函数观点在解题中应用（二）—用函数观点证明几何定值问题

证明定值问题是平面几何、解析几何教学中的一个难点问题.特别是定值问题的定值未告知时,尤为困难.很多同学初学时感到这类问题不知从何入手,在本文中我们介绍用函数观点来证明几何定值问题的思路.用函数观点来证明几何定值问题,就是把证明几何定值问题归结为证明某一函数f(x)或某一多元函数f(x1,x2,…,xn)恒等于常数. 例1 己知圆O的半径OA与直径BC垂直,过A引任一弦AD交BC于E,交圆O于     

一种基于R-函数的自适应线搜索信赖域算法

文章利用R-函数,就无约束优化问题提出一类带有线搜索的自适应信赖域算法.算法中信赖域半径更新依赖于R-函数.在一定条件下,证明算法的全局收敛性,并给出相应的实验结果.     

微积分在不等式证明中的应用

不等式是数学的重要内容,证明不等式的方法多种多样,有些不等式用初等方法来证明需要较高的技巧,甚至有时有些不等式根本无法用初等方法来证明.而有时利用高等数学中微积分的有关知识来证明不等式,可以使证明的思路变得简单,技巧性降低.在此总结出三个可直接用于证明不等式的命题,阐述如何利用高等数学中函数的单调性、拉格朗日中值定理、函数的极值与最值、函数凹凸性、泰勒公式、积分中值定理及其性质来证明不等式.     

Lagrange定理证明中辅助函数的构造

给出以Rolle定理为基础,用不同构造辅助函数的方法来证明Lagrange定理,强调了证明Lagrange定理过程中辅助函数构造的思维过程.     

引领数列不等式证明的函数意识

数列与不等式结合的证明问题一直是高考的热点,也是中学数学教学的难点,在高考中常为压轴题.数列是一类特殊的函数,用函数意识指导对数列不等式证明问题的分析,是解决此类问题的一种通法,若善于观察捕捉问题中变量之间的相互依赖关系,构造恰当的函数,则问题便可在研究函数的图象、性质的基础上,转化为用函数的单调性、最值等加以解决.     

借助导数 巧用函数性质证明不等式

正不等式证明是高中数学的重点难点之一.不等式的种类繁多,证明的方法也难易悬殊,使用的技巧各异,尽管教材中对不等式的证明给出了系统的总结,但是有很多不等式,我们还是较难快速简洁地证明它.特别是有些不等式,如果用常用的初等方法去证明,我们会感到无从下手.这时如果我们如果将它作个恒等变形,使它转化为我们较熟悉的函数不等式,再借助导数,利用函数的相关性质来证明,往往会事半功倍.一、利用函数单调性证明不等式     

可导函数严格单调的充要条件

本刊今年第一期刊登了陆俊峰同志“从去年一道高考数学题谈起”一文,文中提到复合函数的单调性的四个判定定理也可以用导数来证明(只要定理加上可导的条件),但文中未作具体证明.用导数证明复合函数单调性的定理,其证明方法本身较麻烦,不宜介绍,然而在用导数讨论函数单调性的一类问题中,容易把可导函数严格单调的充要条件弄错.这是一个常见的概念错误.为了澄清概念,扩大视野,本文从分析错误的证明入乎,给出可导函数严格单调的充要条件(下文“增”和“减”都是严格的).     

试论用“配方法“证明多项式函数的极限

用ε-δ语言证明函数的极限,关键在于对任意给定的正数ε,如何找出相应的正数δ,多项式函数极限的证明也是如此.本文采用配方的方法找出了这样的δ,从而使多项式函数的证明问题得到规范化、公式化的解决.     

解析函数的一个性质及其推广

本文用向量法证明了单复变函数中解析函数的一个性质,并把此性质及证明方法推广到单复变函数中多个函数的情形,从而更进一步把这个性质推广到多复变函数中.     

对微分中值定理证明中辅助函数的探讨

罗尔定理,拉格朗日定理和柯西定理是三个重要的微分中值定理.它们是导数应用的桥梁,在微积分学中有着广泛的应用,因而对它们应该有深刻的认识和理解,进而准确地用它们解决问题.关于它们的证明,一般是在证明罗尔定理的基础上,构造辅助函数,然后对辅助函数应用罗尔定理来证明后两个定理.本文对辅助函数的形式和作法上作一点探讨.     

例谈用函数思想指导数列不等式的证明

数列不等式的证明是中学数学教学的难点,在高考中常为压轴题.用函数思想指导数列不等式证明的分析,是解决此类问题的一种通法,若善于观察捕捉问题中变量之间的相互依赖关系,构造恰当的函数,则问题便可用函数的图象、性质等,通过研究其单调性、最值等加以解决.     

演好用导数证不等式的前奏——构造辅助函数

用导数证明不等式是证不等式的一种重要方法,证明过程往往简捷、明快,特别是证明超越不等式,更是如鱼得水.证明的第一步要考虑如何构造函数,是证明的关键.若函数构造恰当,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式.本文谈谈在用导数证明不等式时,构造辅助函数的几种常用途径.     

导数视角下构造函数证明不等式的解题策略

<正>现行高中数学教材中,导数已成为研究函数性质的一种重要工具.在新课程背景下,不等式的证明已大幅度降低要求,但是不等式证明中蕴含着丰富的数学思想与数学方法,各类考试特别是高考压轴题位置依然会出现不等式证明问题.只是用纯不等式的方法解决不等式证明已不多见,一般情况都需要利用转化与化归思想,转化为函数,进而通过求导,进一步转化为函数的单调性、极值、最     

谈■sinx/x=1的证明

作为微积分中两个重要函数极限之一的是三角函数求导的基础(它本身就是sinx,在x=0处的导数)。正因这样,每一本微积分教科书都少不了要给它一个证明。证明方法大同小异。都是从下面的图形(图1)出发,其中x为用弧度度量的半径为1的圆心角。AD为过弧x的端点的关于圆的切线。显     

用函数方法巧证不等式

用函数方法证明不等式 ,常常能够方便地给出证明 .用函数方法证明不等式的关键是结合不等式的结构特征构造适当的函数 ,以便于利用这一函数的有关性质证明所给的不等式 .例 1　若ａ >ｂ>0 ,ｍ >0 .求证 :ａｂ >ａ +ｍｂ+ｍ.证明　令 ｆ(ｘ) =ａ+ｘｂ +ｘ.由ａ>ｂ可设ａ =ｂ+ｃ(ｃ >0 ) ,则ｆ(ｘ) =ｂ+ｘ +ｃｂ +ｘ =1+ｃｂ +ｘ.当ｘ∈ (0 ,+∞ )时 ,ｆ(ｘ)为减函数 .∵　ｍ >0 ,∴　ｆ(ｍ) <ｆ(0 ) .即 ａｂ >ａ+ｍｂ+ｍ.注　用函数方法证明不等式 ,往往要利用所构造函数的单调性 .例 2　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ .证明 :ａ2 +ａｃ+ｃ2 +3ｂ(ａ+ｂ+…     

曲线运动中曲率圆半径的求解

物体做曲线运动时,曲线的弯曲程度不同,曲率圆的半径大小就不同.曲率圆半径小的地方弯曲程度就大,反之就小.数学上用曲率圆半径公式R=(1+y′2)3/2/y″来计算,其中y′是函数y的一阶导数,y″是函数y的二阶导数.本文从圆周运动的角度计算曲率圆半径.即物体做曲线运动时,要算某一点的曲率圆半径,算出该点的速度,然后将合外力沿垂直于该速度的方向分解即为向心力,根据F向=mv2/R计算出曲率圆半径R.     

凹函数的等价条件及其应用

在大学数学学习中,凹函数是比较特别的一类.在数学分析、概率等课程中的一些不等式的证明问题,利用凹函数的等价条件可以很简洁、巧妙地得以证明.利用凹函数证明不等式的关键是构造出能够解决问题的函数.     

1／4级星形函数的凸性半径

本文证明了1／4级星形函数的凸性半径为5-√21。且r0=5-√21是精确的。     

星象函数的d*/d的估计

设S是单位园盘D={z;||z|<1}内的单叶解析函数族,其中的函数f(z)映射D为关于w=0的星象区域用r=r(f)表示f(z)的凸性半径. 本文中证明了,其中     

2004～2005学年度第一学期江苏省南通一中——南通中学初三期末联考数学试题(填空题部分)

(每题2分,共26分)1.点(1,-2)在第象限.2.用反证法证明:“在一个三角形中,不能有两个角是钝角.”可假设:.3.函数y=-x-5√自变量x的取值范围是.4.到定点A的距离等于2cm的点的轨迹:.5.已知⊙O中弦AB的长等于半径,弦所对的圆周角为度。6.直线y=1-5x上的两点A(x1,y1)、B(x2,y2),若x1