一种“不科学”的好解法

解几个方程,其中x/x2 1 x2 1/x=5/2学生中有两种解法,引起全班激烈争论.解法1设x/x2 1=y,则x2 1/x=1/y,原方程变形为:y 1/y=5/2,整理得:2y2-5y 2=0,解得:y1=2,y2=1/2,当y=2时,x2 1/x=1/2,2x2-x 2=     

解二元二次方程组怎么会产生客解?

二元二次方程组的教学中,在学生的作业里往往会出现产生客解的情况。如初中代数第三册习题九1(1)题,解方程组: {x y 1=0 ① x~2 4y~2=8 ②′ [解] 由① x=-(y 1) ①′把①′代入② (y 1)~2 4y~2=8,即 5y~2 2y-7=0, ∴ y=1,y=-7/5。把y=1代入②得x=±2; 把y=-7/5代入②得x=±2/5。     

复习不等式的几点意见

一、从反面来巩固正面知识进行新课,宜从正面入手。因为学生接受知识往往先入为主,正面未巩固,即渗入反面,可能引起思维混乱,以致喧宾夺主。但复习课是在学生已有一定的基础上来进行的,除去从正面系统概括所学过的知识以外,列出一些易犯的错误,让学生自己指点出来,以加深印象,对正面知识却可起巩固作用。这里根据平常教学不等式时,从测验与作业中归纳了一些较普遍性的错误,并作了粗线的分析,提供同志们组织复习时参考。 1.由于数的概念与绝对值概念不清所引起的错误。例如已知x,y为非0的实数,试比较(x/y~2) (y/x~2)与1/x 1/y的大小。学生作出了如下的论断: 因为(x/y~2 y/x~2)-(1/x 1/y)=(x~3 y~3-xy~2-x~2y)/(x~2y~2) =((x y)(x~2-xy y~2)-xy(x y))/(x~2y~2) =((x y)(x-y)~2)/(x~2y~2)=(x~2-y~2)(x-y)/(x~2y~2)。分母x~2y~2>0,分子(x~2-y~2)与(x-y)同符号,其积     

一次意外的探究性学习

案例 初三复习分式方程一节时,我举了以下例题:用换元法解分式方程 ,选题的目是想加强学生对换元法解分式方程的掌握。解法1:设x/x2 1=y,则x2 1=1/y,原方     

对“如图”二字理解的偏差

<正>笔者布置的作业中有一道填空题.作业批改下来,两个班的学生竟然只有一位做对了.原因究竟是什么呢?笔者对此做如下分析.例1如图1,在平面直角坐标系中,已知直线y=-3/4x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,点C(0,n)是y轴上的一点,将△ABC沿     

谈谈函数y=(x~2 t 1)/(x~2 t)~(1/2)的最小值问题

在求函数 y =( x2 t 1 ) /x2 t( t为常数 )的最小值问题时 ,学生们往往会将原函数变形为 y =x2 t 1 /x2 t,于是想到利用不等式 ( a b) /2 ab( a,b∈ R ) ( * ) ,马上得到 ymin =2 ,请看下面例题 :例 1　求函数 y =x2 3/2x2 1 /2的最小值 .[解 ]:原函数可变形为y =x2 1 /2 1x2 1 /2=x2 1 /2 1x2 1 /2 2所以　　 ymin=2但是 ,如果用同样的方法求下面这个函数的最小值 ,就会出现错解 ,请看 :例 2　求函数 y =( x2 5 ) /x2 4的最小值 .[错解 ]:原函数可变形为 :y =( x2 4 1 ) /x2 4=x2 4 1 /x2 4 …     

一道最值题的错解剖析及五种正确解法

苏州大学《中学数学》编辑部编写的《高三数学教学与测试》(上册、95版)第47节“不等式的应用”中有这样一道求最值的题:“已知正数x,y满足x 2y=1,求1/x 1/y,的最小值”。此题虽小,但思路宽,解法多,不失为一道好题,我校在使用该书时,从学生作业中发现几种典型的错解,同时也有几种巧     

分清变元解函数图象变换问题的关键

有这样一个选择题: 若函数y一f(二一)的图象如右图,则函数y一、f(1一x)的图象是().拉}_止犯了”/…口‘卜‘以{’\‘ A B CD 许多学生这样做:把函数y一j(x)的图象向右平移1个单位,得到y-、f(x一1)的图象,再作关于y轴的对称图象得到y一f(1一x)的图象,故选C. 分析:学生犯以上错误     

能这样反设吗?——一道试题的讲评

题目:用反证法证明:不论x,y取任何非零实数,等式1/x 1/y=1/x y总不成立. 证明:假设不论x、y取任何非零实数,等式1/x 1/y=1/x y总成立. 则有x2 y2 xy=0即(x y/2)2 3/4y2=0. 但当y≠0时     

正确的结果 错误的解法

错误的解法有时也能得出正确的结果 ,这种现象在学生的作业与考试中时有出现。例 1.已知 y=y1 y2 ,y1与 x成正比例 ,y2 与 x成反比例 ,当 x=1时 ,y=6 ;x=2时 ,y=712 。求 x=6时 ,y的值。错解 :设 y1=kx,y2 =kx。∵ y=y1 y2 ,∴ y=kx kx。将 x=1,y=6代入 y=kx kx,得 6 =k k,∴ k=3。∴ y=3x 3x。当 x=6时 ,y=3× 6 36 =1812 。评析 :此解法在设 y1=kx、y2 =kx时 ,取了相同的比例系数 ,显然是错误的。由于是两种不同的比例 ,其比例系数不一定相同 ,故应分别设 y1=k1x,y2= k2x。虽然正确解法的结果也是 k1=k2 =3,但这只是题中数据的一…     

问题解决与反思学习——谈一堂习题课的教学体会

一堂“基本不等式”的习题课上 ,老师提出这样一个问题 1:“若 x,y∈ R+,且 x + y =1,则 1x + 1y的最小值是 4,若 x,y∈ R+,且 1x + 1y =1,则 x+ y的最小值也是 4.那么若 x,y∈ R+,且 x +y = 1,则 1x + 4y 的最小值是不是与若 x,y∈R+,且 1x + 4y =1,则 x + y的最小值相同 ?为什么 ?”有的学生很快有了答案 ,有的学生怎么也做不出结果来 .老师问那些做出结果的同学 ,答案相同吗 ?学生 [1]说 :相同 .老师又问 :你是怎样求的 ?学生 [1]说 :因为 x,y∈ R+,且 x + y =1,所以 1x+ 4y=(1x+ 4y) (x + y) =5 + yx+4xy ≥ 5 + 2 yx .4xy =9(等号成…     

让数学课堂在学生的问题中生成精彩——对一个教学案例的几点思考

1案例描述高一下学期,学生在学习必修5的基本不等式以后,笔者在学习基础较好的双语班设计了如下的问题供学生练习:"已知x,y∈(0,+∞),且2x+y=3,求1/x+1/y的最小值."大部分学生经过尝试后很快得出这个问题的     

从探究y=1/f(x)型函数的值域谈起

1.问题提出的背景很多与《全日制普通高级中学教科书(必修·第一册(上)》配套的资料上,都有这样一类题目:求函数y=1/x2-6x 1的值域. 大多数学生是这样回答的:因为x2-6x 1=(x-3)2-8≥-8, 所以1/x2-6x 1 ≤-1/8,即原函数的值域是{y|y≤-1/8}. 类似的错误经过反复讲评、订正,但收效甚微.于是决定以"探讨y=1/f(x)型函数的值域"为课题上一堂专题课.     

求无理函数值域的常用方法

学生经常产生一些似是而非的错误,如: 例1 求函数y=x (x~2-3x 2)~(1/2)的值域。 错解 由y-x=x~2-3x 2)~(1/2) 可得 (y-x)~2=x~2-3x 2. 整理得　x=（2-y~2)/(3-2y)(y≠3/2). 因而函数的值域为{y|y∈R,y≠3/2}.     

由一道习题答案谈深入钻研教材

今年又轮到教高一数学.为了适应初高中课程内容调整,高一代数新增了不少内容,但原有内容基本上没有变化.如最新教材 P_(71)/3_((2)、(4))就沿袭了自统编教材问世以来的原始题目.题目是这样的:3.求下列函数的定义域和值域(2)y=3~(1/2-x),(4)y=0.7~(1/4x).最新教参提供的答案,两题值域均为{y|y■R~ }.我在批改学生作业时,发现部分学生注意到了1/2-x、1/4x均不可能为零,因此他们的答案值域均为{y|y■R~ 且     

一道不等式证明题的几种证法

在学习不等式的解法和证明这一部分时,有这样一道例题: 已知:x＞0,y＞0,x 2y=1,求证:1/x 1/y≥3 2√2. 在该题的教学中,学生思维特别活跃,一题多解,竞相发言,课堂气氛高潮迭起.下面是一位同学课后根据课堂讨论情况整理的笔记,他对该题的解法进行了总结.     

圆锥曲线的一个优美性质

笔者近日在学习和研究圆锥曲线时,发现圆锥曲线与其切线有关的一个优美的性质,现表述如下,以期与同仁分享. 性质1 已知A,B是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上不同的两点(不同时在坐标轴上,或kOA·kOB≠-b2/a2),O为椭圆C的中心,椭圆C在点A,B处的切线分别与直线OB,OA相交于P,Q两点.则AB∥PQ. 证明:如图1,设A(x1,y1),B(x2,y2).则切线AP,BQ的方程分别为:x1x/a2+y1y/b2=1,x2x/a2+y2y/b2=1.直线OA,OB的方程分别为:y=y1/x1x,y=y2/x2x由方程组｛x2x/a2+y2y/b2=1 y=y1/x1x,解得点Q的坐标为xQ=a2+b2+x1/b2x1x2+a2y1y2,yQ=a2+b2+y1/b2x1x2+a2y1y2.     

适时追问 回归本原

<正>一、对例习题的适时追问在《等比性质》的教学中,我们常常安排如下例、习题:例题已知x+y/z=x+z/y=y+z/x=k,且x+y+z≠0,求k.本题来自课本习题,属于基础题,主要是巩固等比性质,增强应用意识.学生解法如下:解法1直接运用等比性质,求出     

原函数与反函数图象交点问题的探究

一、问题的提出与探究已知函数f(x)=(-3x 7)~(1/2)(0≤x≤7/3), 求y=f(x)与它的反函数y=f-1(x)的交点．一般常有这样的思路: 解:y=f(x)与y=f-1(x)相交于y=x上, 所以建立方程 x=(-3x 7)~(1/2)(0≤x≤7/3), (舍去),     

重视变式训练 激活思维能力--一类不等式问题的统一解法

1　问题的出现已知x、y∈(0 ,+∞) ,且x+2 y=1,求1x +1y的最小值.学生甲:∵x >0 ,y>0x +1x ≥2 ,2 y+1y ≥2 2 ,∴x+2 y+1x +1y ≥2 +2 2 .∵x +2 y=1,∴1x +1y ≥1+2 2故1x +1y 的最小值为1+2 2 .学生乙:∵x >0 ,y>01=x+2 y≥2 x·2 y,∴xy≤18.因此　1x +1y ≥2 1xy ≥2 8=4 2 .故1x +1y 的最小值为4 2 .以上是学生解这道题目时的两种典型错解,错误的根源在于多次使用了均值不等式,而等号不能同时取到.2　问题的解决本题的条件是正数x、y的一次齐次式等于常数,即x+2 y=1,要求最小值的式子的分母是关于x和y的一次多项式,如果能把1x +1y 化…