“以形辅数”解题的若干途径

“以形辅数”是数形结合的一个重要方面,从思维角度看,“形”有助于人们对问题作直观的分析,所以“以形辅数”是一种重要的解题方法。一、借助不等式对应的区间或区域进行不等式组和集合运算。例1 (1988年全国高中联赛试题)有三个集合M、N、P,其中M={(x,y)||x|+|y|<1}, N={(x,y)|((x-1/2)~2+(y+1/2)~2)~(1/2)+((x+1/2)~2+(y-1/2)~2)~(1/2)<22~(1/2)},P={(x,y)||x+y|<1,|x|<1,|y|<1},则下列正确的为: (A)M(?)P(?)N;(B)M(?)N(?)P;(C)P(?)N(?)M;(D)以上均不成立。解:在平面上作出M、N、P的区域,见图1。 M是正方形ABCD内的点集, P是六边形DAEBCF内的点集,     

也谈化asinα+bcosα为一个函数的问题兼与淡异如同志商榷

淡异如同志在《关于化 asinα+bcosα为一个函数的问题》一文中(以下简称《淡文》,见本刊82年第5期《教材讨论》专栏)认为:“部编教材(高中一册)中,化 asinα+bcosα为一个函数的结论:asinα+bcosα=(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+(?))(其中(?)由 tg(?)=b/a 确定)”不妥.其理由是:“由 tg(?)=b/a 确定的(?)不是唯一的”,“其中有的(?)能使等式 asinα+bcosα=(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+(?))成立,有的(?)则不能使上面等式成立”。并以“化-2~(1/2)/2sinα+2~(1/2)/2cosα     

对数非线性Nelson-de La Pena方程的耗散结构解

Einstein过程的对数非线性Nelson—de la Pena方程.(?)2mD((?)φ±/(?)t)=[2mD~2(?)~2 G bln(φ φ-]φ_± (1)亦可用作讨论耗散结构解的基本方程;式中,φ φ-=ρ为密度,G为位形r的任意函数,m为粒子的质量,D和b皆为大于零的常数,对数非线性Nelson-de la Pena方程的一个显著特点是满足迭加原理,这同量子力学波导理论中的非线性BB—M方程是类似的.设φ±=R(r·t)exp[±S(r·t](2)则有(?)φ±/(?)t=(1/R(?)R/(?)t±(?)S/(?)t)φ_± (3)(?)~2φ_±=[(?)~2R/R ((?)S)±(?)~2S±2/R(?)R·(?)S]φ_± (4)将(2)、(3)、(4)代人(1)式,分开其“双号”部份和“单号”部份,有     

参数一来，难变易

有些较复杂的问题,常规思路不易解决．可是一旦引入参数,即化难为易．例1若m＞0,(x＋3)~(1/2)－(x－1)~(1/2)＝m,则代数式(x＋3)~(1/2)＋(x－1)~(1/2)的值是____．(用m表示) (第17届(06年)“希望杯”初二2试)解设(x＋3)~(1/2)＋(x－1)~(1/2)＝a,则((x＋3)~(1/2)－(x－1)~(1/2))((x＋3)~(1/2)＋(x－1)~(1/2)＝ma,所以ma＝4,a＝4/m．例2计算：(?) (第17届(06年)“希望杯”初二培训)解设a＝2004,则     

“f|x|≥α”的否定是“f|x|<α”吗

在学习简易逻辑的过程中,很多同学对“非”的理解比较模糊,想当然地认为命题P:f(x)≥a的否定是(?)P:f(x)相似文献   

平面向量同步训练

一、选择题1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影值为()A.(13)~(1/2)B.(13)~(1/2)/5C.(65)~(1/2)/5D.(65)~(1/2)     

平面解析几何极值问题举例

例1 求点 P(4,0)与抛物线 y~2=2x 上的点的距离的最小值。解:设抛物线上一点 Q(x_1,y_1),则y_1~2=2x_1,|PQ|=(x_1-4)~2~(1/2) y_1~2=(x_1~2-6x_1 16)~(1/2)。∵被开方数二次项的系数为正,∴当 x=3时,(x_1~2-6x_1 16)极小值:=7,|PQ|极小值=7~(1/2)。例2 设 A、B 是椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1的相邻二顶点,试在(?)上求一点 P,使四边形PAOB 面积为最大。解:设(?)上一点 P(acosθ,bsinθ),则S(?)PAOB=S△AOB S△PAB     

重视数形结合 培养思维的深刻性

“数缺形时少直观,形缺数时欠入微”,在教学时,引导学生重视数形结合,使学生形成由形思数,由数想形,进行联想,从而揭示出问题的特征与本质,达到培养思维深刻性的目的.例1 设|z_1|=5,|z_2|=2,|z_1-(?)_2|=(13)~(1/2),求(?)_1/z_2的值.分析按常规解法是把复数设成三角形式或把模用共轭复数表示.解如图(一)所示,三角形 AOB_1三边长均已知,故由余弦定理:cos∠AOB_1=|OA|~2 |OB_1|~2 |AB_1|~2/2|OA||OB_1|=4/5     

错在哪里

数学在△ABC中,a=5,b =8,C=60°,则(?)·(?)的值为( ).A.20 B.-20 C.203~(1/2) D.-203~(1/2)     

N个光振幅矢量合成为零的几何图形

在普通物理学中,讨论对应于光栅夫琅和费衍射光强极小的N个光振幅矢量合成时,认为如果相邻振幅矢量的位相差α满足 Nα=m·2π(m(?)NK) (1)则“各分振动振幅组成几个闭合多边形”,或更具体地说:“当m=2,3,…时,各分振幅矢量组成2,3,…个闭合多边形”。这一论断值得商讨。虽当相邻光振幅矢量的位相差(以下简称     

非常规方法四例

例1 解方程:(2-x)~(1/2) (x 3y-5)~(1/2) (y 2)~(1/2)=(12y-3)~(1/2)．分析题中有多个根式,若按一般思路, 不易去掉根号,联想到方差公式: S2=1/n[(x12 x22 … xn2)]-n(?)2], 当S2=0时,x1=x2=…=xn, 可把题中的根号去掉．     

单摆一类问题复习

理想的单摆,在摆角小于5°时,可看作简谐振动,其振动周期为T=2π(l/g)~(1/2)。当摆长一定时,“g”值的变化将使其周期相应改变。举例一组如下: (1)在地球表面上的单摆振动周期为T=2π(l/g)~(1/2)。 (2)在离地而高度为h处,单摆的振动周期为T=2π(?) (3)在匀加速上升或匀减速下降的升降机中,单摆的振动周期为T=2π(l/(g+a))~(1/2)。在匀加速下降或匀减速上升的升降机     

用几何法求y=[(x-x_1)~2 y_1~2]~(1/2)±[(x-x_2)~2 y_2~2]~(1/2)的值域

用代数方法求y=(x~2-2x 5)~(1/2)±(x~2-4x 13)~(1/2)的值域非常繁难.如果仔细观察,此题可以写成y=[(x-1)~2 (0-2)~2]~(1/2)±[(x-2)~2 (0-3)~2]~(1/2)的形式,故可转化为求动点P(x,0)到定点A(1,2)和B(2,3)的距离之差(和)的取值范围问题,这样就能借助于解析几何有关知识加以解决。此类问题就是求     

利用向量解题

初等数学中的有些问题,如果利用向量来解决,往往可以收到化繁为简,化难为易的效果.一、应用向量证明不等式例1 己知a,b,c∈R,且a b c=1,求证:a~2 b~2 c~2≥1/3证明:设(?)=(a,b,c),(?)=(b,c,a),(?)=(c,a,b)则(?) (?) (?)=(a b c,b c a,c a b)= (1,1,1),而|(?) (?) (?)|≤|(?)| |(?)| |(?)| ∴3~(1/2)≤ 3(a~2 b~2 c~2)~(1/2),即a~2 b~2 c~2≥1/3二、应用向量求三角函数值     

谈给定数列前n项的通项公式

高中《代数》(甲种本)第二册第42页有这样一道例题: 写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数: (1) 1,3,5,7; (2) 2~2-1/2,3~2-1/3,4~2-1/4,5~2-1/5; (3) -1/1·2,1/2·3,-1/3·4,1/4·5。我们不难得出它们的一个通项公式:     

一道方程题的五种妙解

解方程组: (初中代数第三册P_(154-155)13(13)) 解法一(构造法):由原方程组可知: (x+1)~(1/2)>0,(y-2)~(1/2)>0而(((x+1)~(1/2))~-((y-2)~(1/2))~2=((x-y+3)~(1/2))~2=15 因此(x-y+3)~(1/2), (y-2)~(1/2),(x+1)~(1/2)而能构成图中的直角△。设(x+1)~(1/2)=a (Ⅰ), 则(y-2)~(1/2)=5-a (Ⅱ) (5-a)~2+(15~(1/2))~2=a~2(?)a=4代入(Ⅰ)、(Ⅱ)解得x=15,y=3。经检验是原方程组的解(以下省去这步)。     

这样解更巧

贵刊猴年第一期“巧解1/4>( )>1/5”一文中所谈解法确是巧,但有其局限。一是,此法只适合在两同分子(或同分母)分数间填数;二是分子、分母同时扩大几倍,如数字较大,学生容易出错,且速度不快。 我以为用分子相加的和作分子,分母相加的和作分母,求出要填的分数更简便。 比如“1/4>( )>1/5”之间的分数应是“(1+1)/(4+5)”等于“2/9”; 又如:3/4>( )>3/5(?)3/4>(?)(3+3)/(4+5))>3/5(?)3/4>(6/9)>3/5(?)3/4>(2/3)>3/5;     

求函数 f(x)=(ax b)~(1/2) (cx d)~(1/2)(ac<0)值域的新方法

对于函数 f(x)=(ax b)~(1/2) (cx d)~(1/2)(ac<0)的值域,本刊1997年第4期第36页上介绍了“柯西不等式法”和“参数代换法”两种方法,读后受益匪浅,今再介绍一种新方法,供师生教学参考.例1 求函数 y=(3x 6)~(1/2) (-x 8)~(1/2)的值域.解:y=3~(1/2)·(x 2)~(1/2) (-x 8)~(1/2).设 y_1=(x 2)~(1/2)-3~(1/2)·(-x 8)~(1/2),则     

2000年美国犹他州数学竞赛（高中）

说明:选对得4分,选错得-1分,不选得0分其中“*”表示“以上全不对”。 1.内接于半径为1的正方形的面积是( ). (A)2 2~(1/2) (B)2~(1/2) (C)2 (D)4 (E)* 2.8~(1/2) 18~(1/2)-12~(1/2)=( ).     

用“分离变换”法求切点

已知圆锥曲线的切线方程,求相应切点坐标,一般是要解一个二元二次方程组。其实,可直接将切线方程按“切点式”进行“分离变换”而求得,以下举例说明之。例1 直线5~(1/2)x+6~(1/2)y-3=0是双曲线x~2-y~2=1一切线,求出相应的切点坐标。解:因为双曲线x~2/3-y~2=1的“切点式”切线方程为:x_0x/3-y_0y=1,(*),现把5~(1/2)x=6~(1/2)y-3=0化成(*)的形式:5~(1/2)x/2-(-6~(1/2)/3)y=1,对照(*)可知切点坐标为(5~(1/2),-6~(1/2)/2)。