一道体现多种数学思想的不等式问题

在学习均值不等式内容时，经常遇到这样一道题，“已知x〉0，y〉0，2x＋y=1，求1/x＋1/y的最小值．”它很简单，但仔细推敲，会找到多种解法，体现了多种数学思想，下面给出此题的各种解法，供大家参考．     

一道最小值试题的多角度审视

题目 已知x＋2y＋3z=1，则x^2＋y^2＋z^2的最小值为____． 分析：此题是我校一次高考训练的一道填空题，此题属多元函数求最小值问题，有一定的难度，得分率很低，绝大部分学生找不到方法．鉴于此，笔者对此题进行了一次多角度审视，给出多种解法，希对同行南所启示：     

由一道试题的“错解”所引起的思考与反思—均值不等式的应用与分析

我校高二级这次月考数学第（18）题是：已知x,y都是正数,且1/x＋4/y=1,求x＋y的最小值。据笔者阅卷统计约有95％的学生的解答如下：解法1：∵x〉0,y〉0,∴1=1/x＋4/y≥4/√xy即√xy≥4 ①.∴x＋y≥2√xy≥8 ②.即x＋y的最小值是8。     

这样的一节课算成功吗？

笔者在讲解普通高中数学课程标准实验教科书（必修五）中的“基本不等式的应用”这一节中,有一道课后练习题（96页第13题）如下： 【例1】已知正数x,y,满足x＋2y=1,求1/x＋1/y的最小值．     

一道习题的探究与推广

这是一道散见于各种数学参考资料的习题:设题：设x，y，。，bER＋，且x＋y一1，求于十“的最小值．其解法大约有十余种，其中较精彩的解法如下：其中等号成立的充要条件是。…且十一的最小值为（N＋／了）’．1探究我们把问题稍作改动：已知x，y，a，heR＋，nx＋y一l，求三十b，—·一＿guw，I＼1目．y。‘‘，．，。‘n。aba（x＋a）思考：仿上解法三十头一二二个L＋xy”x”无法做下去，该思路是否就此中断，如此妙法，中断实属可惜，能否对此方法作些调整？我们经过再思考，发现此法不仅能实施下去，而且可把结果推广到一般情形．解法…     

引入参数巧求最值

问题：求函数y=sinx/2＋1/sinx（0〈x〈π）的最小值． 分析：这是一道在各种杂志复习资料中经常见到的题目．拿到此题由思维定势,很容易想到：     

引入参数巧求最值

问题：求函数y=sinx/2＋1/sinx（0〈x〈π）的最小值． 分析：这是一道在各种杂志复习资料中经常见到的题目．拿到此题由思维定势,很容易想到：     

一道不等式证明题的几种证法

在学习不等式的解法和证明这一部分时,有这样一道例题: 已知:x＞0,y＞0,x 2y=1,求证:1/x 1/y≥3 2√2. 在该题的教学中,学生思维特别活跃,一题多解,竞相发言,课堂气氛高潮迭起.下面是一位同学课后根据课堂讨论情况整理的笔记,他对该题的解法进行了总结.     

抛物线定长弦问题的再讨论

一、问题再现已知长为2的线段AB的两个端点在抛物线y=x²上滑动,求AB的中点M到x轴的距离的最小值及中点M的坐标.这是一道典型的抛物线的定长弦问题,下面笔者就这道题的解法及此类问题的一般结论谈点拙见,不当之处,望各位不吝赐教.二、问题解法分析1:考虑到线段AB是动态的,而点M到x轴的距离就是它的纵坐标,于是有如下方法.     

结识“换元法”,学会简洁表达

进入初中后,老师常常要求我们表达要简洁,说数学追求简洁,我一直也没当一回事,以为只要运算正确就行了.但是,在＂代数式＂的作业中碰到一道练习,让我改变了这一想法.题目将（2x＋y）看成一项,找出代数式-2（2x＋y）21-（2x＋y）＋2（2x＋y）2＋（2x＋y）-52中的同类项并化简.这道题的字母＂很多＂,刚开始我的解法是：     

两道最值问题的统一解法

题1 若x、y满足x2-3xy y2=2则x2 y2的最小值为_____. 题2 已知x2 y2-xy=1求x2-y2的范围. 这两道题是本刊2002年3月号《谈谈求最值问题》中所举的两个例题,笔者在研究性学习中对这两题进行了研究,在此提出自己的解法和想法,望老师、同学们指教.     

一道最值题的错解剖析及五种正确解法

苏州大学《中学数学》编辑部编写的《高三数学教学与测试》(上册、95版)第47节“不等式的应用”中有这样一道求最值的题:“已知正数x,y满足x 2y=1,求1/x 1/y,的最小值”。此题虽小,但思路宽,解法多,不失为一道好题,我校在使用该书时,从学生作业中发现几种典型的错解,同时也有几种巧     

引入参数证明不等式

问题 设a、b为正常数,x、y为正变数,且a/x b/y=1,求x y的最小值.贵刊1993年第1期《每期一题》中,对本题曾给出七种巧妙解法,下面我们通过引入参数,给出一种新颖别致的解法.     

2022年新高考数学Ⅱ卷第12题探究

<正>2022年新高考数学Ⅱ卷第12题是一道结构对称优美、解法灵活多样、有探究价值的条件不等式问题.该题作为一道多项选择题,极富数学思维价值和数学探究价值.因此,本文拟对这个问题从思路分析、推广等角度作一些探究.题目 (多项选择题):若实数x,y满足x²+y²-xy=1,则( ).A.x+y≤1 B.x+y≥-2C.x²+y²≤2 D.x²+y²≥1一、思路分析思路1:(特殊值法)由于x,y成轮换对称,因此可令x=y,     

一道"希望杯"题的多解·类比·推广(高二、高三)

题 当x,y∈R时,函数f(x,y)= (x y)2 (1/x-y)2的最小值是. (第十五届(04年)"希望杯"高二1试第18题) 解法1 由a2 b2≥1/2(a b)2,得 易知当x y=1/x-y,且x2=1/x2,即 x=±1,y=0时,f[(x,y)]min=2. 解法2 由a2 b2≥2ab,得     

一例最值题的几种思维方法

题目 若x,y∈R^＋,且1/x＋1/y=1求x＋y的最小值． 这是一例传统题目,似乎没什么新意,但本文阐述的是其不同的解法思想问题,有的想法体现出其新颖性,意在使同学们读后在思维能力方面有所提高．     

例谈对一个解法的教学引导

笔者在讲授必修5（人教A版）“基本不等式”及其应用时，有针对性地布置了一道思考题让学生去做．原题如下：“已知正数x、y满足x＋y=1，求1/x＋1/y的最小值．”检查后发现很多学生都是这样做的，实录如下：     

运用数学思想,“多”解“条件最值”

已知f(x,y)=0,求g(x,y)的最值,这是高中数学新教材中常见的一类“条件最值”题.这类题在高考中常出现,其解法由于教材中没有系统论述,且思维灵活性较强,同学们往往难以入手.本文试通过一道课本习题,多层面探究其解法,并总结出解这类题的若干数学思想,然后通过相关习题运用数学思想,体验“最值”解法,以达到灵活应用的目的. 一、一题多解,体现数学思想例1已知x2+y2=16,求x+y的最大值和最小值.(选自人教版全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上)P89第6题)     

一道最值题的新解法及其推广

题目若x,y,z∈(0, ∞),且4x 5y 8z=30,求u=8x~2 15y~2 48z~2的最小值.这道最值题常见于各种报刊,其解法也有很多种.本文将通过引入参数,利用算术—几何平均值不等式给出该题的一种新解法,并将问题作进一步的推广.     

构造向量巧解多元变量问题

例1设x,y是正实数,且x＋y=1,求x^2/x＋2＋y^2/y＋1的最小值．