用分离常数法解2012年高考陕西卷压轴题

高考题1:(陕西·文·21)设函数f(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:f(x)在区间(12,1)内存在唯一零点;(2)设n为偶数,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,求b+3c的最小值和最大值;(3)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1],有|f(x1)-f(x2)|≤4,求b的取值范围.高考题2:(陕西·理·21)设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间(12,1)内存在唯一零点;     

两个递推式及其应用

本文介绍递推式:f(n)=a~n b~n=(a b)f(n-1)-abf(n-2),(n≥2,n∈N)和f(n)= a~n b~n c~n=(a b c)f(n-1)-(ab bc ca)f(n-2) abcf(n-3)(n≥3,n∈N)及其应用。     

应注意“区间内”和“区间上”的用法

<正>高考题1(2012年安徽理)设函数f(x)=aex+1/aex+b(a>0).(1)求f(x)在[0,+∞)内的最小值;(2)略.答案(1)当0相似文献   

一道高考压轴题题源探寻与拓展

1 问题来源 题1 (2013年高考广西卷理科压轴题)已知函数f(x)=In(1+x)-x(1+λx)/1+x.(1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;(2)设数列{an}的通项an=1+1/2+…+1/n,证明a2n-an+41/n＞ In2. 笔者在研究上述高考试题时,感觉似曾相似,发现它是2010年高考湖北卷理科压轴题的拓展与延伸. 2 题源探寻 题2 (2010年高考湖北卷理科压轴题)已知f(x)=ax+b/x+c(a＞0)在(1,f(1))处的切线为y=x-1.(1)用a表示b、c;(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的范围;(3)证明:1+1/2+…+1/n＞ln(n+1)+n/2(n+1).     

一类三角函数最值问题与若干三角方程的解集

本文给出一类三角函数的最值问题及其解答,并利用其结论给出若干三角方程的解集. 问题1 已知x∈R,n ∈ N,且n≥1,求f(x)=sin2n+1x+cos2n+1x的最大值与最小值,并求当x取何值时f(x)分别取得最大、最小值. 解 设a=sinx,b=cosx,则可将问题转化为:已知a,b∈R,且a2+ b2=1,求P=a2n+1+ b2n+1(其中n∈N+)的最大、最小值.     

代数不等式的证明与技巧

代数不等式是中学中的一个重要内容,由于它本身具有完美的形式及证明的灵活性,往往可以考察学生的分析能力和应变能力,在这里仅介绍一些证明不等式常用的方法和变形技巧。 一,比较法; 要证明一个不等式A>B可以作一个差证明A—B>0;当B>0时,可以作一个商A/B>1证明 例:已知:a,b∈R~ ,n∈N,求证:(a b)(a~n b~n)≤2(a~(n 1) b~(n 1)) 证明:(a b)(a~n b~n)-2(a~(n 1) b~(n 1)) =a~(n 1) a~nb ab~n b~(n 1)-2a~(n 1)-2b~(n 1) =ab~n ba~n-a~(n 1)-n~(n 1) =a(b~n-a~n) b(a~n-b~n) =(a—b)(b~n-a~n) Ⅰ)当a>b>0时,b~n-a~n<0,a-b>0 (b~n-a~n)(a—b)<0 Ⅱ)当b>a>0时,b~n-a~n>0,a-b<0 (b~n-a~n)(a—b)<0 Ⅲ当a=b>>0时,b~n-a~n=0,a-b=0 (b~n-a~n)(a-b)=0 综上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,有(a-b)(a~n b~n)-2(a~(n 1) b~(n 1))≤0 (a—b)(a~n b~n)≤2(a~(n 1) b~(n 1))     

一个递推公式的应用

若 a、b、x、y 均为非零实数,S_n=x·a~n+y·b~n,n=0,1,2,……,则有S_n=(a+b)S_(n-1)-abS_(n-2)(n≥2)(1)证明:左=S_n=x·a~n+y·n~n=(x·a~(n-1)+y·b~(n-1)(a+b)-a·y·b~(n-1)-6     

再谈一类无理函数值域的求法

文(1)、(2)各用一种方法介绍了形如f(x)=√(ax2+b)-x(x≥0,a≥1,b≥0)的最小值的求法,文(3)、(4)分别给出函数f(x)=m√(x2+1)-nx(mn＜0,|n/m|＜1)的值域的求法.本文给出更一般的函数f(x)=m√ax2+b+nx(a,b,m,n均不为零)的值域的一种三角换元求法.     

用定积分直接简证高考理科压轴题

2013年高考全国卷理科压轴题 已知函数f(x)=ln(1+x)-x(1+λx/1+x).(Ⅰ)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值; (Ⅱ)设数列{an}的通项an=1+1/2+1/3+…+1/n,证明:a2n-an+1/4n＞ln 2. 另解 (Ⅰ)先证当λ≥1/2时,f(x)≤0(x≥0)恒成立,即证(1+x)In(1+x)≤x(1+1/2x)(x≥0),即1/2x2+x-(x+ 1)ln(x+1)≥0(x≥0). 设g(x)=1/2x2+x-(x+1)ln(x+1)(x≥0),得g’(x)=x-ln(x+1)(x≥0).     

别证与体悟

问题 (江苏省盐城市2008年2月调研卷试题)设函数 f(x)=-x~3-2mx~2-m~2x+1-m(其中 m>-2)的图象在 x=2处的切线与直线 y=-5x+12平行.(Ⅰ)求 m 的值;(Ⅱ)求函数 f(x)在区间[0,1]上的最小值;(Ⅲ)若 a≥0,b≥0,c≥0,且 a+b+c=1,试根据上述(Ⅰ)、(Ⅱ)的结论证明a/(1+a~2)+b/(1+b~2)+c/(1+c~2)≤9/(10).(*)其中不等式(*)的证明,耐人寻味,催人下笔.谨     

2007年全国高考数学试题品评与展望

十二、以"极限"为背景例12 (重庆)设正数a、b满足(?)(x~2 ax-b)=4,则(?)(a~(n 1) ab~(n-1))/(a~(n-1) 2b~n)=( ).A.0 B.1/4 C.1/2 D.1解析:由(?)(x~2 ax-b)=4,得4 2a-b=4,即b=2a.∴(?)(a~(n 1) ab~(n-1))/(a~(n-1) 2b~n)=(?)(a~(n 1) 2~(n-1)a~n)/(a~(n-1) 2~(n 1)a~n)=(?)(1/(2~(n 1)) 1/4·1/a)/(1/(2~(n 1)·1/a~2) 1/a)=1/4.点评本题新颖之处在于将函数极限和数列极限相结合,打破了以往此类问题单一考查的命题模式.     

一类多项式整除问题的一种证法

我们知道,由二项式定理 (a b)~n=a~n C_1~na~(n-1)b … C_n~(n-1)ab~(n-1) b~n可得 (a b)~n=aM_1 b~n; (a b)~n=a~2M_2 nab~(n-1) b~n; (a b)~n=a~n abM_i b~n; …………其中,M_i(i=1,2,3,…)是整式。利用上述性质可以证明一类多项式的整除问题。兹举例如下(本文中的n均为自然数): 例1 求证(x 1)~(2n 1) x~(n 2)能被x~2 x 1整除。     

应用迭代关系证明等式

对于与自然教n有关的等式的证明问题,如果能够利用其特征建立一个迭代关系式,则问题可迅速获得解决。由下面几个例子,可以略见迭代法之一斑。 [例1] 已知:a b c=0,求证:(a~2 b~2 c~2)~2=2(a~4 b~4 c~4) 证明:设f(n)=a~n b~n c~n,ab bc ca=-p abc=q,为a、b、c为根的三次方程为x~3-px-q=0 由上可得(a~n b~n c~n)-p(a~(n-2) b~(n-     

研究一道奥林匹克试题

2004西部数学奥林匹克试题第三题为:求所有的实数k,使得不等式a2+b2+c2+d2+1≥k(a+b+c+d)对任意a,b,c,d∈[-1,+∞)都成立。文[1]给出它的解为k=34,从而上题可改叙如下:定理1对于任意a,b,c,d∈[-1,+∞),有a3+b3+c3+d3+1≥34(a+b+c+d)。证明见文[1]。进一步研究,又可得到如下的几个定理:定理2设k为大于1的偶数,则当n≥(k-1)k-1时,对坌xi∈R(i=1,2…,n),有:ni=1移xik+1≥nk xi。证明考察函数f(x)=nxk+1-kx,则f'(x)=k(nxk-1-1),令f’(x)=0,由k为大于1的偶数,得x=1k-1姨n,即当xk-1姨1n时f(x)单调增,即fmin(x)=f(1k-1姨…     

对一道考题解法的多角度探讨

<正>一、题目与参考答案题目(武汉市2015届高中月考题)设函数f(x)=xln x.(1)求函数f(x)的单调区间和最小值;(2)当b>0时,求证:b^b≥1(1/e)b≥1(1/e)^(1/e);(3)若a>0,b>0,证明:f(a)+(a+b)ln 2≥f(a+b)-f(b).本题第(1)问较为简单,第(2)问可借用第(1)问结论证明,第(3)问是二元不等式的证明,证法较多.下面对第(3)问的解法作一     

Weisenbck不等式的推广

命题1 设三角形三边长分别为a、b、c,面积为S。则a~n b~n c~n≥2~n·3~((4-n)/4)S~(n/2)(n∈N),当且仅当a=b=c时等号成立。 这个命题是Weisenbck不等式a~2 b~2 c~2≥4 3~(1/2)S的推广形式。 证明:当n=1时,     

《高等数学(1)》自测模拟试题

一、填空题1.函数f(x)=11n(x+2)+4-x2的定义域是。2.函数f(x)=1nx+11-x的定义域是。3.若函数f(x)=5exx<03x+ax≥0在点x=0处连续,则a=。4.设f(x)=exx≥0xk+1x<0在x=0处可导,则k=。5.已知f(x)在x=0处可导,则limx→0f(2x)-f(0)x=。6.若y=xx,则dydx。7.若连续函数f(x)在区间a,b内恒有f′(x)<0,则此函数在a,b上的最大值是。8.设f(x)=x2-3x+2,则f(f′(x))=。9.极限limx→0∫x0costdtx=。10.limx→0∫x0sintdtx2=。11.∫exf′exdx=。12.已知函数f(x)的一个原函数是arctan2x,则f(x)=。13.根据定积分的几何意义,∫3-39-x2dx=。14.广义积分∫+∞adxxpa…     

题库(十八)

1．已知函数f(x)=ax-b/x-2ln x,f(l)=0. (1)若函数f(x)在其定义域为单调函数,求a的取值范围; (2)若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,且an+1= f'(1/an-n+1)-n2+1,已知a1=4,求证:an≥2n+2; (3)在(2)的条件下,试比较1/1+a1+1/1+a2+1/1+a3+…+1/1+an与1/5的大小, 并说明你的理由． 2．设f1(x)=2/1+x,定义fn+1(x)=f1[fn(x)],an=fn(0)-1/fn(0)+2,基中n∈N．     

例说切线法证明不等式

<正>函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义就是函数f(x)的图象在x=x0处的切线的斜率,对凹曲线,其各点处的切线都在曲线下方.利用这个几何特性,我们可以根据不等式构造函数,利用切线法证明不等式,本文举例说明.例1正实数a,b满足a+b=1.证明:a2/(a+1)+b2/(b+1)≥13.证明构造函数f(x)=x2/(x+1),则     

三元整幂不等式及其应用

已知a,b,c∈R~ ,n∈N,p,q,r为非负整数,且p q r=n。则 a~n b~n c~n ≥a~pb~qc~r a~rb~pc~q a~qb~rc~p。 (＊) 证明 由加权平均不等式,有 1/n(pa~n qa~n ra~n)≥a~pb~qc~r,