一道数学竞赛题的解法

2006年全国初中数学竞赛预赛暨2005年山东省初中数学竞赛刚刚结束，其中第13题是这样的：     

一道竞赛题的简单解法

2002年全国高中数学联赛二试第二题如下: 实数a,b,c和正数λ使得f(x)=x~3+ax~2+bx+c有三个实根x_1,x_2,x_3,且满足(1)x_2-x_1=λ;(2)x_3>(1/2)(x_1+x_2),求(2a~3+27c-9ab)/λ~3的最大值. 标准答案计算较繁,思路隐晦曲折,不易想到,今给出更直接更简单的解法.     

一道竞赛题的多种解法

有一道2005年全国初中数学竞赛题，本文列举了它的几种解法，以启发同学们的解题思路．[第一段]     

一道竞赛题的思考

2002年的一道省初三数学竞赛题:已知:如图1,在矩形 (1)如图2标出乙1,艺2,当匕1和乙2中有一个是直角,另一个是任意角时,不妨设匕1为直角,则S二曰今B Xl二1.1M1MK毛MN中有两个一条边长为1的平行四边形,则它们的公共部分(即阴影部分)的面积是() A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.小于或等于1讯‘嚷{L‘~-一‘‘J公‘习M豁图1 这道题激发了许多教师的兴趣,引起了一番热烈的讨论,看法各异,归纳之有下列几种情况: 1.认为公共部分的面积(用S表示,下同)是个定值,与两平行四边形都是矩形时的公共部分面积相同,故S“1,应选B. 2.认为平行四边形八月CD…     

一道全国竞赛题的多种解法

20 0 1年全国高中数学竞赛第一试第 11题为 :函数 y =x + x2 - 3 x+ 2的值域为.下面提供五种解法 ,以飨读者 .解法 1　移项得 y- x=x2 - 3 x+ 2 ,上式等价于 (y- x) 2 =x2 - 3 x+ 2 ,y- x≥ 0 .12由 1得 x=y2 - 22 y- 3 ,代入 2得 y- y2 - 22 y- 3≥ 0 ,即 (y- 1) (y- 2 )2 y- 3 ≥ 0 ,解得 1≤ y<32 或y≥ 2 .故原函数的值域为 [1,32 )∪ [2 ,+∞ ) .解法 2　原函数式可变形为 y=x+(x- 32 ) 2 - 14,∵ x2 - 3 x+ 2≥ 0 ,∴ x≤ 1或 x≥ 2 .令 t=x- 32 ,则 t≤ - 12 或 t≥ 12 ,y=t+ 32 + t2 - 14.当 t≥ 12 时 ,y是 t的增函数 ,当 t=12时 ,…     

一道竞赛题的多种解法探讨

<正> 2002年北京市中学生数学竞赛初赛有如下一道试题: 若关于x的不等式|x-1|>1/2x2-a仅有负数解,试确定实数a的取值范围. 这里给出如下几种解法. 解法1 直接求根. 由于不等式仅有负数解,故存在x<0,使得不等式|x-1|>     

从一道竞赛题谈起

第一届数学奥林匹克国家集训班选拔考试暨第四届“祖冲之”杯初中数学邀请赛都有这样一道试题: 题目:正方形ABCD边长为1,AB、AD上各有一点P、Q.如果△APQ的周长为2,求∠PCQ的度数. 解:将△CDQ顺时针旋转90°使CD与CB重合,则Q点落在AB的延长线上,记此点为E.过C作PQ的垂线,垂足为F.显然Rt△CDQ≌Rt△CBE,于是EB=DQ.由AP+AQ+PQ=2知PQ=2-AQ-AP=(1-AP)+(1-AQ)=BP+DQ=BP+EB=EP.     

从一道竞赛题的解法谈起

08年的江苏省数学竞赛预赛,有一题如下：