等差数列前n项和公式的又一形式及应用

由等差数列的通项公式不难推出如下性质 :若{an}是等差数列 ,am、an、ap、aq 分别是该数列的第m、n、p、q项 ,且m n =p q,则am an=ap aq。又显然 ,1 n =k (n 1 -k) ,故由上述性质可知 :a1 an=ak an 1-k,k∈N ,且k≤n将这一结果代入等差数列前n项和公式中 ,便有Sn=n(a1 an)2 =n(ak an 1-k)2 。等差数列前n项和的这一形式 ,具有非常好的解题功能。下面略举数例说明之。例 1　 ( 1 995年全国高考题 )　等差数列 {an}、{bn}的前n项和分别为Sn 与Tn,若 SnTn=2n3n 1 ,则limn→∞anbn等于 (　　 )(A) 1　　 (B) 6/ 3　　 (C) 23　　 (…     

等差数列一个简单性质的应用

在等差数列{an}中。若m n=p q,则am an=qp aq.这是等差数列的一个简单性质,运用它可解答下面几类问题. 1.求项的值例1 在等差数列{an}中,若a3 a4 a5 a6 a7=450,求a2 a8的值. 解:由等差数列性质得     

用公式Sn=nan-n（n-1）/2解题

在公差为d的等差数列{an}中,我们熟知的一个前n项和公式是     

一道数列题的八种解法

题目已知等差数列｛an｝的前m项的和为30,前2m项的和为100,则它的前3m项的和为______.一、解答上题需用到的知识点1.等差数列｛an｝的通项公式:an=a1 (n-1)d;等差数列｛an｝的推广式:an=am (n-m)d;等差数列｛an｝的变式:a1=an-(n-1)d,d=ann--a11,d=ann--mam,由此联想到点列(n,a     

等差数列前n项和的构造求法及其应用

教材（全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册上,人民教育出版社）中利用等差数列的性质a1＋an=a2＋an-1=…=an＋a1,通过“倒序相加”的方法推导等差数列的前n项和公式Sn=n（a1＋an）/2.本文现给出等差数列前n项和的一个构造性求法,及构造法在数列求和中的一些应用。     

等差数列的一个重要性质

等差数列有下面的一个重要性质：已知{an}是等差数列,且项序号m、n、p、q满足m＋n=p＋q,则有am＋an=qp＋aq．特别地,令n=m,可得若2m=p＋q,则有2an=qp＋aq.     

数列的两个性质

背景 :本文将高一数学新教材第一册(上 )第 1 4 2页复习参考题第 4题 :“有两个等差数列 {an},{bn},a1 + a2 +… + anb1 + b2 + b+… + bn=7n+ 2n+ 3=f ( n) ,求 a5b5.”进行深化延拓 .得到了等差数列与等比数列的两个新的性质 .定理 1　有两个等差数列 {an},{bn},其前 n项和 Sn 与 Sn′之比为 Sn Sn′=f( n) ,则　( 1 ) ambm=f( 2 m- 1 ) ;( 2 ) am+ am+1 bm+ bm+1=f( 2 m) .证明　 ( 1 )∵ {an) ,{bn}均为等差数列 ,∴ 2 am=a1 + a2 m- 1 ,∴ S2 m- 1 =a1 + a2 +… + a2 m- 1=a1 + a2 m- 1 2 ( 2 m- 1 ) =2 ( m- 1 ) am.同理 S2 m- 1 …     

一道高考压轴题的思维过程

2014年高考江苏卷第20题为:设数列{an}的前n项和为若对任意正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称{an}是"H"数列.(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n,证明:{an}是等差数列,首项a1=1,公差d<0,     

等差、等比数列中—特殊性质的推广

性质 :若数列 {an}是等差 (或等比 )数列 ,m,n,p ,q∈ N* ,且 m +n =p +q,则 am +an= ap +aq(或 am . an =ap . aq) .此特殊性质的考查在每年的高考卷中必考 ,而且变化无穷 ,此性质还可以更完美 ,笔者将性质推广如下 ,并配以相应的例题 ,供参考 .1　性质推广定理 1　设 {an}是等差数列 ,ni,mi ∈ N* ,i = 1,2 ,3 ,… ,k,若 n1 +n2 +n3 +… +nk=m1 +m2 +m3 +… +mk,则 an1+an2 +an3 +… +ank =am1+am2+am3 +… +amk.注 :等式左右两边项数相同 .推论 1:设 {an}是等差数列 ,ni,m∈ N* ,i= 1,2 ,3 ,… ,k,若 n1 +n2 +n3 +… +nk=k . m ,则 an1…     

等差数列的不等式及其拓广

等差数列与等比数列的前n项和是高中数学的重要内容.在文[1][2]中,作者证明了等差数列与等比数列的前n项和的一些统一性质.在文[3]中,作者列举了等差数列的一个有趣性质:命题【3】 设{an}为等差数列且满足公差d≥0以及a1>0,则当n≥2时成立如下不等式:2(√an+1 -√ an )< d/√an <2(√an -√an-1 ).(1)本文目的主要是推广以上的不等式并把等差数列的结论推广到一类更广泛的递推数列中去.     

巧用等差数列的一个性质解题

<正>若数列{an}为等差数列,则有如下一个性质:若m+n=p+q且m,n,p,q∈N*,则am+an=ap+aq.若此式中p=q,则又有am+an=2ap.可见这个性质是等差中项的推广,等差中项是它的特例.同学们应熟练掌握它,再能灵活运用,则往往能快速、准确解题,达到     

“MM”实验课教案:等比数列(第1课时)

1教学目标1．1掌握等比数列的定义;1．2归纳出等比数列的通项公式;1．3会解决有关通项公式的简单问题;1．4进行史志教育,激发学生学习数学的兴趣;1．5渗透数学中的类比、归纳、猜测等合情推理方法．2教学过程2．1复习（1）等差数列的定义：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做多差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用d来表示．（2）等差数列的通项公式：an-a1＋（n－1）d（3）an＝am＋（n－m）d（n＞m）（4）若m＋n=p q,则am an=ap aq（详细板书,为展开新课作准备）2．2引入（1）早…     

利用“整除”思想求解数列中“不定方程”问题

<正>题目(2014年浙江高考题)已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36.(1)求d及Sn;(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.一、背景及解析该试题以学生最为熟悉的等差数列为载体,第(1)问考查等差数列基本量的运算,第     

殊途同归——等差数列一个典型性质的证明

定理 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=m,Sm=n（m≠n）,则Sm＋n=（m＋n）． 预备定理：（1）在等差数列{an}中,若m＋n=p＋q←→am＋an=ap＋aq;     

高考数列基础试题考点解析

数学科《考试说明》要求考生:1理解数列概念,了解数列通项公式、递推数列的意义,能根据递推公式写出数列的前几项;2理解等差数列、等比数列的概念,掌握其通项公式、前n项和公式及其应用.下面介绍数列基础试题考点及其求解策略.考点1　等差数列性质应用例1　(2003年新课程卷高考题)已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为14的等差数列,则|m-n|=(　　)(A)1.　(B)34.　(C)12.　(D)38.解析:运用等差数列性质“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”与题设条件可求出四个根.设a1、a2、a3、a4成等差数列,则a1+a4=a2+a3=2.故a1=14,a2=34,a3=54,…     

等差数列性质am＋an=ap＋ag的运用全方略

在等差数列{an}中，利用通项公式不难证明性质：若m＋n=p＋q，贝am＋an。=ap＋aq（m、n、P、q∈N^＊）．特别是：当m＋n,=2p时，有am＋an=2ap（m、n、P∈N^＊）．这一性质在解题中，如果运用恰当，可以起到简化运算过程，提高解题效率的作用．下面结合实例，谈谈该性质在解题中的具体运用．     

等差数列的性质及其应用

由于等差数列运算的灵活性与技巧性较强,因此要学会借用等差数列的性质解题,以达到选择捷径,避繁就简,合理解题. 一、若数列{an}为公差不为零的等差数列,则其前n项和Sn必为n的不含常数项的二次函数,亦即Sn=an2+bn(a≠0). 例1 设Sn和Tn为等差数列{an}与{bn}的前n项和,对任何自然数,n∈N ,都有Sn:Tn=(7n+1):(4n+27),求a11/b11的值.     

关于等差数列同等性质与性质的推广其及应用

本文主要讨论等差数列{an}性质“ap＋aq=ap＋k＋ap-k;p,q,k∈N^＊”和等差数列{an}}性质“对任意n,m,k,j∈N^＊,若有m＋n=k＋j,则有an＋am=aj＋ak”在使用上有同等的应用价值。在此等差数列{an}性质基础上推出等差数列性质的推广及其应用。     

等差数列的一个重要性质

<正> 由等差数列的求和公式可知,等差数列有这样一个性质: 设等差数列{an}的公差为d,则数列{Sn/n}是以a1为首项,d/2为公差的等差数列. 下面是有关这一性质的应用. 例1 (1996年高考题)已知等差数列{an}的前m项和为30,前     

“本末倒置”有奇效

所谓“本末倒置” ,是指把事物的主次、前后的位置摆颠倒 ,我们不妨将这种情形移用到数学中来 ,仔细分析和式和积式的结构 ,我们可以发现它们往往具有对称性的特征 .由此 ,可以先将其“倒序” ,然后再来求和或求积 .1.本末倒置———求和倒序求和法其实来源于教材中等差数列前n项和的推导 ,其实质是抓住了等差数列的一个重要性质 :若n +m =p +q ,则an+am =ap+aq(n、m、p、q∈N+ ) ( )首先写出Sn 的和式 ,再写出Sn 的倒序求和式 ,即Sn =a1 +a2 +… +an- 1 +an ①Sn =an+an- 1 +… +a2 +a1 ②① +②则2Sn =(a1 +an) +(a2 +an - 1 ) +… +(…