求矩阵BA~(-1)的简捷算法

在1986年第4期《数学通报》上，张雁闻同志介绍了求矩阵A－1B的简捷算法。本人看后，颇受启发，有时，我们也需要做BA－’之类的矩阵运算。经考虑，得出如下的简捷算法：其中，E为单位矩阵。这就是说，我们施行列的初等变换将矩阵A化成单位矩阵，则同样的列初等变换即将矩阵B化为BA－‘。下面先谈一下该算法的理论根据。设A为n阶可逆矩阵，B为sXn型矩阵。因A可逆，一定存在n阶初等矩阵P，，P。，…，P。使AP；P。…P。一E。两边左乘BA－‘得：BA－’APlpZ…P。一BA‘E。即BP；PZ…P。2BA－‘。此式表明将把A化为单位矩阵所…     

求矩阵的逆矩阵的方法

对于n阶方阵A,若存在n阶方阵B,使AB=BA=E成立,则称B是A的逆矩阵。若矩阵A可逆,则A可经过一系列初等行变换化为单位矩阵E。     

剩余类环上矩阵的等价标准形

剩余类环上任何矩阵Am×l都(E) Pm×m,Qt×t可逆,使得PAQ=A1,其中A1为A的一个等价标准形.     

一个正交矩阵的求法──高等代数教材研究(7)

任一实对称矩阵入总存在正交矩阵U，使V’AU是对角形矩阵。通常用施密特正交化方法求U，计算颇繁，本文提出一个新的方法，不必借助欧氏空间的某些概念与性质。引理设A是nXr实矩阵，若秩A。r，则存在可逆矩阵巨使P’八’AP。I（单位矩阵）征．．”秩A。r，．．．存在矩阵B使G＝（AB）是n阶实可逆矩阵，从而G’G是正定矩阵，但所以A’A是正定矩阵，A’A与1合同。定理A是n阶实对称矩阵，如果T是实可逆矩阵，使q’－‘AT是对角形矩阵，则存在可逆矩阵R，使U。TR是正交矩阵，而且U’AU是对角形矩阵。证不妨设人有两个不同的特征根…     

伴随矩阵的一个性质

【定理】设A是n阶矩阵，P和Q是n阶可逆矩阵。若PAQ＝B则B*=|PQ|Q－1A*P－1，这里的A*和B*分别是A和B的伴随矩阵。其次令P是消法矩阵因为每一个n阶可逆矩阵，包括换位矩阵都可以化为若干个上述两种矩阵的积。所以对任一可逆矩阵民若PA＝B，则B”。IPA”P－‘．类似地可以证明，Q是可逆矩阵，若AQ＝＝B则B“一闪闪”‘A．。现在设P，Q是可逆矩阵，PAQ＝B令PA二B，B；”二IPIA”P－‘，B二PAQ＝B；Q，则B”＝［Q·Q’‘B；“＝IQIQ”·！PA”P”‘＝IPQIQ－‘A“P－‘作为定理的特例，有如下的【命题1】A是n防矩…     

线性代数综合练习

1 填空题 （1）行列式 （4）若矩阵A、B、C均为n阶可逆矩阵,则（A-1BC）-1=_。 （5）设A、B为四阶矩阵,且|A|=|B|=-3,则|A＇B|=_。 （6）设A、B 均为二阶可逆矩阵,则     

用初等变换求长方形矩阵的逆

已知矩阵A,求矩阵B,使得AB=I(I为单位阵)。对于A是可逆方阵时,我们已知道怎样求矩阵B;当A是nxn(m≠n)的长方形矩阵时,又怎样求B呢?本文将给出一个方法——先把A增广为可逆方阵,再用初等变换法求之。     

可逆矩阵的定义

关于可逆矩阵的定义,现行课本这样给出:“设A是数域F上的一个n阶矩阵.如果存在一个n阶矩阵B,使得AB=BA=I(单位矩阵)那么A叫做一个可逆矩阵(或非奇异矩阵),而B叫做A的逆矩阵.”这个定义以简捷的方式深刻地揭示了可逆矩阵的实质.但初学者对这定义方式往往感到费解.同时可逆矩阵的一些重要结果的建立者较费事.本文尝试用下面的方式定义,可能对初学者有所好处.     

关于逆矩阵概念教学的思考

高中数学教材选修4-2(苏教版)中给出了二阶逆矩阵的定义:对于二阶矩阵A,B,若有AB=BA=E,则称A是可逆的,B称为A的逆矩阵,通常记为A~(-1)=B.笔者在引进逆矩阵的概念后一道例题的课堂教学中,经历了生疑、探究、生成的过程.1生疑在完成逆矩阵的概念的教学后,我给出例题:已知矩阵M=(?),N=(?),证明:     

求标准正交基的矩阵初等变换法

在许多高等代数教材中,通常介绍的施密特(Schmidt)方法,使我们可以从欧氏空间 R~n 的任意一个基出发,求出一个正交基来,再单位化,求出一个标准正交基。本文给出一种运用矩阵初等变换,从欧氏空间 R~n 的任意一个基求标准正交基的方法,比较直接简单。设 a_i=(a_(1i),a_(2i),…,a_(ni)),i=1,2,…,n 是 R~n 任意一个基,以 a′为列向量构成矩阵 A=(a_(ii)),则 A′A 是一个 n 阶正定矩阵,必与单位矩阵 E 合同,即存在 n 阶可逆矩阵 Q,使得Q′(A′A)Q=E(1)即(Q′A′)(AQ)=E(2)(1)式说明,对矩阵 A′A 施行一系列的列初等变换(相应的初等矩阵的乘积为 Q)及一系列的行初等变换(相应的     

可逆矩阵的m次伴随矩阵与杨辉三角形

n阶可逆矩阵的伴随矩阵仍是n阶可逆矩阵,故伴随矩阵可继续求其伴随矩阵．本文基于此,利用公式AA^＊=｜A｜I导出n阶可逆矩阵的m次伴随矩阵的计算公式,其结果与杨辉三角形有关．     

如何把握矩阵的分解

矩阵的分解是一个比较复杂的概念,如何把给定的一个矩阵进行分解,常使初学者不知所措,本文通过一系列例子来说明矩阵分解的一般方法.一个m×n非零矩阵A的秩定义为A的不等于零的子式的最高阶数.若秩A=7,则A可以通过初等变换变成(?)初等变换可以通过乘初等矩阵来实现,因此A总可以表示成A=P(?)其中P、Q分别是m阶、n阶可逆矩阵.该式是一个基本的、但非常方用的表达式,它告诉我们可以通过便于处理的可逆矩阵P、Q和简单矩阵(?)来把握一般矩阵A的分解.     

非齐次线性方程组的同解判别法

用初等行变换解非齐次线性方程组的理论根据，就是对增广矩阵左乘可逆阵后所得方程组与原线性方程组同解，现存的问题是：如果两个线性方程组同解那么它们的增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵，答案是肯定的，现在听见到的线性代数讲义中均未提到这个问题，本文将从矩阵理论出发，给出非齐次线性方程组的同解判别法。引理1如果非齐线性方程组与同解，则矩阵（A，h）与（c，d）的积相等。证明；设方程组的导出组的基础解系为ξ1，ξ2，ξn，其中r为矩阵（A，b）的秩．再设方程组的导出组的基础解系为其中r2为矩阵（c，d）的秩。如果是方程组…     

关于可逆矩阵在初等变换下的逆矩阵的若干命题

本文证明了关于可逆矩阵A经过一次初等变换得到的矩阵B的逆矩阵B-1与矩阵A的逆矩阵A-1之间关系的几个命题成立.     

由幂幺矩阵的全体实系数多项式组成的空间的维数

本文证明由幂幺矩阵的全体实系数多项式组成的空间的维数，等于这个幂幺矩阵的不同特征根的个数。设A＝（aij）是n阶矩阵，aij是复数，满足Ak＝E（k≥1）的矩阵称为幂幺矩阵；由这样的矩阵A的全体实系数多项式组成一个向量空间，把这个向量空间记为P（A）。引理1：n阶矩阵A相似于一个对角矩阵的充要条件是A的最小多项式没有重根。证明：充分性设A的最小多项式m（λ）没有重根，m（λ）＝（λ－λ1）（λ－λ2）…（λ－λk），则m（A）＝（A－λ1E）（A－λ2E）…（A－λkE）＝0，记矩阵A－λiE的秩为γi（i＝1，2，…，k），则由上…     

关于A(?)B的几点注记

AB为矩阵A与B的Kronecker积,本文给出了AB可逆,正定,正交的充分必要条件。     

关于若当(Jordan)标准形的理论推导和计算

在复数域上，任意一个矩阵A都与一个若当形矩阵J相似，即存在可逆矩阵T使得T-1 AT=J．本文给出了具体求T和J的方法和理论证明．     

n阶方阵A是可逆矩阵的特征刻画

为了总结可逆矩阵的充要条件,在充分研究逆矩阵及其相关理论的基础上,深入探讨n阶方阵A是可逆矩阵的各种特征刻画,并给出相关证明以及在相应例题中的应用,结果表明这些条件是等价的.     

谈求逆矩阵方法的教学

同济大学所编线性代数(以下简称教材)中,对如何求一个可逆矩阵的逆,介绍了两种方法,一是使用伴随矩阵,二是利用初等变换。 对于前一种方法,教材中先给出了A的伴随矩阵A~·的定义,然后证明AA~·=|A|E,从而得到A~(-1)=1/|A|A~·,这样得出求A~(-1)的公式,理论上固然严谨。但从教学的角度来看陡然引进伴随矩阵的概念,学生的认识往往跟不上。其实教材中逆阵的概念是从用克菜姆法     

矩阵方程XAX=A的解的讨论

讨论了在A是可逆矩阵时矩阵方程XAX=A的对称解、正交解、正定解的结构,并给出了解的一般结构和表达形式.