平面有限点集重心的一个性质及逆命题

由平面内n个点A1,A2,…,An组成的集合V={A1,A2,…,An}称为平面有限点集．设O是平面内一定点,若点G满足等式OG=1/nn∑i=1OAi,则点G称为平面有限点集V的重心．     

k号球面的几个有趣性质

点集A={A1,A2,,An}的n个点在以O为球心R为半径的球面上,我们称该球为有限点集A的外接球,该球面记作S(O,R).点集A={A1,A2,,An}(n≥3)中任意除去一个点A j(1≤j≤n),其余(n?1)个点组成的集合,称为点集A的最大真子集,记作Ωj.n个点共圆时,取圆心为球心,为上述说法的特例.在以上约定下,我们给出:定义共球有限点集A={A1,A2,,An}的外接球面为S(O,R),若点H满足1niiOH OA==∑,(1)称H为点集A的垂心;若点E k满足11nk iiOE OA=k∑=,(2)称以点E k为球心,R/k为半径的球面为点集A的k号球面,记作S(Ek,Rk).若点(1,)E jk≤j≤n k∈N+满足11…     

一个三角形定理在三维空间的推广

美国数学家R.A.约翰逊在其名著[1]中,介绍了三角形垂心的一个有趣性质,即定理1设△A1A2A3的垂心为H,则⊙HA1A2、⊙HA2A3、⊙HA3A1与⊙A1A2A3是等圆.本文拟应用向量方法,将这个定理推广到三维空间的“共球有限点集”中.为此,我们约定:(1)若点集A={A1,A2,,An}中的点都在同一个三维球面上,则点集A称为共球有限点集,这个球面称为点集A的外接球面,其球心称为点集A的外心;(2)从点集A={A1,A2,,An}(n≥3)中任意除去一个点A j(1≤j≤n),其余(n?1)个点组成的集合,称为点集A的最大真子集,记作?j;(3)以点O为球心,R为半径的球面记作S(O,R)…     

共圆(球)有限点集的一类多线共点性质再探

有限点集V={A1,A2,,An}的所有点都在同一圆(或球面)上,我们称V为共圆(或共球)有限点集.以这些点为顶点的封闭折线A1A2A3An A1,称为圆(或球)的内接闭折线,简记为A(n).文[1]定义多面体V内接于球面S(O,R),其顶点全集为{A1,A2,,An},若点H满足1niiOH OA==∑,则点H称为多面体V的伪垂心.若点H j(1≤j≤n),满足1nj i jiOH OA OA==∑?,则点H j称为多面体V的一级顶点子集V j的伪垂心.进而推出定理1设多面体V内接于球面S(O,R),其顶点全集为{A1,A2,,An},其一级顶点子集V j的伪垂心为H j,过顶点A j作直线l j平行于OH j,则诸直线l j(j=…     

闭折线K号心的一个重要性质

设A(n)表示平面内任意一条闭折线A1A2…AnA1.由闭折线A(n)的任意m(1≤m≤n)个顶点组成的集合称为闭折线A(n)的顶点子集.把闭折线A(n)的所有顶点组成的集合Ω=A1,A2,,An(称为A(n)的顶点全集)任意分成两个非空集合Ω1、Ω2,则Ω1、Ω2称为闭折线A(n)的互补顶点子集.     

点集重心的一个性质

本文用几何方法得到关于空间有限点集重心的一个有用性质,概括了一些文章的结果,给出一类定值问题的一般模型。 设M={A_1,A_2,…,A_n}是空间中有限个点组成的集合,称等质量的质点组{A_1,A_2,…,A_n}的重心为点集M的重心。则由物理学有关原理即得出求点集重心的几何方法,我们把它总结成如下定理。 定理1 (1)设M={A_1,A_2},则M的重心为线段A_1A_2     

塞瓦定理在n维空间的推广

本文将塞瓦定理推广到了n维空间,得到结论:A0A1…An为n维空间的单形,P为空间任一点(P不在A0,A1,…,An中的任意n个点所确定的超平面上,也不在过其中的任意n-1个顶点且与另外两个顶点所确定的直线平行的超平面上).那么各棱中点,过任意n-1个顶点与点P的超平面与对棱的交点,共2C2(n+1)个点,以及任意三顶点所确定的三角形所在平面与点P和其余顶点所确定的超平面的交点和三角形三个顶点连线的中点,总共(n(n+1)2/2个点在同一n维二次超曲面上.     

一个三角形定理的推广及应用

美国数学家R.A.约翰逊在其名著[1]中,介绍了如下一个优美的三角形命题:定理1设△ABC内接于⊙(O,R),其重心为G,则221(222)OG=R?9AB+BC+CA.本文拟应用向量方法,将这个定理多方位地推广到一般圆内接闭折线中,并举例说明推广命题的若干应用.为此,我们约定:符号A(n)表示任意一条平面闭折线A1A2A3L An A1.定义设闭折线A(n)内接于(O,R),对任意给定的正整数k,若点Q满足11niiOQ OAuuur=k∑=uuuur,①则点Q称为闭折线A(n)关于点O的k号心.按这个定义,容易验证:圆内接闭折线A(n)关于其外心O的1号心、2号心和n号心,就是A(n)的垂心[2]、欧…     

算术基础理论自测试题(一)——参考答案

集合 1.(1)A二{一月,三月,五月,八月,十月,十二月};(2)B={4,6,8,10,12,14,16,18,20卜。 2.自然数集:任,暖,暇,任,任,磋。整数集:任,任,磋,任,任,偌。分数集:任,任,任,任,任,任。 4.中,{o},{z},{2},{o,i},{02},{1,2},{0,i,2}。 5.(1)注UB={1,2,3,4,5,6,7}。月自B={4,5}。(2)①卫,②卫;③三。 6.(1)S:与S:,S,与S:。(2)=S:。 (3)={全校师生员工}。(4)S:,S。。 7 .A门B={1,5}o 8 .A nB={6,12,”一h 9.月/B=笼5}。B/A=中。 10.A={1,2,6,7,8},万={z,2,3,5,6},灭门百={i,2,6},A UB{z,2,s,5,6,7,8}。 整数 (一)填空 1,一类等价的非空有限…     

任意n直线集的三个系列特殊圆和特殊点（Ⅲ）

五、第三系列 任意3直线集∑3={l1,l2,l3}和⊙B上3个B点Bi∈li（i=1,2,3）组成△A13B1B3，△A23B2B3，它们的外接圆分别记为⊙D12，⊙D13，⊙D23·这些都叫D圆。     

集合一题的推广与妙解(高二、高三)

J口户、J.‘匕匀廿日刁、寸.字军刁、,~,r月‘J口1口UU产 题已知集合A、B满足AUB一{1,2},求A、B的组数. 解当A一{1,2}时, B=曰或{l}或{2}或{l,2}; 当A={l}时,B={2}或{l,2}; 当A={2}时,B={1}或{1,2}; 当A=必时,B={l,2}.故满足题意的集合A、B共有9组. 当A UB的元素个数为3或4时,如此列举就复杂得多,而当元素个数大于4时再用这样方法做就不堪设想了. 下面给出以上命题的推广: 已知集合A、B满足 A UB一{al,a:,…,a,},求A、B的组数. 解法1按A中元素个数分类: 当A一{a,,aZ,…,a,}时,B可为A的任何子集,共2n个; 当A~(aZ,a3,…,a,}时…     

对一道CMO试题的讨论

题目 给定整数n≥2.设n个非空有限集A1,A2,…,An满足: |Ai△Aj|=|i-j|(i、j∈{1,2,…,n}), 规定 XAY={a|a∈X,a(∈)Y}U{a|a∈y,a(∈)X｝. 求|A1|+|A2|+…+|An|的最小值.[1] （2013,中国数学奥林匹克） 文[1]给出的参考解答,采用配对思想, 简洁有效地得出了所需的下界估计.下面给 出另外两种解法.     

三角形垂心定理的再推广

在拙文[1]中,我们曾利用坐标法,将三角形垂心定理推广为定理1设闭折线A(n)内接于⊙O,其二级顶点子集V jm的垂心为H jm,过点H jm作直线A j Am的垂线l jm,则诸直线l jm(1≤j相似文献   

有关等比数列的一个充分条件

题目 已知数集A={a1,a2,…an}（1≤a1〈a2〈…〈an,n≥2）具有性质P：对任意的i,j（1≤i≤j≤n）,aiaj与aj/ai两数中至少有一个属于A。     

本质集的邻域并和无爪图的哈密尔顿性

设G是一个图 ,G的独立集Y称为本质集 ,如果存在 {y1,y2 } Y ,使得dist(y1,y2 ) =2 .本文利用插点方法 ,给出了关于k或 (k + 1)连通 (k≥ 2 )无爪图G是哈密尔顿的或 1哈密尔顿的统一的证明 .2个结果的充分条件是关于 ∑ki=0N(Yi) 与n(Y)的不等式 ,这里Y是图G的任一本质集 ,对于i∈ { 0 ,1,… ,k} ,Yi={y1,yi- 1,… ,yi- (b- 1) } Y(yj 的下标将取模k + 1) ;b是一个整数 ,且 0 相似文献   

高等代数专题研究例题解析

例 1　写出集合A ={ 1,2 ,{ 3} }的幂集。解　根据幂集所含元素的个数 ,知P(A)含有 2 3 =8个元素。则 :P(A) ={ ,{ 1} ,{ 2 } ,{ { 3} } ,{ 1,2 } ,{ 1,{ 3} } ,{ 2 ,{ 3} } ,{ 1,2 ,{ 3} } }例 2　设集合A={ 1,2 ,3} ,B ={a ,b} ,试写出A到B的所有不同映射。解　不同映射的个数为 2 3 =8个 ,分别为 :σ1∶ 1a ,2a ,3aσ2 ∶ 1a ,2b,3σ aσ3 ∶ 1σ a,2 σ a ,3σ bσ4∶ 1σ a,2 σ b ,3bσ5∶ 1b ,2a ,3aσ6∶ 1b ,2b ,3σ aσ7∶ 1σ b ,2 σ a ,3σ bσ8∶ 1σ b ,2 σ b,3b例 3　证明 f(n) =2n +1　n≥ 0｜ 2n｜　n <0 (n∈Z)是…     

一个集组计数问题的简证

文 [1 ]通过数学归纳法证明了 :命题　若 ∪mi=1Ai={a1,a2 ,… ,an},且Ai≠ (i=1 ,2 ,… ,m) ,则集合A1,A2 ,… ,Am的组数g(m ,n) =∑m - 1i=0( - 1 ) iCim( 2 m -i- 1 ) n.本文利用容斥原理证明 .证明 :设Ω是满足∪mi=1Ai ={a1,a2 ,… ,an}的有序集组 (A1,A2 ,… ,Am)的集合 .Pi是满足∪mi=1Ai={a1,a2 ,… ,an},且Ai= (i=1 ,2 ,… ,m)的有序集组 (A1,A2 ,… ,Am)的集合 .由文 [2 ]知 :若∪mi=1Ai={a1,a2 ,… ,an},则集合A1,A2 ,… ,Am 的组数为 ( 2 m - 1 ) n.同理可得 ,　　 |Pi1∩ Pi2 ∩…∩Pis| =(2 m -s- 1) n (1≤s≤ m)…     

分题型精选的创新题

一、选择题1.已知集合M={（x,y）|y=f（x）},若对于任意的（x₁,y₁）∈M,存在（x₂,y₂）∈M,使得x₁x₂+y₁y₂=0成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合:①M={（x,y）|y=1/x};②M={（x,y）|y=sin x+1};③M={（x,y）|y=log₂x};④M={（x,y）|y=e^x-2}.其中是“垂直对点集”的序号是A.①②B.②③C.①④D.②④2.对于任意的x,|x|表示不超过x的最大整数,如[1.1]=1,[-2.1]=-3.定义在R上的函数f（x）=[2x]+[4x]+[8x],若A={y|y=f（x）,0≤x≤1),则A中所有元素的和为     

财经数学(上)复习提示

一、集合 1.理解集合的概念、能用各种方法表 示给定的集合,会写出集合的子集、真子 集。 例:(1)写出“所有大于0小于4的实 数”的集合;(2)写出“大于3小于11的偶 数”的集的子集、真子集等。 2.正确理解“属于”、“包含”、“相等” 等概念。 例:(1)0_φ, (2){1,3,5}_{1,2,3,4,5} (3){0}_φ, (4){5}_{x/x≤10}等。 3.掌握集的并集、交集、差集、全集、补集等运算法则。 例:全集Ω={x/-4相似文献   

子集格的一个特殊子集的交族

设正整数n,r,l,s满足r相似文献