正三角形的一个最值问题

定理 设边长为a的正三角形内(或边上)任一点P到三顶点的距离分别为d_1,d_2,d_3。则 1/d_1 1/d_2 1/d_3≥(4 2/(3~(1/2)))·1/a。等号当且仅当P为正三角形一边上中点时成立。 为证上述定理,需用到以下两个引理。     

一道IMO试题的推广及简证

题 设P为△ABC内任意一点,P到三边BC、CA、AB的距离依次为d_1,d_2,d_3,记DC=O,CA=b,AB=c,求证:a/d_1 b/d_2 c/d_3≥(a b c)~2/2S_(△ABC).(IMO-22)     

从一道试题谈起

最近,看到如下一道中学生的测试题: 设a_1、b_1、a_2、b_2、b_3、c_3均为正实数,且对任意的d_1、d_2、d_3恒有解。显然,证明方程组(Ⅰ)对任意右端d_1d_2、d_3恒有解,只要证明方程组(Ⅰ)的系数行列式     

对一个数学问题解答的优化

《数学通报》2000年11月号问题1283:P 是正△A_1A_2A_3外接圆上任一点,P 至A_1A_2,A_2A_3,A_3A_1的距离分别为 d_1,d_2,d_3.问:当 P 变动时 d_2~1 d_2~2 d_3~2是否为定值,d_1~4 d_2~4 d_3~4是否为定值,说明理由.上面问题的供题人在《数学通报》2000年12期给出的解答长达2000多字,而下面的解法     

一道数学竞赛题的解后反思

问题 设x∈(0,π/2),则函数y=225/4sin2x+2/cosx的最小值为_____. 此题是2007年全国高中数学联赛湖北赛区预赛第10题,竞赛组委会给出的标准答案如下: 解:因为x∈(0,π/2),所以sinx＞0,cosx＞0,设k＞0,y=225/4sin2x+ksin2x+1/cosx+1/cosx+kcos2x-k≥15(√)2kk+3(√)3k-k①.等号成立当且仅当{225/4sin2x=ksin2x 1/cosx=kcos2x＜＝＞{sin2x=15/2(√)2k cos2x=1/(√)3k2,此时15/2(√)2ｋ+1/(√)3ｋ2＝1,设1/k=t6,则2t4+15t3-2=0,而2t4+ 15t3-2=2t4-t3+16t3-2=t3(2t-1)+2(2t-1)(4t2+ 2t+1)=(2t-1)(t3 +8t2 +4t +2),故(2t-1)(t3+8t2+4t+2)=0.     

两个公差之比的几何意义及其应用

解析几何中的中点坐标公式大家是十分熟悉的:由这个公式易看出一个事实,即x_1,x,x_2;y_1,y,y_2两组数都是等差数列,不妨设其公差分别为d_1,d_2。本文的目的在于探讨这两个公差之比的几何意义及其应用。设P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)分别是直线l与二次曲线C的两个交点,P(x,y)为P_1P_2的中点,则d_2/d_1就是弦P_1P_2的斜率k。这一几何意义是不难证明的事实上,d_2/d_1=(y-y_1)/(x-x_1)=k。     

关于四面体“宽度”的两个不等式

将四面体的每一组对棱之间的距离(即公垂线的长度)叫做四面体的一个“宽度”。本文主要由一些引理得到了关于四面体“宽度”的两个不等式。命题一设四面体ABCD的三个宽度为d_1,d_2,d_3,体积为V,则有 d_1d_2d_3≤3V, (1)当且仅当四面体的各对对棱相等时,等号成立。为证命题,先看如下两个引理。引理1 若四面体的体积为v,其一组对棱之长分别为a,b,此组对棱间的距离为d,夹角为a,则有 V=1/6abdsina, (2) 引理 2设四面体体积为V,六条棱长的乘积为P,三对对棱成角分     

求递推数列X_(n+1)=ax_n+b/cx_n+d通项的新方法

文[1]、[2]给出了递推数列x_(n+1)=(ax_n+b)/(cx_n+d)通项的若干求法。本文将给出一种新的求法,而此方法在讨论该类型递推数列的存在性和周期性时是较方便的。设c≠0,则上述递推公式可化为x_(n+1)=(Px_n+Q)/(x_n+R) (1) 在由(1)式及x_1直接递推x_2,x_3,x_4等项的过程中容易发现:在一般情况下,x_n可表示成x_n=(a_(n-1)x_1+b_(n-1)Q)/(c_(n-1)x_1+d_(n-1)) (2)因此,只要能求出a_(n-1),b_(n-1),c_(n-1),d_(n-1),就不难求得x_n({a_n},{b_n},{c_n},{d_n}为辅助数列)。为此,不妨设     

数学问题与解答

281.设ABCD是⊙O的外切梯形,E是它的对角线交点,r_1、r_2、r_3、r_4分别是△ABE、△BCE、△CDE、△DAE的内切圆半径,求证: 1/r_1+1/r_3=1/r_2+1/r_4。证:设AD∥BC,S_1、S_2、S_3、S_4和P_1、P_2、P_3、P_4分别表示△ABE、△BCE、△CDE、△DAE的面积和半周长。由于S_i=r_i·p_i,故只要证明P_1/S_1+P_3/S_3=P_2/S_2+P_4/S_4。∵ABCD是圆的外切梯形,∴AB+CD=     

妙解递推数列的通项

例题show:(2006年高考·全国卷Ⅰ,22题)．设数列{an}的前n项的和Sn=4/3an-1/3×2n+1+2/3,n=1,2,3,…。(Ⅰ)求首项a1与通项an;(Ⅱ)设Tn=2n/Sn,n=1,2,3,…,证明:(∑|i=1|n)Ti<3/2。命题指向:本题综合考查数列的概念及数列求和。(1)[基本思路]由Sn=4/3an-1/3×2n+1+2/3,n=1,2,3,…①。得a1=S1=4/3a1-1/3×4+2/3所以a1=2。再由①有Sn-1= 4/3an-1-1/3×2n+2/3,n=2,3,4,…②。将①和②相减得:an=Sn-     

正方形的一个性质

定理 P为正方形ABCD所在空间任一点,则 PA~2 PC~2=PB~2 PD~2。 (＊) 证明 设P到平面ABCD距离为h,到边AB,BC,CD,DA距离分别为d_1,d_2,d_3,     

巧设出妙解

如何根据题目的特点,假设未知数或进行变量代换,使解题过程正确、迅速、简捷,是数学解题教学中的一个重要课题,只有设得巧,方能解答妙。设未知数有:求啥设啥、设非所求、设而不求,设多求少、反设正求、设形代数、设数代形和设特殊代一般等等方法。一、设整体为x例1 不查表求(1+2/3 (7/3)~(1/2))~(1/3)+(1-2/3 (7/3)~(1/2))~(1/3)的值。解:设原式=x,两边立方得x~3=a~3+b~3+     

一个几何不等式的加强

笔者在文[1]曾提出并证明了以下命题：设d_1，d_2，d_3分别为△A_1A_2A_3内任意一点P到边A_2A_3、A_3A_1、A_1A_2的距离，A_2A_3＝a_1，A_3A_1＝a_2，A_1A_2＝a_3，则中等号当且仅当△A_1A_2A_3为正三角形，且P点为其中心时成立．同时，笔者提出如下猜想：在条件同（1）式中的条件下，有取等号条件同（1）.此猜想已有人给出了证明，这儿，我们再给出（2）式的一个加强式及其简捷证明．定理设d_1、d_2、d_3、分别为△A_1A_2A_3内任意一点P到边A_2A_3、A_3A_1、A_1A_2的距离，△表示△A_1A_2A_3面积，则当且仅当△A_1A_2A_3为…     

一道加拿大《Curx》问题4624的探究

1问题呈现设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证:√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2.2问题的证明与推广证明:由已知条件结合均值不等式可得√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b=√ab/3+a+√bc/3+b+√ca/3+c≤√ab/4⁴√ a+√bc/4⁴√ b+√ca/4⁴√c=⁸√a³b⁴/2+⁸√b³c⁴/2+⁸√c³a⁴/2≤1+3a+4b/16+1+3b+4c/16+1+3c+4a/16=3+7 (a+b+c)/16=3+7×3/16=3/2,当且仅当a=b=c=1时取等号,则√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2.     

构造长方体数的两个法则

如果正整数a、b、c、d满足关系a~2+b~2+c~2=d~2,则a、b、c、d可分别作为长方体的长、宽、高和对角线。于是,我们说a、b、c、d是一组长方体数。长方体数可看作是勾股数的三维推广,从这一点就可说明长方体数在立体几何数学中,在第二课堂教学中均具有参考价值。长方体数是不定方程x~2+y~2+z~2=w~2的正整数解。因此,本文从讨论不定方程x~2+y~2+z~2=w~2的正整数解出发推导构造长方体数的两个法则。因不定方程x~2+y~2+z~2=w~2有正整数解。可先假定(x,y,z)=1。因当(x,y,z)=d_0>1时,由d_0~1|x~2,d_0~2|y~2,d_0~2|z~2有d_0~2|w~2,即有d_0~2|w,此时不定方程两边可同时约去d_0,便有(x/d~0,y/d_0,z/d_0)=1。当(x,y,z)=1时,显然x、y、z不可能同时为     

用“三法”求一元二次方程两根非对称代数式的值

设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根是x1、x2,要求不解方程,我们能够熟练地求出关于x1、x2的对称代数式(如x_1~2+x_2~2、x_1~3+x_2~3、1/x1+1/x2、(x1-x2)2、|x1-x2|等)的值.对含x1、x2的非对称代数式的值的求法,现举例介绍三种转化的方法:例设x1、x2中二次方程x2+x-3=0的两个根,那么x_1~3-4x_2~2+19的值是( )(1996年全国初中数学联赛)(A)- 4.(B)8.(C)6.(D)0.解法1:(配偶转化法):设A=x_1~3-4x_1~2+19,B=x_2~3-4x_1~2+19.∵x1、x2是方程x2+x-3=0的两根,∴x1+x2=-1,x1·x2=-3.     

几个著名不等式的加强

著名的Gerretsen不等式是:若s、R、r为△ABC的半周长及外接圆、内切圆半径,则16r-5r~2≤s~2≤4R~2+4Rr+3r~2 (1) 不等式(1)在证明三角不等式时有着广泛的应用。本文先给出s~2≤4R+4Rr+3r的一个加强: 命题1 s~2≤R(4R+r)~2/2(2R-r) (2) 证明 设a、b、c为△ABC三边长,将三角形中恒等式s-a=r/tg(A/2)和a=2RsinA相加,整理得:     

2014年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 设实数a、b、c满足a+b+c=1,abc＞0.证明: ab+ bc+ ca＜a/2abc+1/4. 证法1 因为abc＞0,所以,a、b、c三个数要么为一个正数和两个负数,要么均为正数. 对于前一种情形,不妨设a＞0,b＜0,c＜0. 则 ab+ bc+ ca=ab+c(a+b)=ab+c(1-c) ＜0＜abc/2+1/4. 对于后一种情形,由舒尔不等式有 a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) ≥0 (→)j(a +b +c)3-4(a +b +c)(ab +bc +ca) +9abc ≥0.① 记p =ab +bc +ca,q=abc. 由式①及a+b+c=1,得1-4p +9q≥0. 从而,p≤9q/4+1/4. 因为q=abc≤(a+b/3+c)3=1/27,所以, √q≤√1/3＜2/9. 于是,9q＜2√q. 故p≤9q/4+1/4＜2√q/4+1/4=√q/2+1/4 (→) ab+bc+ca＜√abc+1/4.     

一个代数不等式的修正

文[1]用高等数学方法证明了如下一个加强不等式,即命题1设a,b,c均为正数,且abc=1,若λ≤9,则1/a+1/b+1/c+λ/(a+b+c)≥3+λ/3.笔者发现这个不等式并不成立,反例如下:当a=b=2/3,c=9/4,λ=9时,     

2维无向超环面网的控制数

(d,k)控制数是用来刻画容错网络中资源共享可靠性的一个新参数,吕长虹和张克民得到：d=d (C(d_1,d_2,L,d_n))-1时,n维超环面网C(d_1,d_2,L,d_n)≠C(3,3,L,3)的(d,2n)控制数为2(n≥3,d_i≥3,i∈{0,1,L,n}),本文得到：2维无向超环面网C(d_1,3)的(d,4)控制数为2,如果d_4(C(d_1,3))-(m-2)＜d＜d_4(C (d_1,3))-1。