抛物线和等差数列

一个数列是公差d≠0的等差数列的充要条件是前n项和是一个常数项为零的关于n的二次函数: S_n=na_1+1/2n(n-1)d =1/2+dn~2+(a_1-1/2d)n ①而二次函数y=1/2dx~2+(a_1-1/2d)x(d≠0)②的图象是一条抛物线,它经过由①决定的点(1,S_1)、(2,S_2)……(n,S_n)……一、关于计算a_1和d的公式∵经过(n_1,S_(n1))、(n_2,S_(n2))的②的方程是: n_1~2 S_(n_1) n_1 n_2~2 S_(n_2) n_2=0 x~2 y x     

关于2000年全国高中数学联赛题13的思考

2000年全国高中数学联赛题13是: 设S_n=1 2 3 … n,n∈N。求f(n)=(S_n)/((n 32)S_(n 1))的最大值。 该题涉及了等差数列的前n项求和、不等式等知识,可谓构思巧妙,独具匠心。 笔者经研究发现,此题不仅对特殊的等差数列可解,对于一般的等差数列,也有类似的结论。     

一个数列问题的再研究

人民教育出版社《数学》(必修)第一册(上)第129页习题3.5第7题:已知数列{a_n}是等比数列,S_n 是其前 n 项和,a_1,a_7,a_4成等差数列,求证2S_3,S_6,S_(12)-S_6成等比数列.文[1]给出了如下的一个推广:定理1 已知数列{a_n}是公比不为±1的等比数列,S_n 是其前 n 项和,若 xa_m,ya_(m 2k),za_(m k)成等差数列(其中 x,y,z 成等差数列,且均不为0,m,k 均为正整数),则2yzS_k,z~2S_(2k),x~2(S_(4k)-S_(2k))成等比数列.     

应用函数思想解数列题例说

在等差数列的通项公式a_n=a_1 (n-1)d中,通项a_n可以看成是项数n的一次函数(它的定义域是自然数),对一切n∈N,点(n,a_n)共线。 又等差数列前n项和的公式S_n=na_1 (n(n-1)/2)d,可以变形为以下形式,即S_n=(d/2)n~2 (a_1-(d/2))n。因此,公差不等于零的等差数列,前n项的和S_n可以看成是关于n的常数项为零的二次函数,即S_n=an~2     

等差中项和等比中项性质的推广

在等差数列中,从第二项起任意一项都是它前一项与后一项的等差中项。即a_n=(a_(n-1) a_(n 1))/2(n≥2)。由于等差数列公差是常数,如果在数列中选不相邻的三项,中间一项与前一项和后一项间隔项数相同,那么,中间项就是它前一项与后一项的等差中项。由此可得推广。     

一类等比数列的讨论

现行高中教材《数学》第一册(上)第128页有一道数列例题:已知 S_n 是等比数列{a_n}的前 n 项和,S_9,S_9,S_9成等差数列.求证:a_2,a_8,a_5成等差数列.文[1]将其推广,得到定理1 设 S_n 是等比数列{a_n)的前 n 项和,其公比g≠1,k∈N,k≥2,则 s_k,S-(3k),S_(2k)成等差数列的充要条件为 a_(k-1),a_(3k-1),a_(2k-1),成等差数列.这里,从两个方面推广了该例题:其一,由特殊推向一般;其二,由必要性推到充要性.读完该文,似乎觉得尚有进一步讨论的余地.例     

等差数列前n项和公式的又一形式及应用

由等差数列的通项公式不难推出如下性质 :若{an}是等差数列 ,am、an、ap、aq 分别是该数列的第m、n、p、q项 ,且m n =p q,则am an=ap aq。又显然 ,1 n =k (n 1 -k) ,故由上述性质可知 :a1 an=ak an 1-k,k∈N ,且k≤n将这一结果代入等差数列前n项和公式中 ,便有Sn=n(a1 an)2 =n(ak an 1-k)2 。等差数列前n项和的这一形式 ,具有非常好的解题功能。下面略举数例说明之。例 1　 ( 1 995年全国高考题 )　等差数列 {an}、{bn}的前n项和分别为Sn 与Tn,若 SnTn=2n3n 1 ,则limn→∞anbn等于 (　　 )(A) 1　　 (B) 6/ 3　　 (C) 23　　 (…     

数学问答

?问题1.已知S_n是正数数列{a_n}的前n项和,S_1~2,S_2~2,S_3~2,…,S_n~2,…是以3为首项,以1为公差的等差数列,数列{b_n}为无穷等比数列,其前4项之和为120,第2项与第4项之和为90.求a_n和b_n.(河北张玉)     

一道课本习题结论的引申与推广

普通高级中学教科书(试验修订本·必修)《数学》第一册(上)(人民教育出版社,2000年3月第2版)123页习题3．3第10题:“已知数列{a_n}是等差数列,S_n是其前n项的和,求证: S_6,S_(12)-S_6,S_(18)-S_(12)成等差数列．设k∈     

等差数列与几何的关系

等差数列的通项公式an=a1 (n-1)d与前n项和公式sn=na1 n(n-1)d/2可以看作是定义域为N 的一次函二数和二次函数。根据等差数列的定义、直线方程、函数的图象和性质，很容易知道等差数列的通项公式、前n项和公式与几何的关系，并且可以利用它解答一些等差数列的题目。     

一道高考题的几何解法

1992年高考数学(理科)第27题,若结合图形,解法就变得简单、直观。题目是“设等差数列{a_n}的前n项和为S_n。已知a_3=12,S_(12)>0,S_(13)<0。 (1)求公差d的取值范围; (2)指出S_1,S_2,…,S_(12)中哪一个值最大,并说明理由。”解(1)由于等差数列{a_n}的通项公式可写为a_n=d·n (a_1-d),所以点(1,a_1)、(2,a_2)、…、(n,a_n)分布在一条直线l上,l的斜率即为公差d,且它过定点A(3,12)。(如图)。由于对称性,当S_(12)=0时,直线l通过线段BC的中点E(6.5,0);当S_(13)=0时,l通过线段BD的中点F(7,0)。因为S_(12)>0,S_(13)<0,所以满足题目条件的直线在直线AE与AF之间变动     

探讨等差数列前n项和与二次函数性质的联系

等差数列有5个量:首项a1,公差d,项数n,第n项an,前n项和Sn,已知其中三个量,就可求另外两个量,反映这5个量之间的关系,有通项公式an=a1 (n-1)d,前n项和定义公式Sn=(a1 an)n2,还有前n项和定义导出公式Sn=na1     

等差数列与几何的关系

等差数列的通项公式an=a1 (n-1)d与前n项和公式sn=na1 n(n-21)d可以看作是定义域为N*的一次函数和二次函数。根据等差数列的定义、直线方程、函数的图象和性质,很容易知道等差数列的通项公式、前n项和公式与几何的关系,并且可以利用它解答一些等差数列的题目。一、等差数列的通     

错在哪里?

题已知两个等差数列前”项之和的比为sn十3:Zn+7,求这两个数列第9项的比。 解设S。为等差数列{a。}的前n项的和,S。产为等差数列{a。/}的前n项的和。 由已知扮黯,设“一‘5n+3,“,s。‘=(Zn+7)k(k为不等于零的常数) 则a。=S。一S。=(5 xg+3)k 一(5 xs+3)k=sk, a。,=S。‘一S。产一(2 xg+7)k 一(2 Xs+7)k“Zk, ·,.a。:a。’二sk:Zk=5:2。 解答错了!错在哪里? 上面解答把S,看成为项数n的一次函数。事实上,对于任意的等差数列{气}, a。==a,+(n一1)d,S。=告(a:+an)n=去dn“+(a,一参d)n,可见等差数列的通项。。是。的、一次函数,前”项和S…     

有穷等差数列的中间项

引理在等差数列{a_n}中,若p,q,m∈N~*,且p+q=2m,则a_p+a_q=2a_m.有穷等差数列的奇数项的和用S_奇表示,偶数项的和用S_偶表示.性质1若等差数列{a_n}共有2k-1(k∈N~*,且k>1)项,则中间项a_k=S_奇-S_偶,当S_奇     

等差、等比数列的中间值性质及其应用

1 等差数列{an }前n项和Sn的算术平均数(Sn)/(n)叫做等差数列前n项的中间值.根据等差数列前n项和公式,显然有(Sn)/(n)=(a1 an)/(2),即等差数列的中间值等于第1项与第n项的等差中项.     

2008年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题

一、选择题(每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设等差数列{a_n}的前 n 项和为 S_n,若 S_2=10,S_5=55,则经过 P(n,a_n)、Q(n+2,a_n+2)两点的直线的一个方向向量的坐标可以是().     

等差、等比数列的中间值性质及其应用

1等差数列{an}前n项和Sn的算术平均数Snn叫做等差数列前n项的中间值.根据等差数列前n项和公式,显然有Snn=a12 an,即等差数列的中间值等于第1项与第n项的等差中项.等差数列的中间值有如下两种情况:(1)当n=2k-1时,Snn=a1 2a2k-1=ak,k∈N*;(2)当n=2k时,Snn=a1 2a2k=ak ak 12,k∈N*     

如何求解数列问题中的最值

函数单调性的研究方法就是求数列中的最值问题的方法.一、用公差为“斜率”的意义沟通关系转化为函数求最值例1已知等差数列{an}中,首项为-6,另外两项为2和3,求公差最大时的数列的通项公式.简析:用公差沟通,化为函数最值易解.设另外两项为am=2,an=3,则d=k=2 6m-1=3 6n-1=3-2n-m,注意到m,n∈N,故公差的最大值为1,所求通项为an=-6 n-1=n-7.二、用等差数列的前n项和为项数n的二次函数求最值例2(1992年高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差的范围;(2)指出S1,S2,S3,…,S12中哪一个值最大,并说明理由.简析:函数…     

等差数列的不等式及其拓广

等差数列与等比数列的前n项和是高中数学的重要内容.在文[1][2]中,作者证明了等差数列与等比数列的前n项和的一些统一性质.在文[3]中,作者列举了等差数列的一个有趣性质:命题【3】 设{an}为等差数列且满足公差d≥0以及a1>0,则当n≥2时成立如下不等式:2(√an+1 -√ an )< d/√an <2(√an -√an-1 ).(1)本文目的主要是推广以上的不等式并把等差数列的结论推广到一类更广泛的递推数列中去.