应的旁切圆半径分别为ra,rb,rc,文证明了如下两个十分漂亮的几何不等式：     

三个不等式猜想的反例构造

猜想 1　设 ma,mb,mc,wa,wb,wc,ha,hb,hc,ra,rb,rc表示△ ABC的中线、内角平分线、高线及旁切圆的半径之长 ,则有 4R2 4Rr 3r2 ≥ ∑mawahara .这是文 [1]中提出的猜想 .构造 Rt△ ABC,a =BC=1,b=CA =1,c=AB=2 ,通过计算得 ma =mb=52 ,mc=22 ,wa=wb=4- 2 2 ,wc=22 ,ha=hb =1,hc=22 ,ra =rb =12 ,rc=12 - 2 ,R=22 ,r=2 - 22 ,则∑ mawahara =2 10 - 5 2 2 - 12 ,4R2 4Rr 3r2 =9- 2 22 ,不难验证2 10 - 5 2 2 - 12 >9- 2 22 ,即此时有∑ mawahara>4R2 4Rr 3r2 ,故猜想1不成立 .猜想 2　设 ha,hb,hc,ra,rb,rc 表示△ ABC…