利用向量与复数巧解旋转问题

复数z=a+bi(a、b∈R)与复平面上的点Z(a,b)一一对应,而点Z(a,b)与向量OZ一一对应,可以将Z(a,b)和OZ都看成是复数z=a+bi的几何形式.从向量的发展历史来看,向量能够进入数学并得以发展,复数在其中出力不少.复数几何表示的提出,既使得"虚幻"的复数有了实际的模型,不再虚幻;又使得人们在逐步接受复数的同时,学会利用复数来表示和研究平面中的向量,向量从此得到发展.发展至今天的向量,如果与复数再度携手,又能在哪些方面有所作为呢?     

从一道书后习题的错解谈复数几何意义的应用

复数的几何意义是复数教学中的重点,也是难点．复数的几何意义主要有以下几个方面：复数的几何形式（用点z（口,b）表示复数）,复数的向量形式（用向量OZ→表示复数）,复数加减法的几何意义及复数模的几何意义．复数的几何意义与向量和解析几何联系紧密,其中蕴涵了丰富的数形结合的思想,它为我们用复数方法解决几何问题,或用解析几何方法解决复数问题创造了条件。     

成题改编--移植转换

对一道感兴趣的题目,抓住其内容实质或解法关键,然后转换它的学科形式得出新题,这就是成题改编中的移植转换技术.如形与数的相互转换,代数形式、几何形式与三角形式、复数形式、向量形式、坐标形式等的相互转换.     

高考中复数问题的分类与解题启示

考纲对复数的考查基本如下：理解复数的基本概念、复数相等的条件;了解复数的代数表示法和几何意义（复平面）;会进行复数代数形式的四则运算,并懂得加、减运算的几何意义（复平面）等.下面谈谈高考复数试题的考查重点和命题意图.1对复数相关概念的直接考查这类题目在高考中出现的频率不低,一般涉及实数、复数、虚数、复数的模、共轭复数等概念及实数、复数、虚数三者与复数代数表达式的关系,属于基本简单题型,教师要向学生强调发掘题目条件的关键“字眼”。     

复平面向量旋转的几何意义及其应用

复平面向量旋转的几何意义及其应用郭树明在复平面上，复数加减法的几何意义与对应向量的加减是相一致的，但复数乘除法的几何表示却并不遵循向量乘除法的规律。这是由于复数乘除法有着自身的特点及性质（有别于向量乘除法的规则），而这些性质又决定了复数乘除法的几何含...     

复数向量表示法在解题中的应用

高中代数必修本下册《复数》一章，在完成复数集的扩张后，给出了复数的向量表示形式。复数的向量表示，从新的途径沟通了数与形的联系，它不仅为同学理解、运用复数运算的几何意义奠定了基础，也为研究解决某些数学问题提供了新的思路和方法．这里，紧扣教材，从五个方面来探讨复数向量表示法在解题中的应用．一、运用复数向量表示法求轨迹在直角坐标平面和复平面上，同样用数研究形，有时使用复数更为方便．尤其是涉及对象可直接施行向量加减法来简化计算及与旋转有关时，使用复数的向量表示来解答更为简捷．例1如图所示，B为单位圆上的…     

灵活运用复数的整体形式解题

一、复数的五种形式 1.复数的整体形式— 2.复数的代数形式— 3.复数的三角形式—为辐角主值);a+bi(a,b〔R);y(。050+isin口):(y>0,0 4.复数的向量形式—02; 5.复数(在复平面上)的点的形式—(a,b),(a,b〔R). 事实上复数的第六种形式是指数形式—。口,但是中学阶段没有学习这部分内容. 二、复数整体运算常用的公式和真命题 1.公l+22二:一+:2:2 .2一:2二z:一22;3.—一_l才:、言.-二__公r’z,=万一名,;斗.1—!二一书〕.ZJ二l二l一盆0.2+之 、221:2=ZR‘:),(二加:的共扼复数等于其实部的二倍);7.:一:=i,2I(:),(:减:的共扼复数等于虚数单位‘…     

关于复数的辐角主值

任意一个复数z=a bi(a、b∈R)都与复平面内以原点O为始点,复数z在复平面内的对应点Z为终点的向量一一对应.复数的辐角是以x轴的正半轴为始边,向量OZ所在的射线(起点是O)为终边的角θ.任     

复数对应的点的平移与复数对应的向量平移--一类复数问题的错误解法剖析

在复平面内相同的向量表示相同的复数,因此当复数对应的向量平移后它所对应的复数不变,但是在平时的教学中许多学生对此未给予足够的重视而常常犯一些错误,其主要原因是没有弄清楚复数对应的点的平移与复数对应的向量平移的区别.     

复数在三角中的应用

复数的表示形式有:代数形式、三角形式、指数形式、还可以用平面几何中向量来表示,因此它在三角、几何中有广泛的应用,下面通过几个例子介绍复数在三角中的一些应用:     

应用复数知识巧解几何题

在解析几何的实平面上,用坐标法可研究几何问题,这是数形结合的一种形式;同样,在复平面上,因为点、点的坐标、点所对应的复数向量之间都建立了一一对应关系,所以复平面上的坐标法可用复数或向量形式来体现,这是数形结合的又一种形式。灵活运用复数知识求解涉及点的位置及研究几何图形性质的某些问题,较“常规”方法显得新颖、简便O现举例说明如下：一、来点的坐标例及、已知在第一象限内有一个正三角形,其两个顶点分别为己门,0）、ZZ（2,l）,求此三角形的第三个顶点坐标。分析：这是一个解析几何问题,如果设第三个顶点坐标为…     

试论点平移与向量平移的区别

<正> 我们知道,在复平面内相同的向量表示相同的复数,因此当复数对应的向量平移后,它所对应的复数不变.但是许多学生对此未给予足够的重视而常常犯一些错误,其主要原因.是没有弄清楚复数对应     

恰当使用复平面,简化计算过程

在学习复数这一章,“复平面”是一个很重要的数学概念.在“复平面”内,复数 x=a bi(a、b∈R),点Z(a、b)向量(?)建立了一一对应关系,因而对同一数学问题可以从数、点、向量几个方面观察思考,选择解决问题的最佳方式.“复平面”是向量平移,旋转等几何性质一展身手的好场所,恰当使用“复平面”,“数形结合”,常常可以简化     

复数三角形式的教学体会

在学习复数时,我们知道复数有如下几种表示方法:几何表表示法(点、向量)、代数形式表示法、三角形式表示法、指数表式表示法。在这四种表示方法中,我认为复数的三角形式比较重要,同时它也是整个复数教学中的难点、现根据自己的体会,谈谈在复数三角形式教学中应突出的重点、难点。     

复平面上的圆的方程

在复平面上,任意一点(x,y)可用复数z=x iy表示;反之,任意一个复数z=x iy亦表示复平面上的一个点(x,y)。复数与复平面上的点之间建立了一一对应关系。同样,从原点O到复数z=x iy所引的向量与这复数Z也建立一一对应关系。为了方便,我们将“复数”、“点”与“向量”不加区别。     

复数对应的点的平移与复数对应的向量平移有何区别——一类解复数问题的错误解法剖析

我们知道在复平面内相同的向量表示相同的复数 ,因此当复数对应的向量平移后它对所应的复数不变 ,但是在平时的教学中许多学生对此未给予足够的重视而常常犯一些错误 ,其主要原因是没有弄清楚复数对应的点的平移与复数对应的向量平移有何区别 ,试比较下面两个问题 :例 1　设复数ｚ在复平面内对应的点为Ｚ ,将点Ｚ绕坐标原点逆时针方向旋转 π4 ,再沿实轴正方向平移 1个单位 ,得到点Ｚ1,若点Ｚ1与点Ｚ重合 ,求复数ｚ .解　由题意可得ｚ(ｃｏｓπ4 ｉｓｉｎ π4) 1=ｚ,解得ｚ=- 22 2 22 ｉ.例 2　设向量ＯＺ(Ｏ是坐标原点 )对应的复数为ｚ…     

复数考点聚焦与题型分类研究

一、考点聚焦与预测复数是代数的重点内容之一,是中学数学重要的基础知识,且涉及的知识面广,对能力要求较高.因而在历年高考数学试题中占有相当大的比重,是高考的热点之一.复数考查的主要知识点有:复数的有关概念,复数的向量表示,复数的加法与减法,复数的乘法与除法,复数的三角形式及其乘法、乘方、除法、开方,复数的模与辐角主值的概念及共轭复数的运算性质.纵观近几年的高考试题,在“复数”的考查中体现了数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想,以及待定系数法、换元法、消元法等基本方法.复数的有关概念,代数式与三角式的互化,复数三角形式的乘、除、乘方、开方运算仍是考查的重点所在.同时,复数方程和有关复数几何意义的问题也值得注意.二、重点题型的分类研究1.考查基础知识题型:考查的重点是复数的有关概念,复数相等的充要条件及运用,复平面的有关概念,复数的三角形式,模与共轭复数的概念以及复数辐角主值等.     

复数的三种形式和解题的四种思路

在中学,复数 z 有三种表示形式:代数形式(z=α bi,其中,α,b∈R),三角形式(z=r(cosθ isinθ),其=中 r>0)与几何表示(复数 z=α bi 与复平面内的点Z(a,b)或向量■一一对应),因此,在解决复数问题时,就可以利用复数的代数表示、三角表示或几何表示中的一种加以解决.在某些问题中,把复数 z 看作一个整体加以处理,也是一种思路.总之,在解决复数问题时,有上述四种解题思路,其中前三种是常用的.问题的关键之一是恰当的选择复数 z 的某种表示,从而可以优化解题过程.下面举几个例子说明.     

初中英语中的"主谓一致"

“主谓一致”指谓语动词的形式必须与主语人称及数量保持一致,即:主语用单数时,谓语动词用相应的单数形式;主语为复数时,谓语动词用相应的复数形式。一般的单数动词指is、was、has及实义动词的第三人称单数形式;复数动词指are、were、have及实义动词原形。如:He has a pear.They have some pears.但有如下特殊情况需要特别注意。1.当表时间、长度、距离、金钱、度量等词组,以及表国家、城市、人名、书名、报纸、杂志及组织机构等专用名词作主语时,通常看作一个整体,谓语动词用单数。有些看似复数形式的词如news、maths、physics等作主语表…     

复数的几何意义及其应用

复数的几何意义及其应用武威市二中刘汉兴复数的基本几何意义（或转化形式）如图（１），设复平面内的点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ表示的复数分别为ｚ１、ｚ２、ｚ３、ｚ４，∠ＣＡＢ＝θ。１°向量平移。相同的向量表示相同的复数。如。２°距离计算。复平面上任意两点间的距离等于...