均值代换在解竞赛题中的应用

将x＋y=m中的x、y分别用m/2＋t、m/2-t来代换,这种代换通常称为均值代换．用均值代换解一些数学竞赛题可以简化解题步骤,收到理想的解题效果．下面举例予以说明．     

利用均值代换解一类三角函数的取值范围问题

护l|Jv、l|、 冷 若, y一A或xy一B(B>0)(1)则分别可令:丫,万下厂,y=5 inxl簇1eosy}(l A_、十t,y一二子一t飘x一 ‘抓石丁,.一了一、1了石丁:簇1门可了万t(t笋0)(2) 通常把(2)统称为(1)的均值代换,其独特功能在于分离了变量x,y,从而架起了由已知通向结论的桥梁.本文利用均值代换,解一类三角函数的取值范围问题,供大家参考. 例1已知sinx Zeosy=2,求Zsinx “Osy的取值范围.蕊t成 1护同~ ,.,,1二;》l“l畏之t“畏二;下于了 l“}所以A一2 一一 Xcos二sin,卜不一平一-八 ·2一(才2 去)解:由已知可设sinx~1 t,cosy=1一t 2因为。<】aI<1,所以~,…     

分母代换巧解不等式竞赛题

代换法,即变量替换作为一种重要的数学思想方法被广泛地应用于数学竞赛试题的求解与证明之中.变量代换往往能简化题设信息,显化隐含条件,构架条件与结果的联系通道,对发     

浅谈构造函数解竞赛题

在数学解题活动中，当常规的推理不能奏效时．更多地需要对问题的条件和结论进行观察、广泛联想，创造出沟通已知与未知之间的桥梁．即通过构造一定的数学模型，来打开解题的通道，这种解题方法称为构造法．历史上有许多的数学家曾用构造方法成功地解决过数学上的难题．如欧几里德在《几何原本》中证明“素数的个数是无限的”就是一个典型的范例．     

均值参数代换法及其应用

所谓均值参数代换法指的是运用下列代换的方法：设（）的算术平均值为S,则总存在着参数使得显然,在均值参数代换下,参数的代数和为零,即i一1运用均值参数代换法解题不仅可以化难为易,以简驭繁,而且别具一格,独开生面,下面从四方面举例说明．（1）解方程（组）例1确定方     

利用整数奇偶性巧解数学竞赛题

在高中数学竞赛中,整数理论是一个重要的内容,整数具体而又简单,很多整数问题看起来十分明显,但要论证颇为困难,需要有一定的技巧和别具一格的解题方法.而整数的奇偶性有着非常明显而简单的性质和特点,是我们解决问题的一种重要分类方法.本文从四个不同的侧面来谈一谈它的应用.     

巧用均值代换解题

运用数学对称美解题能优化解题思路，简化解题过程．例如在二元字母的一些问题中，巧妙运用均值对称代换x=x y/2 t,y=x y/2-t,可使问题获得简捷、漂亮的解法．     

用代换法求函数值域

代换法是一重要的数学方法，运用它可使问题化繁为简、化难为易。它是一种思路生动、行之有效的方法，下面给出其一般原则。定理若φ（x）是集合A到集合B上的函数，f（μ）的定义域为B，那么f（μ）与f［φ（x）］的值域相同。即设M＝yy＝f（μ），μ∈ ，N＝yy＝f［φ（x）］，x∈ ，则有M＝N。证明：在M中任取一点y０，由M的定义，必存在μ０属于B，使得f（μ０）＝y０；由于μ０∈B，φ（x）是A到B上的函数，因此必有x０∈B，使得φ（x０）＝μ０，这时y０＝f［φ（x０）］，x０∈A，从而y０∈N。反之，在N中任取一点y０，…     

三角代换法解代数问题

有些代数问题 ,当我们用代数方法解决时 ,会觉得束手无策 .如果通过三角代换把它们转化为三角问题 ,不仅可使题中各量之间的关系变得直接明了 ,结构特征显现 ,而且代数中原来繁琐、复杂的运算变成了简单、灵活多变的三角运算 .本文将探讨两类适合用三角代换法解决的代数问题 .一、式子结构与三角公式的形式相同例 1　 (第 1 5届全俄中学生竞赛题 )数列ａｎ 满足ａ0 =13 ,ａｎ =1 +ａｎ- 1 2 (ｎ=1 ,2 ,… ) ,求证 ａｎ 是单调数列 .分析　由已知ａｎ =1 +ａｎ- 1 2 ,容易看出递推公式与余弦函数的半角公式结构完全一致 ,故考虑用三角代换 .…     

用“代换法”巧解题

有些题目用常规方法很难解答,若用“代换法”则可以简繁敏、化难为易。此题若直接计算则很繁琐,不妨用“代换法”解之。设 ａ＝　＋　＋　＋　,ｂ＝　＋　＋　＋　＋则原式＝（１＋ａ）×ｂ—（１＋ｂ）×ａ 例２．化简 此题直接约分很难找出分子、分母的最大公约数。 设 ａ＝５８,ｂ＝８５。 则原式 例３．某人上山每小时行３千米,下山每小时行５千米,求他上、下山的平均速度。 此题没有给出路程这一条件,似乎无法解答,若用“代换法”则可迎刃而解。 设从山顶到山下的路程为ａ千米,则可列式为： 　　　　　　　　　（千米）答（略…     

利用均值代换法解竞赛题

在数学竞赛中,常常遇到含有x y=A型条件的问题,我们设用x=A/2 t,y=A/2-t来代换参与运算——均值代换。“均值代换法”是数学解题中的一种常用有效解题方法,既可揭示化难为易的思维规律,又能体现以退求进的解题策略,恰当施行“均值代换”,可把内容与形式、方法与知识结合起来思考,使我们的解题思路更加灵活,解题过程更加完美,收到事半功倍之效应。本文试就以下几个方面的应用举例,来领略其风采。1 求值     

巧用十字相乘法解竞赛题

十字相乘法是初中数学中重要的解题方法之一，并且也是解形如ax^2 bx c=0(a≠0)方程时的一个重要方法．请看下列例题．     

用三角代换法研讨两道竞赛题

2009年江苏省高中数学竞赛初赛试题中的两道题分别是：     

图象相交法在解物理竞赛题中的应用

图象相交法就是利用作图法求出函数图象的交点坐标值,从而近似解答物理问题的方法,是解决物理问题的重要方法之一,具有广泛的应用.纵观近几年的物理竞赛试题,越来越注重这种方法的应用.某些试题不利用图象相交法是难以求解的.因此参赛选手必须掌握这种方法.本文结合实例谈谈这种方法在解物理竞赛试题中的应用,供参考.     

和差代换在解竞赛题中的应用

此种代换称做和差代换．和差代换是一种非常重要的解题技巧，其应用很广泛．