一次同余式组的解法

同余的理论是初等数论里的一个重要课题,它要解决的是如何确定一个同余式(或同余式组)的解的个数与解的方法。这里着重介绍一下一次同余式组的解法。一孙子定理我国古代的《孙子算经》(纪元前后)里提出并解决了“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数。     

一次同余式的另一解法

关于一次同余式ax≡b(modm)解法,在“初等数论”的书中,一般都转化为解二元一次不定方程ax+my=b.本文将类比一元一次方程的解法,介绍一次同余式的另一解法.对于同余式的概念和同余式的性质,设想读者已知,这里不再赘述.定义1 设a,b是整数,且m不能整除a,形如ax≡b(modm)的式子称为模m的一次同余式.如果整数c使ac≡b(modm)成立,称x≡c(modm)为一次同余式ax≡b(modm)的一个解.求出所有的适合一次同余式ax≡b(modm)的x的值,称为解一次同余式.     

同余理论在整除问题中的应用

列举了同余式的重要性质,并通过具体例子说明了如何利用同余性质证明整除问题的方法,为整除问题的证明提供借鉴.     

广义的孙子定理

著名的孙子定理在模两两互质的条件下 ,给出了同余式组的公共解的表达式 .现就模不两两互质的条件下 ,探讨同余式组的公共解的表达式 ,并利用线性代数的方法给出了具体的求解方法     

浅析大衍求一术及其教育价值

大衍求一术是解一次同余式组的一种方法．关于它的产生要从“孙子问题”说起．“孙子问题”是指我国古代《孙子算经》中下卷的第26题“物不知数”，历代都有人研究，名称很多．例如：宋代周密《志雅堂杂钞》卷下的“鬼谷算”、“隔墙算”，宋代杨辉《续古摘奇算法》中的“秦王暗点兵”，明代程大位《算法统宗》中（1593年）的“物不知数”、     

"大衍求一术"与"一次不定方程"

在代数中对“一次不定方程”的研究是建立在现代数论基础上的，而中国古代数学家发明的“大衍求一术”已用独特与完整的方法解决了“同余式”的求解问题；在介绍了中国古算中关于“同余”问题求解的成就的同时，对秦九韶的“大衍求一术”做了基本阐述，特别对“大衍求一术”的基本思想与现代数论之间的关系进行了探究，重点给出了大衍求一术“的现代证明；并用证明的结果对《孙子算经》中的“物不知数”与《数书九章》中“粜米推原”两个“同余”问题做了解答。     

《孙子算经》及鸡兔问题

我国古代“算经十书”中,有一本名叫《孙子算经》的著名算书。这本书共三卷,上卷叙述用竹制工具“算筹”记数的制度,以及用算筹计算乘、除法的法则;中卷运用实例,说明用算筹计算分数的方法以及开平方的方法;下卷有著名的“物不知数”问题,是“一次同余式”的问题。     

某一类同余式的解的注记

同余式的解的存在性及解数的问题是初等数论中传统而又核心问题.本文主要针对某一类同余式的解的问题展开讨论,并得出了一些有意义的结果.     

孙子定理

初等数论中的“孙子定理” (西方称为“中国剩余定理”),是中国古代《孙子算经》中的一个涉及一次同余式组及其解法的题目,即所谓“物不知数”问题。本文由“物不知数”谈到南宋秦九韶的“大衍总数术”和清代的“求一术通解”,其间约1500年。对于关心这个问题的读者从数学史的角度了解这一优秀成果的沿革,本文将很有助益。     

一类特殊的同余式组的求解公式

在同余式组的求解中,我们一般是运用孙子定理进行求解。但是对于一些特殊类型的同余式组,例如:型如x=5(mod 9),x≡5(mod12),x≡5(mod13),这三个同余式构成的同余式组,我们很容易知道其解为:     

模为素数幂的n元一次同余式组

本文在利用消元法对模ｍ的ｎ元一次同余式组进行简化和求解的基础上,具体地对模ｍ为素数方幂的情况深入研究,并得到进一步的结果。     

一次同余式组的一种简便解法

对于那些模很大并且不易判断是否两两互素的一次同余式组ｘ≡ａｉ（ｍｏｄｍｉ），其中１≤ｉ≤ｋ，给出一种新的简便求解的方法，使它更适宜于在计算机上编程序实现，而不必像传统解法中那样对所有的ｍｉ进行标准素分解，同时还要预先判断同余式组是否有解     

Graham猜测的一点注记

Graham曾猜测：有无穷多个正整数n适合同余式2n＝k（modn）其中k≠1为任意给定的整数，本文证明了当k＝±2m，k≠1，m为正整数时Graham猜测成立，同时我们得到了同余式a(kn-b)≡－C(kn-b)（modn）的一些结果，并提出如下猜想：对任意给定的正整数a，c，（a，c）＝1均存在无穷多个正整数n适合同余式．an-2≡-cn-（modn）     

有效增强政治学科的能力

知识运用中最重要的方法就是具体问题具体分析。“有的放矢”是高考答题时的基本要求。学生在运用知识的过程中，往往存在着一个很大的失误就是“生搬硬套”，即将原来学过的知识生硬地放在对某一个具体问题的解答上。具体问题具体分析、具体做答，就是要求针对“这一个”问题来回答。而不能回答对所有问题都适用的一般原理。因为每一个具体问题都有特定的背景，     

两同余式组解的互补定理

给出了两个同余式组解间的互补定理,并说明应用此定理可以巧妙地"神奇化易",利用一个同余式组的解来简单求出另一个同余式组的解.     

中国剩余定理（四）——村妇荡碗

秦九韶创造的“大衍求一术”,开创了系统的一般一次同余式组解法的先河。在中世纪,它不仅代表了中国数学的最高成就,即使在当时的世界领域中也是处于最先进的水平,比西方同类解法早500多年。     

快速求余数法

利用数论中的同余式，研究余数的快速求法。     

同余与不定方程的求解

不定方程的求解是数论学习的重要内容,利用同余与同余式解不定方程是不定方程求解的常用方法.利用一次同余式、二次同余式与同余性质解不定方程的一般方法,对求不定方程整数解的学习难点有所帮助.     

问题宜如“针尖”不宜“扇”

教学中少不了提出问题、分析问题和解决问题。提出问题是引起“分析”和“解决”问题的基础，问题的质量直接关系着后边两个环节的价值。好的问题明确具体，牵一发而动全身。一旦提出，学生思维便会很快找准方位，进入运行状态，最终达到解决问题的目的。这“明确具体”，恰如精密仪表上的指针，它们细如发丝，目的就是使“指向”更具体，更精确，减少看的误差。在课堂上，无论哪一个学科，老师提出的问题都必须考虑针对的具体性，尽量避免模棱两可，学生无所适从。当然，有意识地进行发散思维训练的问题属于例外。在教学实践中，笔者听过“…     

中国剩余定理与同余式组

“中国剩余定理”是初等数论中一个很重要的定理,同时在抽象代数中占有很重要的地位。最近,匡正从组合学的角度给出了两个模的情形下的“中国剩余定理”一个证明。作者利用这个方法证明了一般情形下（即k（k≥3）个模的情形）的“中国剩余定理”,同时给出了一次同余式组的一种较为简捷易懂的解法。