三角形若干共点线的问题探究

三角形中三条角平分线(高、中线、边垂直平分线)共点,在三角形中还有其它一些三线共点的问题,举例如下:问题1以△ABC的三边为底,分别向外(内)作三个相似的等腰三角形△'ABC、△'BCA、△'CAB,则'AA、'BB、'CC三线共点.问题2以△ABC的三边为底,分别向外作三个三角形△'ABC、△'BCA、△'CAB,使'BACCAB=?'ABCCBA=?'BCA'ACB=?则'AA、'BB、'CC三线共点.问题3设P为△ABC内的一点,由P向BC、CA和AB三边作垂线,垂足为'A、'B、'C,则(1)当P为内心时,有'AA、'BB、'CC三线共点;(2)当P为外心时,有'AA、'BB、'CC三线共点…     

三角形的巧合点（一）

这学期，我们已经学习了：三角形的三条角平分线交于一点，三角形的三条高所在直线交于一点．其实，三角形三条边的垂直平分线（过这边的中点且与其垂直的直线），三条边的中线也都分别交于一点．三角形的这几种特殊线分别共点，这样的点叫做三角形的巧合点．     

三角形内切圆中的一条性质及应用

三角形内切圆中有如下的有趣性质: 定理 三角形一内角平分线上的点为三角形一顶点的射影的充分必要条件是该点为另一顶点关于内切圆的切点弦直线与这条内角平分线的交点.     

三角形内(外)角平分线相关定理之研究——《中数教材研究》

本文主要给出由已知三角形三边,求三角形内(外)角平分线长的计算公式的相关定理及其证明,同时给出由已知三角形两边及夹角,求三角形内(外)角平分线长相关定理及其证明.     

全等三角形复习导引

3．角平分线（1）角平分线的性质：（2）角平分线的定理及逆定理：（3）三角形角平分线交于一点,这点到三角形三边距离相等：（4）在角的两边截相等的线段,构造全等三角形：（5）在角的平分线上取一点．向角的两边作垂线．     

专题复习之四:三角形

从三角形这个最熟悉、又最简单的几何图形开始 ,大家逐步迈入了系统研究几何的殿堂 .《三角形》这一章的知识丰富且重要 ,它不但是初中阶段研究四边形及多边形、相似形、直角三角形、圆等几章的前提和基础 ,而且运用广泛 ,相关题型多样 ,综合性较强 .【智能目标】1 理解三角形及其有关概念 ,掌握三角形的角平分线、中线、高等概念 ,会画出任意三角形的角平分线、中线、高 .2 理解三角形任意两边之和大于第三边的性质 ,会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形 .3 掌握三角形的内角和定理 ,了解在证明三角形内角和定理时所引辅助线的作…     

“三线”教你解三角

三角形的角平分线、中线和高线是三角形中三条重要的线段理解"三线"的概念对证明线段和角之间的关系起着重要的作用,因此地位尤为突出.一、三角形角平分线的用法用法1直接应用角平分线的性质例1如图1,点I是ΔABC的内心,AI交ΔABC的外接圆于点E,交边BC于点D,连接BE.求证:EB=EI.     

让解三角形变得更容易

三角形的高、中线和角平分线是三角形中的基本元素,三边关系、三角形及多边形的内角和定理是三角形中最基本的定理之一,这些知识在初中数学中有着广泛的应用.巧妙运用三角形中的边角关系和定理,会使问题化难为易,迅速求解,下面举例加以说明.     

初二几何学期复习指导

[复习要求] 1.理解三角形的有关概念,熟悉三角形的角平分线、中线和高的意义及画法;理解三角形三边之间的关系;掌握三角形内角和定理及其推论。 2.掌握全等三角形的性质与判定定理;会利用全等三角形证明简单的有关问题,会进行有关计算。     

巧用辅助圆证明三角形内角平分线定理及其逆定理

巧用辅助圆证明三角形内角平分线定理及其逆定理高二拴初三几何课本中介绍了三角形内角平分线的性质定理（如图１），设ＯＭ＝ａ，ＭＱ＝Ｂ，ＱＮ＝ｃ，ＯＮ＝三角形的内角平分线是一条特殊的线段，它除具有上述定理外，还具有如下定理：（一）（如图１）若ＯＱ是ＭＯＮ的...     

第四讲 图形与证明复习精讲 全等三角形和特殊三角形

第1课时三角形中的线段、角及其关系知识梳理通过本课时的复习,我们可以进一步理解三角形及其内角、外角、中线、高、角平分线等概念,会按照三角形边的关系和内角的大小对三角形进行分类,了解三角形的稳定性;能够证明三角形的内角和定理,掌握它的推论;能够证明三角形的任意两边之和大于第三边;能够运用重要的结论解决一些简单的实际问题.     

三角形中主要线段的统一参数公式

三角形的中线、角平分线、高线是三条常用主要线段.已知三角形的三条边长,可用不同的方法导出这三条主要线段的长度公式.本文利用斯特瓦尔特定理,引入一个参数就可以用一个统一公式来表达这三条线段的长度.当参数取不同的值时,便得到三角形的中线、角平分线、高线长公式.定理 设D是△ABC的BC边上任意一点,BC=a,AC=b,AB=c(图1),并且BD:DC=λ,则AD~2=[(1+λ)λb~2+(1+λ)c~2-λa~2]/(1+λ)~2     

任意凸多边形面积平分线化归作法

在文[1]中阐述了用"三角形等积定理"(等底等高的两个三角形面积相等)作任意三角形面积平分线(使面积平分为二的直线)的方法和过任意四边形一顶点作其面积平分线的方法.阅此文后,经过进一步探索,得出了从任意位置作任意凸多边形的面积平分线的很简单而通用的作法.下面从过顶点和边上任意一点两方面介绍作法:1过任意凸多边形的顶点作面积平分线①任意三角形时,如图1,取BC边中点D,连接AD,显然S△ABD=S△ACD(三角形等积定理),即AD为面积平分线.     

三角形部分概念和定理精析

一、概念辨析———三角形三条角平分线的性质与三边垂直平分线的性质的联系和区别区别:(1)名称不同:三角形角平分线的交点叫做三角形的内心;而三边垂直平分线的交点叫做三角形的外心.(2)性质不同:三角形角平分线的交点到三边的距离相等;而三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等.(3)位置不同:三角形角平分线的交点总在形内;而垂直平分线的交点可能在形内,也可能在形外,还可能在线上.联系:(1)都交于一点;(2)等边三角形角平分线的交点是三边中垂线的交点.例1如图1,A、B、C三点表示三个村庄,为解决村民子女就近入学的问题,有关部门计划建…     

三角形的“美妙点”分相应线段成怎样的比?

任意三角形的三条中线必相交于一点 (此点称为三角形的重心 ) ,三条高也交于一点 (此点称为三角形的垂心 ) ,三条角平分线也交于一点 (此点称为三角形的内心 ) .应该说 ,这是非常美好的事 ,因此 ,俄罗斯人称这些点为三角形的“美妙点” .重心将三角形的每条中线分成两段 ,其长度之比都为 2∶1 ,这是大家熟知的事实 ,那么垂心和内心又将高、角平分线分成怎么样的比呢 ?俄罗斯杂志《中学数学》2 0 0 1年第 4期发表了Ａ .Л .帕拉甫金的题为《三角形的“美妙点”分相应线段成怎样的比》一文 ,文中用两个定理给出了两个比值 ,这两个比值的结构也…     

三角形中的共线点和共圆点

在初中平面几何中,已学过有关三角形的共线点有,三角形的三条高交于一点(垂心)、三条中线交于一点(重心)、三边的垂直平分线交于一点(外心)、三内角的平分线交于一点(内心)、一内角的角平分线与另二内角的外角平分线交于一点(傍心、计三个)。本文将再列出并证明几个共线点和共圆点。     

与Steiner-Lehmas定理相关的一个命题

"等腰三角形两底角的角平分线长相等"的逆命题"三角形两角的角平分线长相等,则三角形是等腰三角形",这就是著名的斯坦纳-莱默斯(Steiner-Lehmus)定理.文献[1]将角平分线延长,与过点A且与BC平行的直线相交,在此基础上得到如下命题.     

三角形角平分线的又一个性质

现行平面几何教材中.三角形角平分线的性质定理只有一个:三角形角平分线分对边成两条线段,这两条线段和这个角的两边对应成比例。这个定理在求解和论证题中有广泛的应用。本文再介绍三角形角平分线的一个性质定理,并探讨其应用,供同仁指正。     

三角形垂心一个性质的推广

文[1]中给出了关于三角形垂心的一个优美性质,即 定理1三角形的垂心在各角的内、外角平分线上的射影的连线共点,该点恰好是三角形的九点圆圆心． 笔者研究发现上述性质中的垂心可以推广为平面上任意一点,在行文前,先给出如下定义．     

用“中间量”证圆中比例线段

对于圆中比例线段问题的证明,除可以利用与比例线段有关的定理(平行线截线段成比例定理、角平分线定理、相似三角形性质、射影定理、相交弦定理、切割线定理等)直接证明以外,也可以利用“中间量”过渡的方法来证明,现列举数例说明.