孰对? 孰错?——一道课本习题的解答研究

1问题苏教版数学选修2?1第23页,本章测试第11题:写出命题"若a=b,则lg a=lg b"的逆命题,否命题,逆否命题;并判断它们的真假性.解原命题:若a=b,则lg a=lg b.逆命题:若lg a=lg b,则a=b.逆否命题:若lg a≠lg b,则a≠b.否命题:若a≠b,则lg a≠lg b.其中,逆命题与否命题是真命题.一般认为     

顺思逆想,剖析一例

大家都知道,一年共有12个月,闰年的二月是29天,又有4个小月,7个大月,所以闰年共有(29×1+30×4+31×7=)366天.现在,沿着这个等式,反过来思考,就形成一个题目:自然数a,b,c满足等式:29a+30b+31c=366(a≤b≤c),那么是否一定有a=1,b=4,c=7呢?答案是“未必”.那么a+b+c是否一定是12呢?答案是“肯定的”.为什么呢?因为这个问题就归结为如下问题:求一个三元一次不定方程29a+30b+31c=366(*)的所有自然数解.分析与解根据题意,可得30(a+b+c)+(c-a)=366,所以30(a+b+c)≤366,可见a+b+c≤33606=1215,所以a+b+c≤12,于是c≤12.又注意到30(a+b+c)是30的倍数…     

y=arc sin-ax+b/bx+a的导数

全日制十年制学校,高中数学第四册(试用本)教学参考书(人民教育出版社出版,1980年7月第1版)对课本第93页第2题5小题:求y=arc sin(ax+b/(bx+a))的导数的答案是y＇=(1/bx+a)(a~2-b~2/(1-x~2))~(1/2)。这个答案是不正确的。也有将上述答案改为y＇=(1/|bx+a|)((a~2-b~2)/(1-x~2))~(1/2)这个答案仍然不妥。现将我们的看法写出如下。首先对该函数的定义域作一番研究。欲使函数有意义,必须,a、b不同时为零,且     

一个生活问题的数学探究

一、问题提出 "我们喝糖水不够甜时可以选择加点糖"这个问题可以从化学的角度解释:在糖水是不饱和的情况下加糖会增加糖水的浓度,所以加糖后会感觉糖水变甜.同样也可以用数学中的不等式来解释:a+m/b+n＞a/b(a表示糖,b表示糖溶液,m表示加的糖).由于是生活中的实际问题a,b,m还应满足a,b,m∈(0,+∞),a＜b.此时这个生活中的实际问题就转化为一个数学问题:     

a与-a哪个大

看到这个题目,有的同学会马上写出a>-a.可这个结论是错误的,问题出在哪里呢?错误的原因在于习惯把a看成正数,-a看成负数.其实在我们学习了用字母表示数后,a可表示任意数,而不仅仅是正数.所以这个问题的答案应是:如果a>0,则a>-a;如果a<0,贝a<-a;如果a=0,则a=-a.     

错在哪里?

<正>1江苏省海州高级中学冯善状(邮编:222023)题已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a,b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3,若数列{an}唯一,求a的值.错解1因为数列{bn}是等比数列,所以b22=b1b3,故(2+a2)2=(1+a1)(3+a3),设等比     

第37届IMO预选题及解答(下)

15.设{a,b},{c,d}分别是两个矩形的长与宽,且a相似文献   

代数式(之七)

代数式之3:练习 1.三位自然数的百位上的数字是x,十位上的数字是O,个位上的数字是5. (l)用a的代数式表示这个三位数; (z)根据公式(a+b)2,写出这个三位数的平方的表达式; (3)现察(2)的结果有什么规律?然后根据这个规律直接写出以下三个平方数的结果: 2052;3052;8052. 2.各设计一个图形,分别说明以下的等式: (l)(m+。)(a十b)=、+赫+、+动; (2)(m+n)(m一n)=mZ一nZ; 3.计算(a一b)“一(a3一b3)+3ab(a一b). 4.当m~854,n一848时,求下面代数式的值: m3一3mZn+2n2(m一n)+mnZ十n3. 5.将下面的代数式写成最简单的形式: (l)9一6a+aZ=; (2)l+3x+3x2+x3…     

北京市1983年中学生数学竞赛初中竞赛试题及参考解答

初中二年级一、选择题本题共有10个小题,每一小题都有(A)、(B)、(C)、(D).(E)五个答案,其中有一个且只有一个答案是正确的.请把你认为正确的那个答案的代号,写在题后的括号内. 1 .3.141”.一刀一丽乳.J 40.0 .1打l打l”,一二这四个实数中无理数的个数是:(A)0;(B)l;(C)2:(D)3:(E)4. 答(B) 2.a、b是实数下面五个命题中正确的是: (月)若a>b、则醉>胁. (B)若!a}>b,则a,>b2. (C)若a>{bl,则a,>bZ‘ (D)若aZ>bZ,则a>b. (E)若a专}b}则a,斗b2. 笔呢、 3.一个数等于它的倒数的四倍,这个数一定是(A)2,(B)1.(C)1/2,(D)一2,(E)以上答案都不对. …     

究竟是哪点电势高?

在图1所示的电路中,a、b两点,是哪点的电势高,在有些参考书和杂志上,都是给出肯定的答案:“a点的电势高于b点的电势”。然而这个答案是不全面的,值得商榷。我们把图1改画成图2的等效图。从图     

2006年加拿大物理奥林匹克(PhO)选译

问题1:两个质量分别为m1和m2的木块用劲度系数为k的理想弹簧连接(如图1),最初这个系统是平衡的.(a)如要使下面的木块跳离桌面,上面的木块须离开平衡位置的最小位移和方向如何?(b)(a)中的答案与比值mm21的依赖关系如何?并证明你的论断.解答:显然,这个问题需利用机械能守恒定律来     

一道题的发散思维训练

20 0 3年 1月下半期《数学教学通讯》P76 周周练中有这样一道题 :点 B、C在线段 AD上 ,M是 A B的中点 ,N是 CD的中点 ,若 MN =a,BC =b,则 AD的长是 .安徽教育出版社的初一《几何基础训练》P16也有类似的一题 ,但是它给出了图形 :和被选答案 :( A) a +b.　　　　 ( B) a +2 b.( C) 2 a - b. ( D) 2 a +b.AD =AM +MN +N D=BM +MN +CN=( BM +CN ) +MN=( a - b) +a =2 a - b显然答案选 ( C) .周周练中给出的参考答案也是 2 a- b.笔者认为这道题作为未给图形的填空题答案不唯一 .可作发散思维的训练 .点 B、C在线段 AD上 ,B…     

二项式系数的性质

1 引导学生利用直觉思维发现二项式系数的性质1教师:请同学们利用杨辉三角形分别写出(a b)~2,(a b)~2,(a b)~3,(a b)~4,(a b)~5,(a b)~6的二项式系数.然后观察对应的二项式系数具有哪些性质?抽一名中上水平的学生 A 将结果写在黑板上,如图1所示.再由这位学生 A 回答上述问题.学生 A:从图1可以看出:在二项展开式     

一元二次方程新题型

一元二次方程是初中数学的重要内容,也是中考设计新题型的热点素材.下面我们来探索一下与一元二次方程相关的新题型. 一、开放发散型 例1关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根,写出一个满足条件的实数b的值:b=____. 解:∵方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根, ∴△=b2-8＞0,..b＞2√2或b＜-2√2, 可取b=3(答案不唯一,满足b＞2√2或b＜-2√2即可). 温馨小提示:开放发散型问题的答案不唯一,只要满足要求即可.     

数列的两个性质

背景 :本文将高一数学新教材第一册(上 )第 1 4 2页复习参考题第 4题 :“有两个等差数列 {an},{bn},a1 + a2 +… + anb1 + b2 + b+… + bn=7n+ 2n+ 3=f ( n) ,求 a5b5.”进行深化延拓 .得到了等差数列与等比数列的两个新的性质 .定理 1　有两个等差数列 {an},{bn},其前 n项和 Sn 与 Sn′之比为 Sn Sn′=f( n) ,则　( 1 ) ambm=f( 2 m- 1 ) ;( 2 ) am+ am+1 bm+ bm+1=f( 2 m) .证明　 ( 1 )∵ {an) ,{bn}均为等差数列 ,∴ 2 am=a1 + a2 m- 1 ,∴ S2 m- 1 =a1 + a2 +… + a2 m- 1=a1 + a2 m- 1 2 ( 2 m- 1 ) =2 ( m- 1 ) am.同理 S2 m- 1 …     

全俄中学生化学奥林匹克竞赛1993年区域级试题

X年级 理论部分试题 一、选择题 完成下列十个选择题,在你认为正确答案的字母上划圈。40分钟内完成。 1.甲基自由基带有何种电荷? a)—3 b)0 c) 1 d) 3 e)不知道 2.2-甲基戊烷有几种分子量比它小的同系物?写出它们的结构式和名称。 a)2 b)3 c)4 d)5 e)不知道 3.在标准状况下,完全燃烧1升甲烷,约需要多少升空气? a)1L b)2L c)5L d)10L e)不知道 4.苯的同系物中组成为C_8H_(10)的有几种?写出它们的结构式和名称。 a)2 b)3 c)4 d)5 e)不知道 5.二溴丙烷共有多少种同分异构体?写出它们的结构式和名称。 a)2 b)3 c)4 d)5 e)不知道     

冯跃峰的一个猜想不成立

设n~a二10-+…+a:·10+a。为任一自然数,a。,…,a。为数码,a.转。,二任N,T(n)=a二+…+a石;现在记T:(n)=T(n),孔+:(n)=T(孔(n)),k=l,2,…,则T,(n)称为T的k次迭代.对于给定的r任N,以Q(r)表示迭代{几(n)}中的循环圈数,如Q(l)~9,Q(2)=z,Q(3)=9,冯跃峰猜想:对:eN,有Q(2:一1)=9,Q(25)=2. 这猜想是不成立的,例如:Q(4)一6而不是2.具体的循环圈是 {l},{1 634},{8208},(9474},{6514,2 178},{1138,4179,9219,13139,6725,4388,4514}. 〔编者附记〕冯跃峰这一猜想见《中等数学》1993年第2期《短论集锦》,后又收入杨之编著的《初等数学研究的问题与…     

简易逻辑中的常见错误

高一《数学》新教材第一册 (上 )中增加了“简易逻辑”内容 ,从教学实践与一些辅导书上看 ,由于是新增内容 ,师生都不十分熟悉 ,常犯一些典型错误 ,本文根据自己的教学体会 ,就以下常见错误进行剖析 ,并提出建议 :问题 1　“都是”、“所有的”、“至少一个”…的否定形式是什么 ?例 1　写出命题“a、b都是偶数 ,则a +b是偶数”的逆否命题 .(教材P .42 11题 )误解 :a +b不是偶数 ,a、b都不是偶数 .解 :a +b不是偶数 ,a、b不都是偶数 .例 2　“至多有三个”的否定为 (　　 ) .A .至少有三个　　　　B .至少有四个C .有三个　　　　　　D .…     

数学综合测试题

一、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.写出一个带根号的有理数____________.2.计算姨2005的近似值,它的整数部分为:____________.3.有一个数据转换器如下示意图:输入数据→÷6→×(-7)→+26→输出数据经过这个数据转换器后,如果输出数据与输入数据相同,那么这个数据应该是____________.4.如图1,一块直径为a+b的圆形钢板,从中挖去直径分别为a与b的两个圆,则剩下的钢板(阴影部分)的面积为____________.5.反比例函数y=6x上有三点(-1,a),(-2,b),(3,c),则将a、b、c用“<”连接起来:____________.6.如图2是对顶角量角器,用它测量角的原…     

正确理解定义是区分正误的关键——《对人教A版选修2-1一道习题答案的质疑》的质疑

正人教版A选修2-1P98有一道习题:已知空间向量→a,→b,→c是空间的一个单位正交基底,向量→a+→b,→a-→b,→c是另一个基底.若向量→p在基→a,→b,→c下的坐标为(1,2,3),求→p在基底→a→+b,→a-→b,→c下的坐标.《教师用书》给出的答案是:→p在基底→a+→b,→a-→b,→c下的坐标为(32,-12,3).《数学通讯》2012年第12期的《对人教A版选修2-1一道习题答案的质疑》认