谈双圆四边形的一个性质

《数学教学》2001年第6期的数学问题548是设△ABC的三边长为a,b,c,求证:b c a c a b a b ca b c+?++?++?>22.①《中学数学月刊》在2002年第11期第29页用换元法给出了其一简证,并在2003年第7期又给出了其一个类似.在△ABC中,三边长为a,b,c,求证:c a b a b c b c aa b c+?++?++?≤3.②笔者发现,在双圆四边形中也有定理在双圆四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,R、r表示其外接圆半径、内切圆半径,则42b c d a a c d ba b≤++?+++?+a b d c a b c dc d++?+++?4r r24R2r2≤r+?③证明记1()s=2a+b+c+d,由文[1]得abcd=(s?a)(s?b)(s?c)(s?d).…     

sum((1/(a~2))的下界估计

文 [1 ]给出∑ 1a2 的上界估计 ,即设a、b、c为△ABC的三边长 ,R、r分别表示△ABC的外接圆、内切圆半径 ,则有∑ 1a2 ≤(R2 +r2 ) 2 +Rr(2R - 3r) 2R2 r3 (1 6R - 5r) .①文 [2 ]将①式加强为∑ 1a2 ≤ 14r2 .②本文给出∑ 1a2 的下界估计∑ 1a2 ≥ 12Rr.③证明 :∑ 1a2 =b2 c2 +a2 c2 +a2 b2a2 b2 c2≥(bc) (ac) +(ac) (ab) +(bc) (ab)a2 b2 c2=c+a +babc .由三角形中的恒等式a +b +c =2p(其中p为半周长 ) ,abc =4Rrp代入上式即得③ .有趣的是由②和③可得2r≤ 12r∑ 1a2≤R .这里又出现了欧拉不等式的一个隔离 .sum((1/(a~2))的下界…     

一个三角形不等式

命题　设△ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径分别为a、b、c、R、r.则有b2 c22bc ≤ R2r.①证明 :　记△ABC的面积为S .由abc =4RS及S =12 r(a b c)知式①等价于b2 c22bc ≤abc(a b c)1 6S2 .②由海伦公式知1 6S2 =(a b c) (b c -a)·(c a -b) (a b -c) .③则式②等价于1 6S2 (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) (a b c) (b c-a) (c a -b)·(a b-c) (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) 2ab2 c2 - (b c -a) (c a -b)·(a b -c) (b2 c2 ) ≥0 b2 [ac2 - (b c-a) (c a -b)·(a b -c) ] c2 [ab2 - (b c-a)·(c a -b) (a …     

sum a~2/((s-b)(a-c))的下界估计

文[1]介绍了第6届IMO试题sum a~2(b c-a)≤3abc ① (其中∑表示循环和)的等价形式 sum a~2/((s-b)(s-c))≤6R/r ②的加强 sum a~2/((s-b)(s-c))≤4/3(4R/r 1) ③ 本文介绍③式的下界估计。 命题 设s、R、r分别为△ABC半周长、外接圆半径、内切圆半径,则有     

一个不等式猜想的证明

文[1]提出了100个待解决的不等式猜想问题,其中第95题是:设锐角三角形的三边长、三傍切圆半径、内切圆半径和外接圆半径分别为 a、b、c、r_a、r_b、r_c、r、R.则 r_a/r_b r_b/r_c r_c/r_a≥1 R/r (1)本文将证明此猜想.证明:令 a=y z,b=z x,c=x y,则 x、y、z>0,     

用压缩变换解决某些椭圆问题

我们知道,图形经过变换 x=x′,y=(a/b)y′(a>b>0)后:①点与线的结合关系不变;②直线的平行关系不变;③多边形面积变为原来的 a/b;④共线相等的线段仍变为共线相等的线段.     

一道IMO预选题的推广

巴西国提供的第34届IMO预选题如下：设锐角△ABC的外接圆半径R＝1,内切圆半径为r,它的垂足三角形A′B′C′的内切圆半径为r′,求证：r′≤1－（1＋r2）（1）本文将逐步消弱命题的条件,得到两个更简,更一般的结果。为叙述方便,约定a、b、c及a′、b′、c′分别为△ABC及△A     

一个三角不等式的两种证明方法

<正>题目 (加拿大数学杂志Crux Mathematicorum 4596题^[1])设a,b,c是三角形ABC三条边的长度,三角形ABC的内切圆半径为r,外接圆的半径为R.     

对一道教材习题答案的完善

人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第112页第14题如下:如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB、BC、CA的长分别为c、a、b,求△ABC的内切圆半径r.中学数学课程研究中心编著的《教师教学用书》第     

Bokov不等式的加强

Bokov不等式 :设ha、hb、hc 分别是△ABC的三边a、b、c上的高 ,r为△ABC的内切圆半径 .则∑ haha- 2r≥9.①其中∑ 表示循环和 .本文将给出式①的两种形式的加强 .命题 1　在△ABC中 ,有∑ haha- 2r≥3pr23.②其中p为△ABC的半周长 ,当且仅当△ABC为正三角形时等号成立 .证明 :令∏ 表示循环积 ,则∏ haha- 2r=∏2pra2pra - 2r=∏ pp -a=p3(p -a) (p-b) (p-c) =p3pr2 =pr2 .由三元均值不等式可得∑ haha- 2r≥3∏ haha- 2r13=3pr23.易见上式当且仅当ha=hb=hc 即a =b=c时等号成立 .由不等式p≥33r和式②可知式①成立 ,故式②强于式① …     

欧拉不等式的推广

欧拉不等式是指:若三角形的内切圆和外接圆半径分别为r和R,则R≥2r。将此不等式推广到四边形中,有: 定理设双圆四边形(既有内切圆又有外连圆的四边形的内切圆和外接圆的半径分别为r和R,则 R≥2~(1/2)r ①分析如图,设ABCD为双圆四边形,边长依次为a、b、c、d,令AC=u,则 u=((ac bd)(ad bc)/(ab cd))~(1/2) (参见[3]) 设ABCD的面积为△,则△A=rs,其中s=1/2(a b c d)∴r=△/s。     

由一个数学问题引发的探究

在本文中,a、b、c表示△ABC的边长,R表示外接圆半径,r表示内切圆半径,p=1/2（a＋b＋c）.     

不等式R≥rsecπ/n的加强

1765年,数学泰斗欧拉(L.Euler)首先发现:任意一个三角形的外接圆半径R、内切圆半径r与其两圆心距d恒满足关系R~2=d~2 2Rr, ①从而由d~2≥0,得R≥2r. ② 这就是众所周知的欧拉不等式. 1798年,欧拉的学生富斯(N·Fuss)又证明:同时有外接圆和内切圆的四边形,其外接圆半径R,内切圆半径r与其两圆心距d恒满足关系(1/(R d)~2) 1/(R-d)~2=1/r~2,R~2=d~2-r~2 r(r~2 4R~2)~(1/2).据此,由d~2≥0即可得R≥(2r)~(1/2). ③ 这便是所谓的富斯不等式. 1988年,刘健将②、③推广成:设双圆n边形(既有外接圆又有内切圆的n边形)的外接圆半径为R,内切圆半径为r,则R≥rsecπ/n. ④ 近年来,我国学者还相继给出④的多种证法,并有人将其延拓到一般多边形的情形. 我们追寻先达时贤之笔迹,通过深入分析研究发现,④可以进一步加强为     

关联五个三角形内切圆半径的一个等式

命题　设D、E分别是△ABC的边BC上与顶点B、C不重合的任意两点 ,△ABD、△ACE、△ABE、△ACD、△ADE的内切圆半径分别记作r1、r2 、r3、r4 、r5.则图 1r1r2=r3-r5r4 -r5.引理[1] 　已知△ABC ,边BC上的高为h ,N为边BC上一点 ,△ABN与△ANC的内切圆半径分别为r1、r2 .则△ABC的内切圆半径r满足r=r1+r2 - 2r1r2h .命题证明 :如图 1 ,不妨设△ABC的内切圆半径为r,边BC上的高为h ,则由引理可得r=r1+r4 - 2r1r4 h ,①r=r2 +r3- 2r2 r3h ,②r3=r1+r5- 2r1r5h ,③r4 =r2 +r5- 2r2 r5h .④把④代入①、③代入② ,化简整理得2r1r4…     

一个不等式的推广

文 [1 ]给出了下面一个三角形不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,则13 ≤ a2 +b2 +c2(a +b +c) 2 <12 ,①当且仅当a =b =c时等号成立 .本文将不等式①推广为 :设△ABC的三边长分别为a、b、c .对于任意正整数n ,n >1 ,有13 n - 1≤ an+bn+cn(a +b +c) n<12 n- 1,②当且仅当a =b =c时等号成立 .证明 :根据文 [2 ],有an+bn+cn3 ≥ a +b +c3n,当且仅当a =b =c时等号成立 .由此易知第一个不等式成立 ,取等号的条件也成立 .下面证明第二个不等式 ,这等价于an+bn+cn<12 n - 1(a +b +c) n.③用数学归纳法 .当n =2时 ,由式①知式③成立 .设n …     

一个三角形不等式的最佳形式

《数学通报》2009年数学问题第1804题为： △ABC的半周长为p,三边长分别为a,b,c,外接圆半径为R,内切圆半径为r,求证：     

关于垂足三角形的一个对偶恒等式

文[1]给出了一个涉及垂足三角形内切圆半径的恒等式:设△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,p=(a b c)/2,△ABC的面积、外接圆、内切圆半径分别为?、R、r,若△AEF、△BDF、△CDE的内切圆半径依次为rA、rB、rC,则cot cot cotA2B2C2r A r B rC=?r??R.(1)本文给出(1)式     

Euler不等式加强式的改进及逆向

176 5年 ,著名数学家 Euler建立了关于三角形外接圆半径 R与内切圆半径 r的一个重要不等式 [1 ]R≥ 2 r. ( 1 )文 [2 ]给出上述不等式一个十分漂亮的加强形式R≥ 2 r+ 18R[( a- b) 2 + ( b- c) 2 + ( c- a) 2 ],( 2 )其中 a,b,c为三角形的三边长 .本文进一步加强 Euler不等式并给出其逆向形式 .定理　 a,b,c,R,r分别为△ ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径 ,则11 6 R( | a- b| + | b- c| + | c- a| ) 2 + 2 r≤ R≤ 2 r+ 11 6 r( | a- b| + | b- c| + | c- a| ) 2 .( 3)证明　 ( 3)式中左边不等式等价于R- 2 r- 11 6 R( | a- b| + …     

一题两解的启示

九年级数学练习题中有一道题为:如图,△ABC中,∠C=90.,AB=c,A C=b,BC=a,求其内切圆⊙O的半径r. 解法一:根据三角形面积求连结AO、BO、CO. ∵SΔAOC=1/2AC·r SΔBOC=1/2 BC·r S△AOB=1/2AB·r ∴SΔABC=1/2AC·r+1/2BC·r+1/2AB·r=1/2r(a+b+c) 又S△ABC=1/2BC·AC=1/2ab ∴1/2r( a+b+c)=1/2ab ∴r=ab/a+b+c 解法二:利用切线长性质求 作OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB,则四边形DCEO为正方形.     

《数学通报》1580题的另两种证法

《数学通报》1580题:设△ABC的三边长分别是a,b,c,内切圆半径为r,求证:1/(a~2)+1/(b~2)+1/(c~2)≤1/(4r~2).(2005年第11期).原证:令a=y+z,b=z+x,c=x+y,并设s、△分别表示△ABC的半周长和面积,则易知x>0,y>0,x>0.并有s=1/2(a+b+c)=x+y+z,r=