巧用曲线系方程解题示例

在中学解析几何教材中,经常出现＂求过两条曲线交点和另一个条件的曲线方程,或证明两曲线交点同在某一条曲线上＂这类题型.如果按常规方法：解题则是先求交点再求方程,往往较繁,也较难.此时若能巧用曲线系方程来求解,将会使解题方法简单化.     

用曲线系方程解题应注意的两个问题

大家都知道 ,过两曲线ｆ1(ｘ ,ｙ) =0 ,ｆ2 (ｘ ,ｙ) =0的支点的曲线系方程为ｆ1(ｘ ,ｙ) λｆ2 (ｘ,ｙ) =0 (λ∈Ｒ) .利用它来处理解几中过两曲线交点的某些问题显得特别方便 ,但是运用曲线系方程时应注意以下两个问题 .1　应判定解的存在性应判定解的存在性 ,是指解题之前首先应判定曲线ｆ1(ｘ,ｙ) =0与ｆ2 (ｘ ,ｙ) =0是否有交点 .如果有交点 ,则可用曲线系方程解之 ;如果无交点 ,说明本题无解 ,否则就可能将无解题求出解来 .例 1　求过两圆ｘ2 ｙ2 - 2ｘ - 3=0和ｘ2 ｙ2- 10ｘ 2ｙ 2 5 =0的两个交点的直线方程 .解　过两圆交点的曲…     

例谈平面解析几何的“神“与“形“

解析几何是数学中的一个重要分支.本文通过对教材和高考题目的分析阐述了如何抓住曲线的方程来研究其性质,如何利用"点在曲线上"与"坐标和方程组"的内在关系解题.解析几何是通过坐标系把点和坐标,曲线和方程联系起来的一个数学分支,它是数学中数形结合的典范.通过用方程来研究曲线的性质,从而达到用代数方法来研究几何问题的目的,这就是解析几何的神来之笔,既"神";几何中的点与曲线的关系,是通过点的坐标与曲线的方程来体现的,从而"点在曲线上"就成了平面解析几何中最基本和最重要的表述,它是实现用代数方法来研究几何问题的一个基石,也就是平面解析几何的"形".     

佯求交点法

解析几何里求两曲线交点的轨迹方程,虽然可以从这两个曲线方程求出它们的交点坐标所表示的参数方程,但实际上大多数题目根本不需要去解方程组,而是将两曲线方程联立之后佯求交点,即直接从这两个方程消去参数得出交点轨迹的普通方程来。像这样处理两曲线交点轨迹问题的方法可称为佯求交点法。 例１．设Ａ１、Ａ２是一个圆的一条直径的两个端点, Ｐ１Ｐ２是与Ａ１Ａ２垂直的弦,求直线Ａ１Ｐ１与Ａ２Ｐ２交点的轨迹方程。 分析：某刊物提供如下解法： 解：如右图, 设圆的方程为ｘ２＋ｙ２＝Ｒ２（Ｒ＞０）,则Ａ１（－Ｒ,０）、Ａ２（…     

过两曲线交点的曲线系方程的应用

我们知道,方程f1(x,y) λf2(x,y)=0表示的曲线经过f1(x,y)=0和f2(x,y)=0交点的曲线系方程.利用上述曲线系方程求过已知两曲线交点的新曲线方程,可避免求交点的坐标,其方法如下.     

巧设方程妙解题

确定曲线方程是一类重要题型，待定系数法是解决这类题的常规方法，具体思路是：先确定方程的类型，再结合题目条件列方程组，求出参数．在许多情况下，由于对曲线方程形式的选择不同，导致计算量上有很大差别．因此，选择合适的方程显得非常重要．     

有关两条曲线交点问题的一种解法

在解析几何学中,如果所给题目涉及到两曲线的交点问题时,我们往往是根据曲线和方程的关系直接求出两曲线交点的坐标,或应用韦达定理、利用经过两曲线交点的曲线系方程的方法来解.但是,应用这些方法解题,往往计算较繁,证明复杂.现介绍一种解法.以开拓解题思路,简化解题过程,供大家参考.     

提高高中数学解题教学有效性的探究

<正>解题教学是高中数学教学的中心工作,只有学生的解题效率提高了,学生的解题能力才能得到有效的提升,教学质量才能真正得到提高.笔者根据多年的教学实践经验,就如何提高高中数学解题教学的有效性谈一些粗浅的看法.一、拓展学生的思维1.求过两直线交点的直线方程(1)归纳梳理1求过两条直线的交点的直线方程时,一般是先通过解方程组,得到交点坐标,再结合其他条件,求出直线方程.2求过两条直线的交点且与某直线平行或垂直的     

用方程思想处理一类圆与双曲线的位置关系需注意的问题

利用曲线方程研究两曲线的位置关系,是解析几何研究的重要内容,为了确定两曲线的交点个数,通常是将两曲线方程联立,通过方程组的解的组数来确定交点个数,但如果曲线方程中有一个是双曲线,则在消元化归为一元二次方程求解时,除了考虑方程是否有解的情况外,还必须考虑方程解的取值范围.否则,将出现错误,下举两例说明之.     

评注曲线系解题

(本讲适合高中)曲线系是指具有某种性质的曲线的集合,曲线系方程是指含有参数的方程,当参数变化时分别对应所有这些曲线.利用曲线系解题就是先直接设出符合部分条件的曲线方程,再根据题中的其他条件,通过推理、运算得出曲线系方程中参数应取的具体值,从而实现问题的解决.本方法既可运用于求解曲线方程问题,又常见于证明多点共线、多线共点等问题.运用此方法往往可免除解联立方程组、求交点等麻烦,着重体现参数变换、整体处理、“待定系数”等数学思想和方法.例1若双曲线的两条渐近线方程为y=±32x,且经过点M(92,-1),试求其方程.解:以y=±23…     

“在”与“过”，有所不同

曲线在某点处的切线方程与曲线过某点的切线方程不同,在解题过程中,这是一个易混点．求曲线的切线方程时,首先要判断所给点是否在曲线上．若在曲线上,可用求切线方程的一般方法求解;若不在曲线上,可先设出切点,写出切线方程,结合已知条件求出切点坐标或切线斜率,从而得到切线方程．     

浅谈曲线的方程

平面解析几何是用代数方法研究平面几何图形的几何性质的一门数学学科.平面解析几何研究问题的方法是解析法,也叫坐标法,就是借助坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线,再通过对曲线方程数的特点的分析来认识曲线的几何性质.因此平面解析几何研究的主要问题之一就是根据已知几何条件求出表示平面曲线的方程.下面我们就来谈谈关于曲线方程的几个问题.     

“曲线与方程”:用古希腊轨迹问题串联

在"曲线与方程"的教学中重构历史,引入古希腊轨迹问题并进行特殊化处理,按照从"二线"轨迹问题到"三线"轨迹问题,再到"四线"轨迹问题的顺序进行设计,从而呈现解析几何的自然诞生过程,激发学生的学习动机,让学生体会其中的思想方法,深刻理解曲线和方程之间的关系。课后反馈表明,这样的教学取得了较好的效果。     

过两曲线交点的曲线系方程的应用

本文简单的介绍了利用曲线系方程求过两曲线交点的新曲线方程,利用这个方程,可以避免求交点坐标的计算。     

曲线系方程应用一瞥

众所周知,过曲线F1（x,y）=0与F2（x,y）=0交点的曲线系方程可表示为F1（x,y）＋λF2（x,y）=0.下面就曲线方程的应用简举几例.     

撷寻常之材筑高考之路--浅探《曲线与方程》

曲线与方程是解析几何中不容忽视的重要内容,它为研究曲线的性质提供了重要的前提,在高考中也常有涉及,经常在解析几何题目的第一问中考查。如何求动点的轨迹方程是其重中之重,学习时需要掌握常用的求解方法。本文根据曲线与方程的含义要点,结合例题浅谈求轨迹方程的常用方法,旨在启发学生善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互关系,总结和归纳求轨迹方程的常用方法,提高学生的解题能力、优化学生的解题思路。     

用方程思想处理一类圆与椭圆、双曲线的位置关系需注意的问题

<正>利用曲线方程研究两曲线的位置关系,是解析几何研究的重要内容.为了确定两曲线的交点个数,通常将两曲线方程联立,通过方程组的解的组数确定交点个数.但如果曲线方程中有一个是椭圆或双曲线,则在消元化归为一元二次方程求解时,除了考虑方程是否有解的情况外,还必须考虑方程解的取值范围,否则,会出现错误.下面举几例说明.     

几个平面图形的方程

本文就几个常见的平面图形,从另一种角度展开讨论,即用方程的形式描述.方程可以表示曲线,而某些由单纯线段或曲段构成的图形,却鲜有提及所谓的方程.本文将给出如下的菱形、对角线垂直的四边形(四段弧线)、矩形、等腰梯形、平行四边形、正六边形以及它们之间的联系,希望取得抛砖引玉的作用.     

轨迹问题中条件使用的选择

中学数学的解析几何中,有一个很重要的问题,就是求曲线方程的问题(也就是常说的轨迹问题)．其基本方法是：1．建系、设点;2．写出轨迹的条件;3．将条件转化为x,y的方程;4．证明方程的任一组解对应的点在轨迹上。正确、快捷地求出问题中的轨迹方程,正确选择使用题目的条件是至关重要的．也是学生学习时最容易忽略的．     

点差法巧解椭圆中的范围问题

正点差法,顾名思义"代点作差",是解决解析几何中点弦相关问题的重要方法,在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点,并把交点代入圆锥曲线的方程,作差,求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.其特点是计算简便,尤其是在椭圆中,运用起来方便、快捷,可以达到"设而不求"的目的,同时降低解题的运算量,优化解题过程.该方法的原型为: