重视一题多解教学,培养创新精神

一、在例题解法分析过程中培养学生思维能力和创新精神对于某些例题可以从不同的角度进行探讨 ,给出多种解法 ;变通思路 ,发散思维。例１、如图 ,点Ｐ是△ＡＢＣ内的一点 ,连结ＡＰ、ＢＰ,已知∠１＝３０°，∠２＝２５°，∠Ｃ＝７０°求∠ＡＰＢ的度数。（１）利用三角形的外角性质分析（图１）延长ＡＰ交ＢＣ于点Ｄ,则∠ＡＰＢ是△ＢＤＰ的外角 ,因此∠ＡＰＢ＝∠２+∠ＰＤＢ，∠ＰＤＢ＝∠１+∠Ｃ ,所以∠ＡＰＢ＝∠２+∠１+∠Ｃ。解法一 :利用三角形的外角性质（图１） ,延长ＡＰ交ＢＣ于点Ｄ。∵∠ＰＤＢ＝∠１ +∠Ｃ，∠ＡＰＢ＝∠２…     

关于Whc175的一个猜测

文［１］中Ｗｈｃ１７５提出了以下问题：Ａ′、Ｂ′、Ｃ′、Ｄ′是四边形ＡＢＣＤ的内接四边形ＰＱＲＳ的各边中点,问ＡＡ′、ＢＢ′、ＣＣ′、ＤＤ′共点的充要条件是什么？ 文［２］对三角形中的类似问题给出了一个一般结论。本文将给出四边形ＡＢＣＤ为平行四边形时,ＡＡ     

三角形内角和定理及推论的应用

《几何》第二册《三角形》一章§３．３介绍了三角形的内角和定理及其三个推论，它们是这一章的基础知识，利用它们可以解决许多几何问题．一、证角相等或不等例１如图１，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ．求证：∠Ａ＝∠ＢＣＤ．证明∵　∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠Ａ＝９０°∠Ｂ．∵ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ，∴　∠ＣＤＢ＝９０°．∴∠ＢＣＤ＝９０°－∠Ｂ．∴∠Ａ＝∠ＢＣＨ．例２如图２，已知Ｐ是△ＡＢＣ内一点．求证：∠ＢＰＣ　∠ＢＡＣ．证明延长ＣＰ交ＡＢ于Ｄ．ＺＢＨＣ是否ＡＣＤ的一个外角，ｒｔＢＤＣＭＭＢＡＣ．ｚＢ…     

根据角平分线条件构建全等三角形

几何题中有不少问题的证明都是通过全等三角形来实现的．这里，如何构造全等三角形自然成为解决问题的关键．本文就角平分线条件构建全等三角形谈些思路．思路Ｉ过已知边上一点作角平分线的垂线，延长此垂线段与另一边相交得全等三角形，例１如图１，在西△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝３∠Ｃ，∠Ａ的平分线为ＡＤ，ＢＰ⊥ＡＤ，Ｐ是垂足．求证：ＢＰ＝１／２（ＡＣ－ＡＢ）．证明延长ＢＰ交ＡＣ于Ｑ．∵ＡＰ平分∠ＢＡＣ，且ＡＰ⊥ＢＱ，∴Ｒｔ△ＡＰＢ≌Ｒｔ△ＡＰＱ．∵∠１＝∠２，∴∠ＡＢＣ＝∠１＋∠３＝∠２＋∠３＝（∠３＋∠Ｃ）＋∠３＝…     

g-u线与一个新定理的再推广

文［１］得到一个新定理：定理１　如图１,△ＡＢＣ各角顶点与对边三等分点的连线中,相邻两条连线分别交于Ｐ、Ｑ、Ｒ,则△ＰＱＲ∽△ＡＢＣ,且相似比为１∶５．这个定理类似莫莱定理,文［２］将它推广为：定理２　如图１,△ＡＢＣ各角顶点与对边ｎ等分点的连线中,相邻两条连线分别交于Ｐ、Ｑ、Ｒ,则△ＰＱＲ∽△ＡＢＣ,且相似比为（ｎ－２）∶（２ｎ－１）．．ＢＣＤＦＥＯＰＴ图２ＡＡＢＱＰＲＣ图１定理１与２同属离散型,本文将再推广为连续型———定理３,特仿文［３］,先作如下规定：定义１　如图２,在△ＡＢＣ中,ＢＣ＝…     

勾股定理与出入相补原理

勾股定理是指:“在直角三角形中,勾方+股方=弦方”。“勾”“股”均是直角边,大者为“股”,小者为“勾”。西方称“毕达哥拉斯定理”。是希腊几何学家毕达哥拉斯于公元前540年发现的,相传毕氏学派宰牛一百头以示庆祝,其证明已经失传,现今西方最早的证明是由公元前300年希腊几何学家欧几里得在《几何原本》中给出的。我国最早记载见于《周髀算经》,其中周公与商高问答中“勾三、股四、弦五”是勾股定理的特例,而陈子与荣方的问答中“勾股各自乘,并而开方除之”则是定理的一般情况。商高与周公是公元前十     

利用面积巧解题

分析这道题的常规解法是通过相似三角形对应边成比例，求出ＡＤ的长，再用勾股定理计算出ＣＤ来．倘若利用三角形面积公式解这道题，既简捷又明快．解在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理得例２如图２，已知ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０，ＢＣ＝１６，Ｐ为ＢＣ上任一点，ＰＤＡＢ，ＰＥＡＣ，垂足分别为Ｄ、Ｅ．试求ＰＤ＋ＰＥ的值．解过Ａ作ＡＭＢＣ，垂足为Ｍ，连结ＡＰ．由评析通过这道题的解，我们发现利用面积解题，确实给人以耳目一新之感．例３如图３，已知ＢＤ、ＣＥ是否ＡＢＣ的两条高．求证：ＡＢ·ＣＥ＝ＡＣ·ＢＤ．分析这道题的常规解…     

线段比例中项问题的证法探讨

证明线段比例中项是平面几何中常见的问题 .研究此类题的证法 ,有利于培养学生分析问题和解决问题的能力 ,使学生积累一定的技巧和方法 ,提高解题的速度和质量 .现介绍几种证法供读者参考 .1　直接证三角形相似当所证的比例线段 ,分别是两个三角形的对应边时 ,可通过证三角形相似证明 .例 1　已知两圆内切于点Ｐ ,大圆的弦ＡＢ切小圆于Ｃ ,ＰＡ、ＰＢ交小圆于Ｅ、Ｆ .求证 :ＰＣ2 =ＰＥ·ＰＢ .分析 :ＰＣ、ＰＥ在△ＰＣＥ中 ,ＰＢ、ＰＣ在△ＰＢＣ中 .考虑证△ＰＣＥ∽△ＰＢＣ .图 1证明 :如图 1 ,过点Ｐ作两圆的公切线ＰＤ ,则∠ＰＥＣ =…     

对一个有趣性质的再探讨

文［１］给出了双曲线的一个有趣的性质：给定双曲线，Ｐ１是Ｃ上不 在顶点的任一点，Ｐ１Ｐ２是Ｃ的垂直于ｙ轴的弦，Ｍ１（０，－ｂ）、Ｍ２（０，ｂ）是Ｃ虚轴上的两个端点，则直线Ｐ１Ｍ１与Ｐ２Ｍ２的交点Ｐ仍在Ｃ上．此性质表明Ｐ１Ｍ１与Ｐ２Ｍ２交点Ｐ的轨迹是双曲线．若Ｐ１Ｐ２是Ｃ的垂直于ｘ轴的弦，Ｍ１（－ａ，０）、Ｍ２（ａ，０），此性质的其它条件不变测点Ｐ的轨迹是否也是双曲线呢？探讨如下： 设Ｐ１（ｘ０，ｙ０）是Ｃ上任一点，则Ｐ２（ｘ０，－ｙ０）． 直线Ｐ１Ｍ１方程为 直线Ｐ２Ｍ２方程为 ｖ＝ｔＸＱＪ．ｔＺ］…     

三棱柱内接平行六面体的一个性质及其应用

文［１］给出了三角形内接平行四边形的两个性质定理,笔者发现很容易将其移植到空间中去．为了便于说明,先将文［１］中两个定理抄录如下：定理１　△ＡＢＣ中,Ｄ为ＢＣ上一点,Ｅ、Ｆ分别在ＡＣ、ＡＢ上,且ＤＥ∥ＡＢ,ＤＦ∥ＡＣ,分别记△ＢＦＤ、△ＣＥＤ、ＡＦＤＥ、△ＡＢＣ的面积为Ｓ１,Ｓ２,Ｓ′,Ｓ△,则（１）Ｓ′＝２Ｓ１Ｓ２;（２）Ｓ△＝（Ｓ１＋Ｓ２）２．（图１）定理２　△ＡＢＣ中,四边形ＤＥＦＧ为内接平行四边形,分别记△ＡＤＥ、△ＢＤＧ、△ＥＦＣ、ＥＦＧＤ、△ＡＢＣ的面积为Ｓ１,Ｓ２,Ｓ３,Ｓ′,…     

圆中三弦扫描掠影

在圆中 ,不少命题的证明都涉及到相交弦、平行弦和公共弦 ,因此构造三弦是我们解决与圆有关命题的有效途径之一 .如果构造得恰当 ,它既可以传递弧、弦、角之间的数量关系 ,又可直接应用圆中的有关定理 ,从而使我们需要解决的问题获得圆满解决 .下面分类举例说明构造三弦的方法及其应用 .一、构造相交弦例 1　如图 1 ,已知 :ＡＥ为△ＡＢＣ外接圆Ｏ的直经 ,交ＢＣ于Ｄ .求证 :ＡＤＤＥ=ｔｇＢ·ｔｇＣ .证明 :过Ａ作ＡＫ⊥ＢＣ ,垂足为Ｋ ,并延长交⊙Ｏ于Ｆ ,连结ＥＦ .在Ｒｔ△ＡＢＫ和Ｒｔ△ＡＣＫ中 ,由锐角三角函数得ｔｇＢ =ＡＫＢＫ ,…     

三角形内的点到三顶点距离和的上界

众所周知 ,费马 (Ｆｅｒｍａｔ)点是三角形内的点到三角形各顶点的距离之和取最小值的点 .该点与三顶点相连 ,每两条连线所夹的角为 12 0° .那么 ,三角形内的点到三角形各顶点的距离和有没有最大值点呢 ?我们的回答是否定的 .这可由后面一不等式看出来 ,但我们可以给出三角形内的点到三角形各顶点的距离和的最佳上界 .顺便 ,根据其独特的方法 ,我们还获得了Ｋｌａｍｋｉｎ不等式的一个另证及一个加强不等式 .　　　　　图 1定理 1　△ＡＢＣ中 ,ＡＢ≥ＢＣ ≥ＣＡ ,Ｐ是△ＡＢＣ内任一点 ,则ＰＡ ＰＢ ＰＣ <ＡＢ ＢＣ .证明　如图 ,Ｐ是△…     

挡光板的最小宽度能这样求吗？

［问题］如图１所示，有一竖直放置的平面镜ＭＮ，在平面镜前４５ｃｍ处有一与平面镜平行放置的平板ａｂ，在ａｂ靠镜的一侧有一点光源Ｓ，现要在离平面镜５ｃｍ的虚线ＰＱ上的某处放上一平行于平面镜的挡光板，使反射光不能照射到ａｂ板上的ＡＢ部分，已知：ＳＡ＝４５ｃｍ，ＡＢ＝４５ｃｍ，求挡光板的最小宽度是多少？ 分析：设有一束光从Ｓ发出，经平面镜上Ｑ１Ｑ２段反射后，恰好能照射到ａｂ上的ＡＢ部分，ＳＱ１、ＳＱ２、Ｑ１Ａ、Ｑ２Ｂ是这束光的边界光线，分别交虚线ＰＱ于四点Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３，Ｐ４．通常认为，只要在Ｐ３Ｐ２…     

正三角形的又一性质

正三角形的又一性质兰州师专温传校引理正三角形外接圆上的任一点到它的三顶点的连线段的平方和为一定值。已知：如图（１），ΔＡＢＣ是正三角形，Ｐ是它的外接圆⊙Ｏ上的任一点，⊙Ｏ的半径为Ｒ。求证：ＰＡ２＋ＰＢ２＋ＰＣ２为一定值。证明：连接并延长ＢＯ交ＡＣ于Ｄ...     

与P＋3Q≥R等价的三角形不等式链

笔者曾建立“Ｐ—Ｑ—Ｒ”法，借以证明研究一类不等式，尤其是研究三角形不等式［１］［２］，张瑞蓉老师在研究该方法的基础上，得到了如下定理［３］： 本文提出与Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ等价的四个三角形不等式链：（Ⅱ）、（Ⅲ）、（Ⅳ）、（Ⅳ）． 定理１ａ，ｂ．ｃ为△ＡＢＣ三边，则注意到（ｂ＋ｃ—ａ）＝Ｐ—２Ｑ＋Ｒ，此时，定理 １不等式链（Ⅰ），又可写成为（Ⅱ）： 定理 ２在△ＡＢＣ中，有 ３（－Ｐ—２Ｑ＋Ｒ）≤－Ｐ＋Ｒ ≤（－ Ｐ＋ ６ Ｑ＋ Ｒ） ≤３Ｑ＜Ｐ＋６Ｑ—Ｒ，（Ⅱ） 显然，（Ⅱ）包含的 １０个不等式均可化为 Ｐ＋３Ｑ …     

证明线段等积式常用方法举隅

初中平面几何中关于证明线段等积式的问题 ,是常见的一种题型 ,它是教学的一个重点．现举例介绍八种常用方法．一、利用平行线分线段成比例定理例１ 如图（１） ,ＡＤ是△ＡＢＣ的∠Ａ的平分线 ,交ＢＣ于Ｄ点 ,求证ＡＢ·ＤＣ＝ＢＤ·ＡＣ．ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．四、利用射影定理例４ 如图（４） ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ＝ＡＣ ,以ＡＢ为直径作圆交ＢＣ于Ｄ ,Ｏ是圆心 ,ＤＭ是⊙Ｏ的切线交ＡＣ于Ｍ ,求证ＤＣ２ ＝ＡＣ·ＣＭ．思路分析 :证明△ＡＤＣ是Ｒｔ△ ,并且ＤＭ⊥ＡＣ ,就可利用射影定理证得结论．五、利用圆幂定理例５ 如图（５…     

成果集锦

成果集锦编者按本刊１９９７年第１～２期发表了赵临龙老师推广斯坦纳关于“三角形具有等平分线的角对等边”的定理作出的如下猜想（以下简称赵－猜想）：图１在△ＡＢＣ中,等长分角线ＢＤ、ＣＥ交于Ｐ,延长ＡＰ交ＢＣ于Ｑ（图１）．１．若ＡＢ·ＰＣ＋ＡＣ·ＰＢ,则Ａ...     

正弦定理面面观

正余弦定理是三角中非常重要的公式,它们具有广泛的应用,故值得我们研究和总结．为此,文［１］对余弦定理作了多方位探讨．本文再给出正弦定理的别证、变式及应用,供读者参考．正弦定理　在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且等于外接圆的直径,即ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ＝２Ｒ．１．定理的证明教材中是运用三角形的面积公式Ｓ△＝１２ａｂｓｉｎＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ＝１２ｃａｓｉｎＢ来证明的,除此之外我们可利用几何法构造直角三角形或利用余弦定理来证明．证明：如图１,在△ＡＢＣ中,作ＣＤ⊥ＡＢ,…     

利用底角和顶角的关系解题

根据等腰三角形的两个底角相等及三角形内角和定理，我们可以推出等腰三角形的底角α和顶角β有如下关系：α＝９０°一１／２β．对于一些与等腰三角形内角有关的几何问题，利用这一关系，可取得意想不到的效果．例１如图１，在西ＡＢＣ中，ＡＣＢ＝７０°，ＡＣ＝ＢＣ，点Ｐ在ＡＢＣ的外部，且与点Ｃ均在ＡＢ同侧．若ＰＣ＝ＢＣ，求ＡＰＢ．例２如图２，已知ＡＢＣ＝１００°，ＡＭ＝ＡＮ，ＣＰ＝ＣＮ，求ＭＮＰ．解在ＡＭＮ和ＣＰＮ中，例３如图３，在ＨＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＡＢ上一点，延长ＣＡ到Ｅ，使ＡＥ＝ＨＤ，延长ＥＤ交ＢＣ…     

水中鱼的虚像在鱼的正上方吗？

在初中物理教师的继续教育教学活动中，不少人提出这样一个问题：在岸边看水中的鱼，鱼的虚像是在鱼的正上方，还是在斜上方呢？有的文章［１］图中显然是画在正上方的，这是一个不容忽视的误解． 为了解决这个问题，首先作出图Ｏｘ表示两种介质的分界面，两种介质折射率分别为ｎ１、ｎ２、Ｓ是光源，入射点 Ａ、 Ｂ间距很小，设 ＡＢ＝ ｄｘ，入射点在 Ａ、 Ｂ之间的光线经折射后，其反向延长线近似交于Ｓ’，与Ｙ轴交于Ｐ、Ｐ’，可以证明Ｓ’的坐标是［２］： 消去两式中的ａ，得到Ｓ’的轨迹方程 将轨迹方程画出，如图２所示的曲线ＥＭ…