错在哪里

1.一些圆与两个坐标轴同时相切,求圆心的轨迹方程。解:设圆的方程是(x-a)~2 (y-b)~2=r~2,它与x轴y轴同时相切的条件是|a|=|b|=r,那么圆心坐标(a,b)是方程x±y=0的解,因此圆心轨迹方程是x±y=0。本题错在没有把原点排除在外。 2.已知A(x_1,y_1)是圆x~2 y~2=r~2上的一点,求证,与圆相切于A点的切线方程是x_1x y_1y=r~2。     

极坐标系下圆方程的圆心和半径的求法

在直角坐标系下,对形如 x~2 y~2 Dx Ey F=0 (D~2 E~2-4F>0) 及(x-a)~2 (y-b)~2=r~2的方程,易知都是圆的方程。其圆心坐标分别是(-D/2,-E/2)及(a,b),半径分别为(D~2 E~2-4F)~(1/2)/2及r。但对极坐标系下圆方程的一般形式,在统编教材高中数学二册未作介绍。在教学中,学生对什么形式的极坐标是圆的方程以及如何根据圆的极坐标方程,找出它的圆心坐标和半径,往往感到困难。笔者认为有必要对此作一般性地讨论。在极坐标系中(如图),已知圆心C(ρ_0,θ_0),半径为r。设P为圆上任意一点,     

圆的参数方程及其应用

1圆的参数方程的概念圆的方程有标准方程、一般方程、参数方程.一般地,我们把方程x=a rcosθ,y=b rsinθ(θ为参数)称为圆(x-a)2 (y-b)2=r2的参数方程.在圆的参数方程中,A(a,b)为圆心,r(r>0)为半径,参数θ的几何意义是:圆的半径从x轴正向绕圆心按逆时针方向旋转到P所得圆心角的大小.由圆的参数方程,我们可以把圆心为(a,b),半径为r的圆上的点设为(a rcosθ,b rsinθ)(θ∈[0、2π)),简称设“点参”,特别的,若原点为圆心,常常用(rcosθ,rsinθ)来表示半径为r的圆上的任一点.2利用圆的参数方程求最大、最小值利用圆的参数方程设点的参数,一方…     

探究过两点的圆的方程的求法

求圆的方程的问题是常见的题目。圆的普通方程有两种形式:(1)标准方程,即(x—a)~2+(y—b)~2=r~2(r>0);(2)一般方程,即x~2+y~2+Dx+Ey+F=0(D~2+E~2—4F>0)。无论通过哪种形式求方程,都需要确定三个量(a、b、r或D、E、F),为此,需要列出三个方程。较常见的已知条件有:(1)圆经过已知的     

巧用曲线系解题数例

曲线系方程所揭示的是一类曲线的共性。用曲线系解题,简洁而干脆。略举数例,以供参考。例1 设圆系方程x~2+y~2-2axcosθ-2bysinθ=0(a>0,b>0,a>b,a,b是定常数,θ是未定常数),求圆系中最大圆与最小圆公共弦的方程。解:对原方程配方:(x-acosθ)+ (y-bsinθ)~2=a~2cos~2θ+b~2sin~2θ,可知圆心轨迹方程为x~2/a~2+y~2/b~2=1,易知,最大圆方程:(x±a)~2+y~2=a~2,最小圆方程:x~2+(y±b)~2=b~2。得圆系方程;[(x±a)~2+y~2-a~2]+λ[x~2+(y±b)~2-b~2]=0。令λ=-1。便得所求的最大圆与最小圆的公共弦方程ax±by=0。     

直线与圆的典型题例解析

直线与圆是解析几何知识的基础,也是近几年高考的热点内容,因此,熟悉、掌握一些直线与圆综合问题十分必要. 例1已知圆C与圆C1:x2+y2-2x—=0外切,并且与直线l:x+ 3~(1/2)y=0相切与点P(3,-3~(1/2)).求此圆C的方程. 求圆C的方程要先确定圆心的坐标和半径的长.可设圆C的圆心为C(a,b),半径为r,因为圆C与圆C1相外切,且圆C1的半径为1,所以两圆的圆心距|CC1|=r+1.又因为与直线l相切与点P,所以圆C的圆心在过P点与直线l垂直的直线上,且圆心到直线l的距离等于半径r,依据圆的几何性质即可求出参数a,b、r 解:设所求圆的圆心为C(a,b),半径为r.     

点到直线距离公式的一个证明

在平面解析几何里,求点到直线距离一般是将直线方程化成法式方程,然后再导出点线距离公式。学生记住了公式,常忘记了这个公式的来源。下面我们介绍点线距离公式的另一征法。如直线方程为x=a或y=b,则不须用公式。今设直线方程为y=kx+b(k≠0)。先求原点(0,0)到直线y=kx+b的距离。以原点为圆心,作半径为r的圆x~2+y~2=r~2,如图1所示。若此圆与直线仅有一个公共点,即直线与圆相切时,则圆     

二次曲线中点弦方程和弦中点的轨迹方程

求二次曲线以已知点为中点的弦的方程和弦的中点轨迹问题,已有不少文章论及,提出了许多不同的解法。本文从直线与二次曲线族的位置关系出发,也对这类问题进行一些探讨。一、二次曲线以已知点为中点的弦的方程我们知道,若直线l与圆心为O,半径为r的圆相切于P点,则任一以O为圆心,半径大于r的圆截l所得的弦都以P为中点。故给出点P(x_0,y_0)(异于原点)和圆x~2 y~2=R~2,当R~2>x_0~2 y_0~2时,要求以P为中点的弦所在直线的方程,只须在以原点为圆心的圆族x~2 y~2=r~2内,求出圆x~2 y~2=x_0~2 y_0~2在P点的切线方程即可,其方程为x_0x y_0y=x_0~2 y_0~2,即     

一道圆的例题的引申与探究

人教版试验教材数学第二册(上)§7.7,例2:已知圆的方程是x~2+y~2=r~2,求经过圆上一点M(x_0,y_0)的圆的切线方程。本例题求解方法很多(结果为x_0x+y_0y=r~2),在此不再赘述,下面从三个方面进行引申和探究,供赏析。引申一:若圆的方程是(x-a)~2+(y-b)~2=r~2,那么经过圆上一点M(x_0,y_0)的切线方程还是x_0x+y_0y=r~2吗?下面我们来探求过点M(x_0,y_0)的圆的切线方程。方法一:用例2的方法(利用点斜式方程求解),可求得过点M(x_0,y_0)的圆的切线方程为     

圆锥曲线的极和极线

高中《解析几何》课本(必修)第62页给出过“已知圆x~2 y~2=r~2上一点M(x_0,y_0)的切线方程是x_0x y_0y=r~2”。有趣的是在某些条件下,这种形式的方程不表示圆的切线。 设M(x_0,y_0)是圆x~2 y~2=r~2外的一点。从M引圆的两条切线MA、MB,其中A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)为切点。那么,MA的方程是x_1x y_1y=r~2。     

圆与方程求解的常用策略

<正>圆的方程是圆中的基本内容,也是高考命题的热点,必须认真掌握。求圆方程除掌握圆的一般方程、标准方程及待定系数法外,还要掌握一些技巧才能提高解题能力。常用的策略有以下几种,现举列说明。一、直接法例1求过点A(2,-3)、B(-2,-5),且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程。分析:设法求出圆的半径,然后利用圆的标准方程即可。解:因为圆心在直线x-2y-3=0上,故可设圆心为M(2b+3,b),再由|MA|=     

圆的两点式方程及其应用

已知圆心(a,b),半径为r的圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2叫圆的标准方程.把它展开整理,可得到x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.     

圆锥曲线的渐屈线和曲率圆

曲线C在点P(x0,y0)曲率圆是与该曲线C相切于点P(x0,y0)(凹侧)的最大圆,曲率圆的圆心D的轨迹曲线G称为曲线G的渐屈线.抛物线y2=2px(p>0)、椭圆x2/a2+y2/b2=1和双曲线x2/a2-y2/b2=1的渐屈线方程分别为y2=8/27P(x-p)3、x3/(c2/a2/3=1和x3/(c2/a2/3-y3/(c2/b)2/3=1.抛物线、椭圆和双曲线的最小曲率圆都是它们的内切圆,其方程分别为(x-P)2+y2=p2、(x±c2/a)2+y2=b4、(x±c2/a)2+y2=b4/a2.     

两圆的对称轴方程

引例求圆O1:x2 y2=1和O2:(x-4)2 y2=1的对称轴方程．解容易求得对称轴是直线x=2,并且发现该直线方程可由O2与O1的方程相减得到．这是巧合吗? 其实这是一个必然的结果．设圆O1:(x-a)2 (y-b)2=r2和圆O2:(x-c)2 (y-d)2=r2．由这两个圆方程相减,得直线方程 (2c-2a)x (2d-2b)y a2 b2-c2-d2=0, 其实对于圆O1和圆O2,只要证明两个圆的圆心关于该条直线对称即可,两圆心所连线段的     

利用单位圆的切线构思解题

在现行教材《平面解析几何》中,有这样一个结论:过圆x~2 y~2=r~2上一点(a,b)的切线是ax by=r~2.显然,当r=1时,圆是单位圆,其切线方程是:ax by=1.根据这一结论,我们不仅可以直接写出圆X~2 y~2=1上任意已知点的切线方程,而且还可以结合切点性质,作为一种转化模式,较为简便地解决一些代数和三角问题.1 证明代数恒等式例 已知a2~(1-b~2)/2 b2~(1-a~2)/2=1,求证a-b~2=1.这题可以用平方化简和三角代换等多种方法证明,但用上面的结论构思也不失为一种好方法.证明 单位圆方程为x~2 y~2=1.过圆上点(a,     

解析几何复习提要(二)——圆锥曲线

一、圆及圆的方程圆的定义:与定点的距离等于定长的点的轨迹。 1.圆的标准方程:(x-x_0)~2+(y-y_0)~2=r~2,     

切割弦定理有妙用

平面几何中有切割弦定理:如图,圆O的切线PA(A为切点)与割线PBC满足关系PA2=PB·PC. 该定理在不等式求最值、求轨迹方程等方面有许多巧妙应用,如均值定理(a b)/(2)≥(ab)(a,b>0)的证明:在上图中割线PBC过圆心O时,设PB=a,PC=b,则PO=(a b)/(2),由切割弦定理PA=(ab),显然PO>PA,再结合a=b有(a b)/(2)≥(ab). 再举几例:     

考虑不周难免出错

许多中考数学试题 ,看似不难 ,但如果考生掌握知识不全面或考虑问题不周全 ,就很容易答错 .例 1　两圆直径分别为 4和 6,圆心距为5 .则两圆的位置关系是 .评析 :有的同学未认真审题 ,误把“直径”当作“半径” ,由R +r =10 >5 ,得出两圆相交的错误结论 .正确解答是 :由R +r =2 +3 =5 ,知两圆相外切 .例 2　若 a+b4b与 3a +b是同类二次根式 ,则a、b的值是 (　　 ) .(A)a =0 ,b =2(B)a =1,b =1(C)a =0 ,b =2或a =1,b =1(D)a =2 ,b =0评析 :部分同学对同类二次根式的概念模糊 ,错误地去解方程组a +b =2 ,4b =3a +b .得a =1,b =1.从而得出选 …     

巧妙构圆 简捷求解

在解有关解析几何问题时,可先根据题设条件,构造一个辅助圆,然后运用平几中有关圆的特性将问题转化,使其获得简解·【例1】已知圆O:x2+y2=R2及圆外一点P(a,b),过点P作圆O的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,求直线AB的方程·分析:以P为圆心,以PA为半径构造一个圆,可将问题转化为求两圆的公共弦方程,从而简便求解·如图,由切线长定理及切线的性质得PA=PB,且|PA|2=|PO|2-|OA|2,于是以P为圆心,以PA为半径的圆方程:(x-a)2+(y-b)2=a2+b2-R2,①它与已知圆O:x2+y2=R2,②交于A、B两点·故由①—②得ax+by-R2=0,即为所求直线AB的方程·…     

合理利用圆方程 巧解中考压轴题

<正>在平面直角坐标系内,若点P(x,y)在以点A(a,b)为圆心、r为半径的圆上,则可得到(x-a)2+(y-b)槡2=r,从而(x-a)2+(y-b)2=r2,此即⊙A的方程.尽管圆的方程是高中数学中解析几何的内容,"圆的方程"的概念,初中生不是很明确,但其得到的方式却易于接受:结合"点在圆上等价于点到圆心距离等于半径"和"坐标平面内两点间的距离公式"得到.一些中考压轴题,如果利用"圆的方程"求解,不仅流畅清晰,而且非常简约.