数学题集锦

一道极值题的解法即了(x)的极小值为一2,极大值为2。 二、一道竞赛题的解法再探 题:己知,J’(O)=工,f(音劝二了丁,f(x十夕)十f(x一y)=2f(x)co。乳求f(x)的极值。 解:’:f(专劝=、/丁, 一了(婚 y)十了(x一夕)二Zf(x)c。。肠:.当x=音“时,有f(专二十夕)十f(一盖一“一夕)=2侧一了C。“夕①当夕=含兀时,有f(x十专二) 了(x一违一二)=O②在①中以x皆换y,并减去几,得f(音二一x)一f(x一专劝=2训丁叨sx,令之二专二一x可得 f(:)一f(一幼=2了一亏一。in“③又’.’f(O)=1, f(x十y) f(二一y)=ZJ(x)cosg 当x=0时,有f(y) f(一、)=Zeos,④在④中以:替…     

函数最值的若干性质及其应用

本文介绍函数最值的若干性质.并运用它来巧解一类特殊方程. 定理一设li(x)(i=1,2,…,时均为实函数,M为实数.若f‘(x)(M(或f,(对)M)(f=1,2,…,。),则习f:(二)=nMof,(二)二fZ(二)二一f。(x)设了,(x)二了牙十 1了牙’Iz(。)一J矿+劣. v酬了3(:)一了了+李.显然有了、(二))2.fZ(妇梦2,fs(劝》2. 又fl(‘)+fZ(g)+13(z)二6=3又2. 由定理1,知f,(二)二介(Il)二了3仕)=2.二M. 定理二M‘(‘=i,2,设f。(,)(i=1,2,…,n)均为实函数,由了了+六~2.得二=1.…,n).均为实数,若了‘(幻(M‘(或了‘(:))万.)(‘二i,2,‘二,。),则名f.(二)二万M.刽‘(x)=M‘(i…     

巧用因式定理解整除问题

因式定理的等价命题是: 如果了(x)是x的多项式,则 f(“)=0<=二(二一a)If(x). 特别地f(0)~0<=。xlf(二). 利用这个命题处理某些整除问题,思路明晰,步骤简捷. 例1求证4415一1是n的倍数. 证明:设多项式f(劝一(2二一1)’“一l, f(O)一O,令二一11, 川f(二)则 j’(11)二21‘。一1~441”一1. 1 1 If(11)~4415一1, 即4415一1为11的倍数. 例2求证1997,,,5 1995‘,9,是1996的倍数. 证明:设f(x)~(:· l)’,95 (x一1)‘9,,, f(0)~0,.‘.二{f(x). 令x~1996,则 f(t996)二1997,’95 1995,,97, 1 996】f(1996)~1997”,5 1995‘997 即1997‘,,5 1995‘,9,为…     

巧取特殊值 快解竞赛题

例l当x一y二1时,x‘一xy3一护y一3尹y+3xyZ十少的值为().(1991年北京市初二竞赛题) (A)一l(B)O(C)1(D)2 分析丫x一y二1的解是不唯一的,而对于任何一组确定的解,所求代数式的值是唯一的.不妨取x=1,y二o代人所求式,得原式一1.故选C.‘_一._~,a b .c,,~。例2右abc=1,则厂万下下十丁下万二十一下一万的但是咬 以D月~口寸10亡十D--t-- If况十f十1(1991年全国“希望杯’,邀请赛试题) (A)l(B)O(C)一l(D)一2 解由ab。=1,不妨取a一b=‘=1,代人原式,得原式=1,故选A例3(A)O若令__里二兰.Njli丝土2业的值知 47’‘”y”-一’-(B)一1(C)一2(D)一…     

含虚系数的一元二次方程的一种解法

某些含虚系数的一元二次方程,用十字相乘法分解因式求解,较其他方法为简. 例:解方程①妒一3二十3一i=。 ⑧一工2 (一2 5葱)劣 3 5泣=o 解:①‘.’3一i二(一1 i)(一2一i),而(一1 i) (一2一f)=一3- 方程可化为 [二 (一l i)1[x (一2一‘)〕二o, xl=1一i,xZ=2 1. ②一3一51=4墓2一5若 1=(4:一1)(i一1) 二(1一云)(1一41),而(1一该) (下一41)二2一5亡,…方程可化为(x l一0(x 1一4‘)二0,xl=一! f,xZ=一1 4葱.含虚系数的一元二次方程的一种解法@杨金侠$黑龙江柴河林业局五中 ~~…     

上期思考题解答

题11.设几是全休实数集合,对于函数 f(x)=x“+ax+b(a,b任R),定义集合 A={x}x=f(x),:任R}, B={x lx二f(f(:)),x任R}. (i)若a=一1,b=一2,求A口B,A{、P; (2)若A二飞一l,3},求B. (3)若A=咬a},求证A自B={a}. 解(1)由己知条件,函数 f(x)二x“一x一2.方程x=f(x)化为xZ一Zx一2=0.其解集为A,所以A=一丫3,1+了3同样,方程x=f(r(‘))为 x=(x“一x一2)2一(x“一x一2)一2化简,得(x“一x一2)“一x“二0.即(xZ一2)(xZ一Zx一2)=0.有‘xZ一2二Q或x竺一Zx一2=0.其解集为B.令xZ一2=0的解集为c,则B=AUC那么A UB=AUAUC二AL少C 二{1一了落因为B卫…     

关于整值多项式的一个定理

88年14届全饿数学竞贵有一题:若当x=一1,O,1,2时,P(x)三ax“十脉2十‘x d取整数值,则对所有整数x,p(x)都取整数值. 当条件变为:“一1,0,1时,P(x)取整值”不成立,当变为“一1,O,1,5时”也不成立(如p(:)=李二,一李二).但我们有 55,,一--一, 定攫设f(x)=a。x” … a。为n次多项式,若存在整数k。.使f(k。),f(k。 i),…,厂(k。 ,)为整数,则厂(x)为整值多式项. 需要两个引理: 引理工当。=i,z,…,n时,e二十:一zpc乏 : 3,c尝,:一 (一1)叹n i),e:洁1=0. 引理2设了(x)=a。x“ … a。,则对任意整数k,f(k)一C盆十:f(k i) C飞 :f以 2)一 (一1)” ‘e:…     

2008年函数考题分类评析

1.函数的定义及求值问题例1(2008年高考陕西卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x y)=f(x) f(y) 2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-3)等于().A.2B.3C.6D.9解:由f(1)=2,令x=y=1,得f(2)=f(1) f(1) 2=6.再令x=1,y=2,得f(3)=f(1) f(2) 4=12.取x=-y,得f(0)=f(x) f(-x)-2x2.由f(x y)=f(x) f(y) 2xy,     

对一类题目的讨论

先看几个命题及其证明:题1设二次函数y二axZ bx 。,且I了:二。,1,:.鉴1.证明:max{yl毛4,x任〔O,Zj.这是文〔l]中的一道征解题,原证如下:证:令t=二一1,则,=a:2 6x 。= a(t l)2 b(t l) 。=a 1 tZ 61t 。1二f(t),且If(t)‘二一,,。,lj(1.由于fa一bl e,=厂(一1),、亡t=t、U) L al Dl cl二j Ll)·:.当}xl蕊1时,有If(x)!鉴xZ ‘,(1)1·)守f(一1小(,一二2)f(。){、}夸]·{宁J·__2}土匹丝兰士D.丝丝址述夕.、1 1一荡}=一2十2宁、l一①②③所以al _巡上巨止交二卫2 f(0) _丈丝匕里匕卫XZ,=‘xl ‘一2=一(,劣,一告)2十音…     

文科综合训练题

一、选择题(每小题只有一个答案正确)(1)如图,正方休华刁C:中,尸、Q分别是棱.1卢A,和CC:的中点,则四边形PDQB,是zJ (A)平行四边形;少 //- 尹尹几万二-一,‘(B)菱形;二(C)矩形; 月一(D)正方形。一(2争母知多inx十cos,二头一,且O(x(、“,.则tg二的值是(A)一4/3,(B)一又一;(C)斗一;(D)4/3。 (3)、能使Sin(x+g)=51,1二+、i:1“)Jk立的充要条件是 (A)义、万和(戈+g)中至少有一个等于Zk兀(左〔Z), (B)x、刀丁}’与戈少有‘一个等‘!:2左二(左〔Z》, (C)x=召=左兀(,飞〔Z); (D)x=一口。 (4)如果。>l,“=了e+i一侧e一b=、/e一召e一1,那…     

2005年1月高等教育自学考试全国统考课程——《高数(一)》预测试题

(一)、单项选择题。(5又2分=10分) (!).下列函数中,它的图形关于y轴对称的是() (A)、f(x)=2‘一2工,(B).,f(x)二g(x二) 1一X (C)·f(x卜xZ Sinx,(D)二1 Lx)一’n不牙 归).若函数f(x)在点x=x。取极大值,则正确的是说法是() (A)点x=x〔,一定是驻点;相似文献   

问题出在哪里

题:求函数f(x)=、x,Zx十5 、/拼 百二下2三(二〔尸)的最小位。 有的同学解法如一F: 利用基本不等式“ 乙>2、/时(a)。,‘>0)。令g(x)=、/分而二一早5(丫一卜l)匕二-/,(丫)二、厂。土>0二十6X一二丫/而十3)2十16>0 厂(对二:(、) 而(x))?、、(劝下袱)江 、‘计(劝二八(劝、即训x‘ Zx平一亏一=、牙互件6x 25时解得、=一5,代入①得f(x)mi。=4训了。 但是这个结论是不对的,例如当x二0时,f(0)=(1 了了)了了<4、/了。 间题出在哪里?我们认为,应用上述基本不等式求极值时,切不可忽视条件:a.b是一定值的要求,仅在此条件下,当a二乃时.a b有最小值2…     

1的立方根

在复数范围,侧万.一牙一‘’1有三个立方根: 1侧了coZ=一-一一_ 夕9CO。=1,f。其中 十1一2 一 一一口-叭、。:有以下一些主要性质: (1)0矛二。豆二i,(2)。子=。2, (3)。;=co,;(4)。, 。2二一1;(5)。,·02“1。在运算中,若能注意灵活应用这些性质,常能起到简捷明快、单刀直入的效果,下面举几个例子。 (兴)’’ (先)厂计算(一1一厅l’ 2、.....1产 、,了原式一!(一1一扩了f 2j.占:例解==1 f‘x 12 么=1一1=0例2·已知x 令一‘,求/1坏赤之底解:解方程二十三=一1,得丫万.万一,’(分别以01、相似文献   

高中数学系列复习与辅导 第七部分 综合复习与考试

、综合范例(a,乙). 例1A一{xI劣=已知f(‘)=x’ ax b(a,西‘R)’‘稗(2)设x,“为长方形的·f(x),x〔R},B一{x!x=f〔f(x)〕,竺x,二11执卜}n}J }mJ扮为长方形的边长,则2(x 封)二8, }nl=x任R},(1)若a=1,b=2,求A UB,A门B,(2)若A二{一i,3},求B;(3)若A={a},求a和乙的值. 解,(1)当a=1,     

“方程a~x=log_ax解的个数问题”的问题(续)

(上接第4期)2.1.2代数论证 由图象的动态启发,我们用代数方法时,首先处理临界状态,即先求出y一ax与y一x相切时a的值.设所以,当x~一fog。Ina时,f(x)一ax一x取得最小值f(一logalna)=1+Inlna Ina又因为Ina>0(a>1),al一x,(a‘)‘=x怪所以只需判断1+lulna的正负,就可判断f(x)的最小值的正负(此时f(x)的最小值是a的函数).由①知,只需讨论a与a。一砖的关系.1 la二Ina=1=> xlnx士一1=> Inx一1 .’.x一。,得。一砂(即上述。。一砂).① 现考虑f(x)=ax一x的最小值,由厂(x)一axlna一1知, 当axlna一1二0时,得唯一的零点 xn~l。二。华一l。:。In。,⑦ …     

经济数学基础学习辅导

第一章击段(1)设f(二)=尸十’,j”十了LZ e二1重、难点 重点:求函数的定义域和函数值,常见的经济函数。 难点:建立函数关系式。则f(0)=_,f(1)= x石口O。且二一, i工i、J一1少笋1,即x>1且x尹2。 此函数的定义域是(1,2)U(2,3]。 (3)已知某产品当产量为x时的成本为 e(x)=0 .3x2 七 400且市场需求律为x=20口一乡P(x为销量,P为价格),则利润函数为3.2单选题 (1)下列函数中()是…     

错在哪里

四川蓬澳县教师进修学校周余孝题:、长函数夕=x+了Ib牙二乏5二无万的值 (封一x)三二10x一23一名望即Zx资一2(g+。)劣+(,,·厂23)二o⑤ ,.’劣是实数,又 .,.△==4(奋+5)2一心xZ(升子+23)势0解得3《肚‘7 将沙==3代入③得:=4满足②,,’.甘‘.,a’ 将,=7代入③得:=6满足②,稿。来.域解t‘.’夕=x+认10x一23一x,10x一23一劣2奋O5一斌万《丫《5+了万由①可得①②令得少。.二了。函数夕=x,亿1石无二乏丁而百的值域是〔3,7〕。 解答错了!错在哪里? 因为方程③是方程①的结果,即方程①的解都是方程③的解,但方程③的解不一定是方程①的解。事实上,…     

导数f'(x0)的三种极限式及应用

根据导数的定义知,可导函数了(x)在x二x。处的导数为概[f(x) f(xo)]【f(x)一f(xo)] X一XO f(x)一f(x。)厂(x。)= f(x。十△x)一f(x。)纸△x hm二1众n【f(x)十f(x。)〕lixn”与二,与二2f(x。)厂(x。). (2)原式二X一XO令△x=x一xo,则当△x冲0时,x一x。~ 0,即x”x。,所以①式可表示为厂(x。)=坛n”、f(x)一f(x0) X一XO②lim‘叫心f(x。 4t)一f(xo) f(x。)一f(x。一st) 2t又当,任R且二护0时,若△x~0,m△x申0,从而①又可表示为则一2腼工互兰鱼士卫旦二丛,兰迎 名叫司络忿厂(x。)=由此可见可导函数了(x)在间相互等价. f(x。 m△x)…     

导数与微分检测题

一、选择题1.函数f(x)在点x。处的导数f’(.:。)是指(A)恕(B)忽f(x。+2公)一f(x。) 公f(与+如)一f(:。一如) 公f(二。+公)一f(x。一如) 2如f(x。一2山)一f(x。)2.已知f(幻二2如(鲁+:)’,则f‘(x)为 ‘②y=肖。二Q),则犷=nx卜,;③y=sinx,则犷=一COSx;④y二cosx,则丫=sinx·其中正确命题的个数是(A)l(B)2(C)3(D)46.函数y二、厅下不石的导数是 厂丁丁,n、万下不石(A)丫,+全(B)一丈一 _、l_、Zx(C、-一--一-,二二二二二二(D)-,三三=二 Zx了I+Inx了l+Inxm司m试︸n公二n山、.产、1户CD矛万‘、矛.、(A)2(奇+‘)(B)2(备+‘)(奇+,) (C)奇+…     

应用余式定理解整除问题

命题f(x)为二的多项式.则 f(a)=O拱(x一a)}f(x). 例1.设,,任N.求证:14}3“十2+5冲十’. 证明考虑函数 f(二)一(二一5)2”?’丰5”一’.因f(0)~o,故f(x)可被(x一0)整除,特别14 If(14),即141f(14)~92’一’+52,十’一3‘“一2十52,十’. 例2.设,,任N.证明:(a十l)2什’+a’+2能被扩十a十1整除. 证明考虑f(x)一(a+1)(x+a)· +(x一a一1)矿.因厂(0)一。,故川f(x).特别地 (a’+a+l)!f(a’+a+1) =〔(a+l)2.+’十a‘+2〕.应用余式定理解整除问题@邵琼$青海省西宁市第一职中!810012~~…