巧用公式cosθ=cosθ_1·cosθ_2解题

巧用公式cosθ=cosθ1·cosθ2能妙解许多问题,下面举例说明.一、用于求空间角例1如图1,PA是平面α的斜线,∠BAC=90°,又∠PAB=∠PAC=60°,求PA与平面α所成的角.     

cosθ=cosθ_1·cosθ_2的应用

现行《立体几何》课本第116页的总复习参考题第3题是这样叙述的:如图,AB和平面α所成的角是0_1,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′成角0_2,设∠BAC=0,求证:     

cosθ_1·cosθ_2=cosθ应用纵横谈

著名数学家Ｇ·波利亚说过：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目,去帮助学生发掘问题的各个方面,使得通过这道题,就好像通过一道门户,把学生引入一个完整的理论领域．”下面一道习题,因其优美简洁的结构,丰富的内涵,潜在的应用功能,...     

例析公式cosθ=cosθ_1cosθ_2的应用

斜线AB与平面α所成的角为θ1,A为斜足,AC在α内,且与AB的射影成θ2角,∠BAC= θ,则有cosθ=cosθ1cosθ2(*). 这个公式在新教材中要求学生掌握.笔者在教学实践中发现,学生对它的应用很不熟悉.本 文试图归纳它的几个应用.     

浅谈公式“cosθ=cosθ_1cosθ_2”的应用

在高中立体几何课本中,有一道习题如下:如图,AB和平面a所成的角是θ_1,AC在平面a内,AC和AB的射影AB′成θ_2角,设∠BAC=θ,求证:cosθ=cosθ_1cosθ_2 (1) 运用公式(1),需具备如下条件: 在三面角中,若两个面角所在的平面成直二面角,那么它所对面角的余弦等于这两个面角的余弦之积。公式(1)是球面三角中三面角余弦定理的特殊情     

公式cosθ=cosθ1·cosθ2的应用举例

高中数学课本[人教版第二册(下B)p.44]给出了公式cosθ=cosθ1·cosθ2,其中公式中的θ1是斜线与平面所成的角,θ2是平面内的直线与斜线在平面内的射影所成的角,而θ是斜线与平面内的直线所成的角,当平面内的直线不过斜足时,θ就是两条异面直线所成的角. 对某些两条异面直线所成的角以及斜线和平面所成的角问题,灵活应用此公式可比较方便的解决,下面举例说明.     

巧用公式cosθ_1cosθ_2=cosθ解直二面角题

如图,AB和平面α所成的角是θ,,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′,成角θ2.设∠BAC=θ,求证:cosθ1cosθ2=cosθ.     

cos_θ=cosθ_1·cosθ_2的一个妙用

在立体几何中 ,有一个常见的模型 :图 1　　　　　　　　图 2如图 1,已知直线a、b、l与平面α满足a α ,b α ,a∩b =P ,P∈l ,l与a、b成相等的角θ ,在l上任取异于点P的Q点 ,过Q作QK⊥α于K ,那么K点到直线a、b的距离相等 ,即K点落在∠APB(或其补角 )的平分线所在的直线上 ,记∠QPK =θ1 ,∠KPB =θ2 ,不难得到cosθ =cosθ1 ·cosθ2 .运用上述结论 ,可解决过空间一点P且与两直线 (包括二异面直线 )成等角的直线的条数问题 .2 0 0 4年高考数学 (湖北卷 )第 11题 :已知平面α与 β所成的二面角为 80° ,P为α、β外一定点 ,过点P…     

例析公式cosθ=cosθ1cosθ2的应用

一、证明角之间的不等关系 由cosθ=cosθ1 cosθ2可得:①θ1≤θ,这即是最小角定理;②θ2＜θ,这个结论学生不大会用.     

也谈cosθ=cosθ_1cosθ_2的引伸及其应用

贵刊文[1]提炼出下述结论:“在两个互相垂直的平面的交线上任取一点,过这点在两个平面内各作一条射线,设这两条射线在过这点的交线的垂面的同侧且与交线所成角分别为J1,"2,这两条射线所成角为",则有cosO=cosO_1cosO_2”,并对此条件等式的记忆、使用及从余弦形式到正弦形式的引伸作了深入浅出的教学探讨,受其启发,笔者在教学中对此条件等式作了进一步引伸,和学生一道     

解题勿忘公式:cosθ1cosθ2=cosθ

如图1,直线AB和平面α所成的角是θ1,直线AC在平面α内,AC和AB的射影AB’所成的角为θ2,设∠BAC=θ,则cosθ1cosθ2=cosθ.此公式在新教材中列为了必学的内容,大大提高了其地位.下面举例谈谈它的应用.一、用于求直线与平面所成的角     

条件等式cosθ=cosθ_1cosθ_2的引伸

立体几何课本第117页有一道习题:如图1,AB和平面α所成角是θ_1,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′成角θ_2,设∠BAC=θ,求证:cosθ_1·cosθ_2=cosθ(1)。此题证明并不难,利用三垂线定理和直角三角形中的边角关系,即可证得。值得指出的是可以引导学生从这个等式中学到更多的东     

利用公式cosθ=cosθ3-cosθ1cosθ2/cosθ1cosθ2求二面角

二面角在立体几何教学中有着突出的地位,同时它又是教学的一大难点。因为二面角不能直接度量,只能利用它的平面角来度量的,而平面角的顶点是“活”的,可以在“棱”的任意位置上,它的两边虽然都与“棱”垂直,但空间两线垂直不直观,难以把握．     

cosθ=cosθ_1·cosθ_2——三垂线定理及逆定理的推广

贵刊1996年第5期刊载了周民先生的《cosθ=cosθ_1·cosθ_2的应用》一文,(以下简称《应用》文)论及现行《立体几何》课本第117页第3题的三个方面的应用。依笔者之见,该习题的核心应是从另一角度解决了一类空间二直线所成角的问题。其理论价值,它可作为三垂线定理及逆定理的一个推广。为叙述方便,现仍给出原命题:     

用公式cosθ=cosθ1cosθ2求空间角

给出公式cosθ=cosθ1cosθ2的证明和公式的一个推论，以2005年部分高考试题为例说明公式的运用。     

用cosθ=cosθ_1cosθ_2求两直线所成角

如图1,AP与平面α所成角是θ1,AC在平面α内,AC与AP在平面α内的射影AB所成角是θ2.AP与AC所成角是θ,则有     

公式cosθ=cosθ1 cosθ2的功能开发及运用

现行全日制高级中学试验修订教材重点介绍了公式cosθ=cosθ1 cosθ2(第二册下BP44)，并由此推出了最小角定理．相应的《教师教学用书》(P21)要求学生“掌握公式cosθ=cosθ1 cosθ2，会用这个公式解决一些问题”．并进一步地指出“在给出这一结论后，应作一些探讨，……，让学生真正体会其变形的目的”。     

公式cosθ=cosθ_1·cosθ_2的妙用——利用最小角定理解高考题中的两类角

人教版高中数学第二册(下B)第43页在讲解直线和平面所成角时有如下结论:如图l所示,OA 和平面α所成的角是θ1,AC在平面α内,AC与OA 在平面α上的射影AB所成的角为θ2,设∠OAC= θ,则有cosθ=cosθ1·cosθ2(证明可参照课本)．     

你会用cosθ=cosθ_1·cosθ_2吗?(高二、高三)

图1是证明“斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角”的示意图.当我们完成这一重要结论的证明后,重新审视此图,发现:     

值得注意的“cosθ=cosθ1·cosθ2”

统编高中数学第二册P_(100)第九题,如图,AB和平面a所成的角是θ_1,AC在平面a内,AC和AB的射影AB成角θ_2,设∠BAC=θ,则 cosθ=cosθ_1·cosθ_2(*) 其证明不难,但运用有一定的广泛性。兹举凡例说明之。例1:已知一个直角三角形的两直角边长为a、b,把它沿斜边上的高折成直二面角,求两边夹角的余弦