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在国内外数学竞赛以及一些数学杂志上出现了一类分式不等式 ,许多专家都曾对这类不等式作过研究 ,指出了较多好的证法 .本文旨在说明这类分式不等式有一种统一初等证法 ,就是都利用一个常见的简单不等式 (a1+a2 +… +an) (1a1+ 1a2 +… +1an)≥n2 (ai >0 ,i=1 ,2 ,3,… ,n)加以证明的 .问题 1 (英国竞赛题 )设正数a1,a2 ,… ,an 之和为S ,求证 :a1 S -a1+a2S -a2+… +anS -an≥ nn - 1 (n∈N ,n≥ 2 ) .解析 原不等式等价于(a1 S-a1 +1 ) +(a2S-a2 +1 ) +… +(anS-an +1 )≥ nn - 1 +n ,即 SS-a1+ SS-a2 +… + SS-an ≥ n2n- 1 ,即… 相似文献
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若有一个人每次最多只能跳5米远,有一条河,河宽6米,此人想通过一系列的跳跃,从河的一边跳到另一边,则某个时刻,他一定落人河中. 相似文献
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韩玮 《中学数学教学参考》2020,(10):71-72
<正>在三角形中,有许多有趣的不等式,本文应用三角恒等变形和柯西不等式,探究一类三角不等式问题的证明途径,意在为读者提供解答该类问题的一种比较新颖的视角。例1在△ABC中,求证:cos A+cos B+cos C≤3/2。证明:应用三角公式和柯西不等式,得 相似文献
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设a、、占、(i=z,2,3,…,n)为任意实数,则(a子十。圣 一 武)(峨 砖一十此))(。1占l aZ占: … an占,)2,式中等号当且仅当 证:拱=罕=…=努时成立,这就是著名的柯西不bl如b,’‘一’一’‘一一‘一一一”‘一·所以例3 二圣1一xl二成立,故原不等式成立.设二1·二2··…二,〔R十,且i哥二、一‘,求 二圣1一xZ 2 J”、1十丁一一一二多,一万 1一工”n一1等式,应用甚广. 文〔1」用等号成立条件法,给出了一类分式不等式的巧妙证明,现就该文中各例,通过添配适当的因式,运用大家熟悉的柯西不等式证之,以资比较. 例1设a,b,。都是正数,证明: (《数学通… 相似文献
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在中学数学课本中,凸函数这一概念虽未曾出现,但观察历年中学奥林匹克数学竞赛及近几年全国各地高考试题,涉及凸函数知识的题目已频繁出现.事实上,让中学生掌握一些凸函数的简单应用,能起到承上启下,启迪学生思维,增强学生数形结合能力的作用.特别是一些三角不等式,往往看起来很复杂,甚至无从下手,但如果利用凸函数的性质给予证明,则会起到简捷明了、事半功倍的效果.本文通过例题分析,说明凸函数在不等式证明中的巧妙作用. 相似文献
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分式不等式具有丰富的内涵、优美的形式、巧妙的证法,倍受各级各类数学竞赛的青眯.本文用配对法证明一类竞赛中常见的分式不等式,供参考. 相似文献
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题目设a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则有(1/b+c-a)(1/c+a-b)(1/a+b-c)≥(7/6)^3(1)当且仅当a=b=c=1/3时取到等号. 相似文献
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题目设a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则有(1/(b+c)-a)(1/(c+a)-b)(1/(a+b)-c)≥(7/6)~3(1)当且仅当a=b=c=了1时取到等号.文[1][2]给出了不同的证明方法,本文再给出更简单的证明方法.证明:注意到b~2-b+1=(b-1/3)~2+1/9(8-3b)≥1/9(8-3b),同理有c~2-c+1≥1/9(8-3c), 相似文献
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用一个新不等式证明一类分式不等式 总被引:1,自引:0,他引:1
新不等式是 :若A∈R ,B、λ∈R ,则A2B ≥ 2λA -λ2 B . ( )证明 因A∈R ,B、λ∈R ,依基本不等式得A2(B) 2 (λB) 2 ≥ 2· AB·λB =2λA ,∴ A2B ≥ 2λA -λ2 B .可以看出 ,新不等式的结构简单、特证明显 .它的左边是一个分式模型 ,右边则是与之相关的一个整式 ,这就是说 ,不等式有把分式转换为整式的功能 ,因而不等式 ( )是证明一类分式不等式的锐利武器 .现举几例说明之 .例 1 设x1 ,x2 ,… ,xn 是正实数 ,求证 :x21 x2 x22x3 … x2 nx1≥x1 x2 … xn.( 1984年全国高中联赛题… 相似文献
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一个不等式的初等证明 总被引:1,自引:0,他引:1
文 [1]给出并用微分法证明了如下不等式 :已知 x,y,z∈ (0 ,+∞ ) ,且 x+ y+ z=1,则(1x- x) (1y- y) (1z- z)≥ (83 ) 3 . (1)受此启发 ,笔者经探索得出如下一个初等证明 .证明 由基本不等式易得xyz+ yzx≥ 2 y,yzx+ zxy≥ 2 z,zxy+ xyz≥2 x.将上述三个不等式相加得xyz+ yzx+ zxy≥ x+ y+ z=1. (2 )又由 1=x+ y+ z≥ 3 3 xyz,得 xyz≤12 7.∴ (1x- x) (1y- y) (1z- z) =1xyz· (1- x2 ) (1- y2 ) (1- z2 ) =1xyz[(1+ x) (1+ y)(1+ z) ][(1- x) (1- y) (1- z) ]=1xyz(2 +xy+ yz+ zx+ xyz) (xy+ yz+ zx- xyz) =2(1x+ 1y+ 1z) - 2 + (xy+ yz+… 相似文献
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唐平生 《中学数学教学参考》2014,(9):41-42
分式不等式是一类重要不等式,在各类竞赛和自主招生试题中时有出现。本文从一个简单不等式出发,探究了一类分式不等式的统一证明,并将这些不等式做了一些推广,作为课程补充资源供大家参考。 相似文献