双圆四边形的性质

<正>我们把既有内切圆又有外接圆的四边形称为双圆四边形,又称双心四边形.如图,凸四边形ABCD是双圆四边形,点O为其内切圆圆心,点E、F、G、H为切点,设内切圆的半径为R.S表示面积.性质1 AE·CG=BF·DH.证明连结OA、OC,因点E、G是切点,所以OE⊥AB,OG⊥CD,所以∠AEO=∠CGO=Rt∠,易证∠AOE=1/2∠EOH,∠OCG=1/2∠BCD,又∠BAD+∠EOH=180°,∠BAD+∠BCD=180°,所以∠EOH=∠BCD,所以∠AOE=∠OCG,所以△AOE∽     

三角形另一面积公式的应用

正我们知道,三角形的面积等于底与高的乘积的一半.本文给出三角形的另一面积公式及其应用,供同学们学习参考.如图1,过ABC的三个顶点,分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条铅垂直线之间的距离叫ABC的"水平宽"(a),中间     

双圆四边形的一个性质

定理设双圆四边形ABCD的边长AB=a．BC二b，CD=c，DA=d，R、r、△分别表示外接圆和内切圆的半径和面积，     

双圆四边形的作图法

既有外接圆,又有内切圆的四边形,称为双圆四边形。关于双圆四边形有许多有趣的结论,可交给学生练习证明,以提高证题能力和深化对这类图形的理解。但学生们做这些题目时要遇到一个意想不到的困难:画不好一个一般的双圆四边形。为此,这里介绍笔者整理出的双圆四边形的两种作法,供同行们教学时参考:     

双圆四边形的一个性质

定理　设 ｐ、Ｒ、ｒ分别表示双圆四边形Ａ1Ａ2 Ａ3 Ａ4 的半周长、外接圆和内切圆半径 ;Ａ1Ａ2 =ａ ,Ａ2 Ａ3 =ｂ,Ａ3 Ａ4 =ｃ ,Ａ4 Ａ1=ｄ ;ｐａ=ｐ -ａ ,等等 ,则 ａ3ｐａｐｃｐｄ≥ (8ｒ4Ｒ2 ｒ ｒ) 2 . ( )证明 :由算术———几何平均不等式 ,ｐｂｐｃｐｄ≤ [13 (ｐｂ ｐｃ ｐｄ) ]3 =(ｐ ａ3 ) 3 ,∴ ( )式左端≥ (3ａｐ ａ) 3 .由不等式1ｎ ｎｉ=1ｘｉｍ≥ (1ｎ ｎｉ=1ｘｉ) ｍ　 (ｘｉ∈Ｒ ) ,得 (3ａｐ ａ) 3 ≥ 2 7× 4[14 ａｐ ａ]3=2 71 6( ａｐ ａ) 3 .在柯西不等式 ａｋｂｋ≤ ( ａｋ2 ｂｋ2 ) 12 　 (ａｋ,ｂ…     

双圆四边形的一个性质

如图,双圆四边形ABCD的内切圆⊙I（r）与各边切点A1,B1,C1,D1称为内切点;其四个旁切圆⊙Ii（ri）（i=1,2,3,4）切各边的切点A2,B2,C2,D2称为外切点．     

棱台的又一体积公式

教材中,棱台的体积公式为: C台= 又可化为如下形式:V台= 这一公式说明,三棱台可以分割为三个三棱锥.其中两个三棱锥分别以三棱台的上、下底面为底面,而另一三棱锥的体积是这两个三棱锥体积的几何平均值.以下举例说明这一公式在处理三棱台体积中的应用.     

一个双圆四边形不等式的证明

设双圆四边形内切圆、外接圆半径分别为r和R,杨之老师在文[1〕末提出猜想:Rz(“4R2 尸一r)>(争一二r(月尺=涯r). ①以下给出证明:令二一旦,则①化为扩(丫石了平丁一1)、(争一1)2,即濒了平丁一琴扩李1一3了万主 乙 二n\二、二\二涯\,,:~涯。二 由R)丫百r得x)涯,瞥x)1,从而瞥x一3     

谈双圆四边形的一个性质

《数学教学》2001年第6期的数学问题548是设△ABC的三边长为a,b,c,求证:b c a c a b a b ca b c+?++?++?>22.①《中学数学月刊》在2002年第11期第29页用换元法给出了其一简证,并在2003年第7期又给出了其一个类似.在△ABC中,三边长为a,b,c,求证:c a b a b c b c aa b c+?++?++?≤3.②笔者发现,在双圆四边形中也有定理在双圆四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,R、r表示其外接圆半径、内切圆半径,则42b c d a a c d ba b≤++?+++?+a b d c a b c dc d++?+++?4r r24R2r2≤r+?③证明记1()s=2a+b+c+d,由文[1]得abcd=(s?a)(s?b)(s?c)(s?d).…     

双圆四边形布洛卡点的射影四边形的面积

定理 △和P分别为双圆四边形的面积和布洛卡点,记∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=a,     

涉及两个双圆四边形的不等式

在△ABC和△A′B′C′中,有如下的不等式1/aa′+1/bb′+1/cc′≥1/RR′　　　(1)其中a、b、c、R,a′、b′、c′、R′分别为△ABC和△A′B′C′的三边和外接圆半径,等号成立当且仅当a=b=c且a′=b′=c′。本文将其推广到双圆四边形(即既有外接圆又有内切圆的四边形),并给出几个猜想。定理　设双圆四边形ABCD、A′B′C′D′的边分别为a、b、c、d,a′、b′、c′、d′。它们的外接圆半径为分别为R、R′,则1/aa′+1/bb′+1/cc′+1/dd′≥2/RR′　　　(2)等号成立当且仅当a=b=c=d且a′=b′=c′=d′证明:首先我们有a2+b2+c2+d2≤8R2　　…     

对双圆四边形的性质的探讨

对双圆四边形的几条新性质进行了证明 ,并找到了画双圆四边形的一般方法 .     

四边形外接圆半径公式

定理　设四边形ＡＢＣＤ的边为ａ、ｂ、ｃ、ｄ ,外接圆半径为Ｒ ,则Ｒ =(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) (ａｄ ｂｃ)4 ｐａｐｂｐｃｐｄ,其中 ｐ为半周长 ,ｐａ=ｐ -ａ ,等等 .证明 :如图 ,用余弦定理 ,得ｃｏｓＡ =ａ2 ｄ2 -ｘ22ａｄ ,ｃｏｓＣ =ｂ2 ｃ2 -ｘ22ｂｃ .应用ｃｏｓＡ ｃｏｓＣ =0 ,记ｋ1=(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) ,ｋ2 =ａｄ ｂｃ,则解得ｘ2 =ｋ1ｋ2.应用三角形外接圆半径公式 ,得Ｒ△ＢＣＤ=ｘｂｃ4 ｐ′ｐｘ′ｐｂ′ｐｃ′　 ( ｐ′=12 (ｘ ｂ ｃ) ,ｐｘ′=ｐ′ -ｘ ,等等 ) ,则有Ｒ2 =Ｒ△ＢＣＤ2 =ｘ2 ｂ2 ｃ21 6ｐ′…     

四边形的面积公式

定理　已知 (凹或凸 )四边形ABCD中 ,AB =a ,BC =b ,CD =c,DA =d ,p为半周长 ,pa=p -a ,等等 .则面积S =papbpcpd-abcdcos2 A +C2 .证明 :S =12 (adsinA +bcsinC) .4S2 =a2 d2 sin2 A +2abcdsinAsinC +b2 c2 sin2 C=a2 d2 +b2 c2 -a2 d2 cos2 A -b2 c2 cos2 C+2abcdcosAcosC -2abcdcos(A +C)=a2 d2 +b2 c2 -[adcosA -bccosC]2-2abcdcos(A +C)=a2 d2 +b2 c2 -14(a2 +d2 -b2 -c2 ) 2-2abcdcos(A +C) ,1 6S2 =4(a2 d2 +b2 c2 ) -(a2 +d2 -b2 -c2 ) 2　 +8abcd -1 6abcdcos2 A +C2=4(ad +bc) 2 -(a2 +d2 -b2 -c2 ) 2-1 6abcdcos…     

成果集锦关于双圆四边形的一个猜想

成果集锦关于双圆四边形的一个猜想设双圆四边形内切、外接和其旁心四边形外接圆半径分别为ｒ、Ｒ和Ｒ０，文［１］猜想本文得到反向不等式：定理引理１［１］引理２［１］引理３两式相乘整理即得引理３．在引理３中，令ｔ＝，即得取ｆ（λ）＝左－右，由引理４知ｆ（λ）...     

双圆四边形中R与r关系初探

既有外接圆又有内切圆的四边形叫双圆四边形 ,它有很多优美的性质和结论 ,它的边角关系已有文献进行过全面的探索。本文运用托勒密定理探求了双圆四边形外心到各边距离之和ｈ与外接圆半径Ｒ及内切圆半径ｒ之间关系 ,进而推导出Ｒ与ｒ的关系。1　双圆四边形中外心到各边的距离之     

有关双圆四边形内点的一个几何不等式

文[1]介绍了如下Carlitz-Klamkin不等式.设P是△ABC内任一点,P到BC,CA,AB的距离分别为r1,r2,r3,AB=c,BC=a,CA=b,s=(a b c)/2则2331121()()()()()()r r r r rrs?b s?c s?c s?a s?a s?b≤.(1)笔者经研究发现,在双圆四边形中也有定理设P是双圆四边形ABCD内任意一点,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,P到AB、BC、CD、DA的距离分别为r1,r2,r3,r4,s=12(a b c d),则有1223()()()()rrr rs?a s?b s?b s?c 34411()()()()r r r rs?c s?d s?d s?a≤.(2)证明由文[2]得a c=b d=s,∴1223()()()()rrr rs?a s?b s?b s?c 3441()()()()r r r rs?c s?d s?d …     

一个不等式猜想与双圆四边形的一个性质

文[1]提出了100个待解决的不等式猜想问题,其中第95个问题是:设锐角三角形的三边长、三旁切圆半径、内切圆半径和外接圆半径分别为a、b、c、r_a、r_b、r_c、r、R,则r_a/r_b r_b/r_c r_c/r_a≥1 R/r．文[2]给出了此猜想的肯定性质证明．本文介绍此猜想的一个类似     

双圆四边形中一个关联四圆的不等式

定理　设ABCD为双圆四边形 ,R、r分别为外接、内切圆半径 ,r1、r2 分别为△ABC、△ADC的内切圆半径 ,则有R≥4r (r -r1) (r-r2 )r1 r2.①证明 :记AB =a ,BC =b ,CD =c,DA =d ,△ABC、△ADC的面积分别为Δ1、Δ2 ,四边形ABCD的面积为Δ ,半周长为 p ,则Δ1=12 r1(a b AC) ,Δ2 =12 r2 (c d AC) .由Δ =Δ1 Δ2 ,得2Δ =r1(a b) r2 (c d) AC(r1 r2 ) .由文 [1 ]知Δ =abcd ,R =14(ab cd) (ac bd) (ad bc)abcd12 ,∴AC =(ac bd) (ad bc)ab cd12 =4RΔab cd≤4RΔ2Δ =2R ,∴ 2Δ≤r1(a b) r2 (c d) 2R(r1 r2 )…     

一个四边形的面积公式

一个四边形的面积公式□李显权（四川富顺师范学校６４３２００）本文给出一个求平面四边形面积的一个公式：定理平面任意四边形的面积，等于四边形不相邻两边中点的连线长乘以另两边的任一中点到该连线距离的２倍．已知：如图１，在四边形ＡＢＣＤ中，设Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是...