变换条件 引导探索──从一道课本例题谈起

九年义务教育三年制初中几何第二册２３３页例５是一道探索性题目。原题如下： 已知△ＡＢＣ,Ｐ是边ＡＢ上的一点,连结ＣＰ。 （１）∠ＡＣＰ满足什么条件时,△ＡＣＰ∽△ＡＰＣ; （２）ＡＣ满足什么条件时,△ＡＣＰ∽△ＡＢＣ。 如图１,在引导学生由结论探索出应满足的条件：（１）∠ＡＣＰ＝∠Ｂ,（２）ＡＣ：ＡＰ＝ＡＢ：ＡＣ后,若就此罢手,似太可惜。为充分发挥例题的示范作用及潜在应用价值,还可从条件变化,引导学生探索结论的变化情况。 探索１：在图１的基础上,作∠Ａ的平分线交ＣＰ于Ｆ,交ＢＣ于Ｅ,如图２。（１）在此…     

浅谈思维品质的优化

数学教学的最终目的是提高每个学生的数学素养 ,数学素养的核心是数学思维 .发展思维能力 ,优化思维品质是数学教学的一项中心任务 ,也是素质　　　　　图 1教育的需要 .那么 ,在例题的教学中 ,如何培养学生的思维能力 ,优化学生的思维品质呢 ?下面以一道题目的研究性教学为例 ,谈些浅见 .题目　如图 1,ＰＡ=ＰＢ ,∠ＡＢＰ =2∠ＡＣＢ ,ＡＣ与ＰＢ交于点Ｄ ,且ＰＢ=4 ,ＰＤ =3,则ＡＤ·ＤＣ =.1　一题多解 ,培养学生思维的广阔性、灵活性、独创性现代教学论认为 :实现教学目的一个行之有效的方法 ,是引导学生去“发现” ,去“探究” ,直至…     

等角共轭点的一个有趣性质

给定△ＡＢＣ和一点Ｐ ,满足∠ＱＡＣ =∠ＰＡＢ ,∠ＱＢＡ =∠ＰＢＣ ,∠ＱＣＢ =∠ＰＣＡ的点 (如图 )Ｑ叫做Ｐ关于△ＡＢＣ的等角共轭点[1] [2 ] .我们发现了等角共轭点的一条新性质 :定理　设Ｐ、Ｑ是△ＡＢＣ的等角共轭点 ,则ＡＰ·ＡＱＡＢ·ＡＣ ＢＰ·ＢＱＢＣ·ＢＡ ＣＰ·ＣＱＣＡ·ＣＢ=1 .证明 :如图 ,在射线ＡＱ上取点Ｄ ,使∠ＡＣＤ =∠ＡＰＢ ,因∠ＡＰＢ >∠ＡＣＢ ,故Ｄ在△ＡＢＣ外 .又因∠ＰＡＢ =∠ＣＡＤ ,从而△ＡＢＰ∽△ＡＤＣ ,故ＡＢＡＤ=ＡＰＡＣ=ＢＰＣＤ,ＣＤ =ＢＰ·ＡＣＡＰ .①又由∠ＱＡＢ =∠ＰＡＣ ,Ａ…     

关于三角形的等外接圆点

设Ｐ是△ＡＢＣ内的点,使得△ＰＡＢ、△ＰＡＣ、△ＰＢＣ的内切圆半径相等,则称Ｐ为△ＡＢＣ的“等圆点”。《中等数学》１９９７年第３期（三角形的“等圆点”问题）对这种等四点作了研究。受此文启发,本文考虑使△ＰＡＢ,△ＰＡＣ,△ＰＢＣ外接圆半径均相等的点Ｐ的性质问题,得出以下结果。定理设Ｐ是△ＡＢＣ所在平面上的一点,那么Ｐ使△ＰＡＢ、△ＰＡＣ、△ＰＢＣ的外接回半径均相等的充要条件是Ｐ是否△ＢＣ的垂心或Ｐ在西△ＡＢＣ的外接回上。证明设△ＡＢＣ、△否则明、△ＡＯＣ、△ＢＰＣ的外接四分别为Ｏ、Ｏ１、Ｏ２、Ｏ…     

重视一题多解教学,培养创新精神

一、在例题解法分析过程中培养学生思维能力和创新精神对于某些例题可以从不同的角度进行探讨 ,给出多种解法 ;变通思路 ,发散思维。例１、如图 ,点Ｐ是△ＡＢＣ内的一点 ,连结ＡＰ、ＢＰ,已知∠１＝３０°，∠２＝２５°，∠Ｃ＝７０°求∠ＡＰＢ的度数。（１）利用三角形的外角性质分析（图１）延长ＡＰ交ＢＣ于点Ｄ,则∠ＡＰＢ是△ＢＤＰ的外角 ,因此∠ＡＰＢ＝∠２+∠ＰＤＢ，∠ＰＤＢ＝∠１+∠Ｃ ,所以∠ＡＰＢ＝∠２+∠１+∠Ｃ。解法一 :利用三角形的外角性质（图１） ,延长ＡＰ交ＢＣ于点Ｄ。∵∠ＰＤＢ＝∠１ +∠Ｃ，∠ＡＰＢ＝∠２…     

一道课本例题隐含的重要结论

全日制普通高级中学教科书 (实验修订本·必修 )数学第一册 (下 )第 1 0 7页例 5 :如图 1 ,ＯＡ、ＯＢ不共线 ,ＡＰ =ｔＡＢ(ｔ∈Ｒ) ,用ＯＡ、ＯＢ表示ＯＰ .这道看似不起眼的例题 ,隐含了如下一个重要结论 :若非零向量ＯＡ、ＯＢ不共线 ,且ＯＰ =ｘＯＡ+ｙＯＢ(ｘ∈Ｒ ,ｙ∈Ｒ) ,则Ａ、Ｂ、Ｐ三点共线 (或称点Ｐ在直线ＡＢ上 )的充要条件是ｘ+ｙ=1 .证明　 (1 )充分性 ,若ｘ+ｙ =1 ,且 ＯＰ =ｘＯＡ+ｙＯＢ(ｘ ∈Ｒ ,ｙ ∈Ｒ) ,则ＯＰ =ｘＯＡ+(1 -ｘ) ＯＢ ,即ＯＰ- ＯＢ =ｘ(ＯＡ- ＯＢ) ,ＢＰ =ｘＢＡ ,ＢＰ与ＢＡ共线 .又ＢＰ与ＢＡ有…     

关于复平面上的一种轴反射变换及其应用

本文介绍了一种复平面上的轴反射变换 ,并举例说明把坐标平面上的有关求轴对称点坐标的问题 ,转化到复平面上来解决 ,可以使运算变得简捷 .为行文方便 ,我们约定文中所用大写字母既表示复平面上的点 ,也表示相应的复数 .定理　设Ａ、Ｂ为复平面Ｃ上的两个不同点 ,过Ａ、Ｂ两点的直线为ｌ ,则以直线ｌ为轴的轴反射变换是ｆ(Ｐ) =Ｂ-Ａ Ｂ - Ａ ( Ｐ- Ａ) Ａ (Ｐ ∈Ｃ) .( )　　证明　记Ｐ′ =ｆ(Ｐ) ,∵　 (Ｂ -Ａ) (Ｐ -Ｐ′) (Ｂ -Ａ) (Ｐ -Ｐ′)=( Ｂ - Ａ)〔(Ｐ -Ａ) - Ｂ -Ａ Ｂ - Ａ ( Ｐ - Ａ)(Ｂ -Ａ)〔( Ｐ - Ａ) - …     

一道中考题的商榷

安徽省２０００年初中升学统一考试数学第１９题： 已知,如图,ＡＢＣＤ是正方形,Ｅ是ＣＤ的中点,Ｐ是ＢＣ边上的一点。下列条件中,不能推出△ＡＢＰ和△ＥＣＰ相似的是： （Ａ）∠ＡＰＢ＝∠ＥＰＣ; （Ｂ）∠ＡＰＥ＝９０° （Ｃ）Ｐ是ＢＣ的中点; （Ｄ）ＢＰ：ＢＣ＝２     

对一个特殊四面体性质的研究

有这样一个常见的四面体 (如图一 ) :棱ＰＡ⊥底面ＡＢＣ ,ＡＣ⊥ＢＣ 这个四面体有如下几个已知的性质 :性质 (1 )四面体ＰＡＢＣ中共有四个Ｒｔ△ ,分别是 :Ｒｔ△ＰＡＢ,Ｒｔ△ＰＡＣ,Ｒｔ△ＡＢＣ,Ｒｔ△ＰＢＣ.性质 (2 )四面体ＰＡＢＣ中共有三个面互相垂直 ,分别是 :面Ｐ     

向量法证正三(n)棱锥求高公式

公式　若正三棱锥的侧棱长为ｌ,侧面顶角为θ,则高ｈ =33ｌ 1 2ｃｏｓθ ( 0 <θ<2π3)。证　如图 ,已知在正三棱锥Ｐ -ＡＢＣ中 ,ＰＯ⊥平面ＡＢＣ ,用向量法证明如下 :∵ＰＯ =ＰＡ ＡＯ =ＰＢ ＢＯ=ＰＣ ＣＯ ,∴ 3ＰＯ =(ＰＡ ＰＢ ＰＣ) (ＡＯ ＢＯ ＣＯ)。又因点Ｏ是正△ＡＢＣ的中心 ,易证ＡＯ ＢＯ ＣＯ =Ｏ ,∴ＰＯ =(ＰＡ ＰＢ ＰＣ) / 3。∴ |ＰＯ|2 =( |ＰＡ|2 |ＰＢ|2 |ＰＣ| 2 |ＰＡ|·|ＰＢ|ｃｏｓθ 2 |ＰＡ||ＰＣ|ｃｏｓθ 2 |ＰＢ||ＰＣ|ｃｏｓθ) / 9=(ｌ2 ｌ2 ｌ2 2ｌ2 ｃｏｓθ 2ｌ2 ｃｏｓθ 2ｌ2 …     

正弦比例定理在解竞赛题中的应用

如图 1所示的图形在平面几何中比比皆是 ,十分常见 ,在△ＡＢＰ和△ＡＣＰ中 ,利用三角形面积公式 ,可得下述十分简单而有用的结论 .图 1正弦比例定理　点Ｐ为△ＡＢＣ的边ＢＣ所在直线上异于Ｂ、Ｃ的任意点 ,记∠ＢＡＰ =α ,∠ＣＡＰ= β ,则ｓｉｎαｓｉｎβ =ＢＰＰＣ ·ＣＡＡＢ(※ )证明　由三角形的面积公式 ,有Ｓ△ＡＢＰＳ△ＡＰＣ=ＢＰＰＣ =12 ＡＢ·ＡＰｓｉｎα12 ＡＣ·ＡＰｓｉｎβ于是 ,有ｓｉｎαｓｉｎβ=ＢＰＰＣ· ＣＡＡＢ显然 ,当点Ｐ在线段ＢＣ的延长线 (或反向延长线 )上 ,定理结论 (※ )同样成立 ,当ＡＰ为△ＡＢ…     

一个应用广泛的正弦比例定理

如图 1所示的图形在平面几何中比比皆是 ,十分常见 .在△ＡＢＰ和△ＡＣＰ中 ,利用三角形面积公式 ,可得下述十分简单而有用的结论 .正弦比例定理Ｐ为△ＡＢＣ的边ＢＣ所在直线上异于Ｂ、Ｃ的任意一点 ,记∠ＢＡＰ =α ,∠ＣＡＰ =β ,则ｓｉｎαｓｉｎβ=ＢＰＰＣ· ＣＡＡＢ. ( )　　证明　由三角形的面积公式 ,有ＢＰＰＣ =12 ＡＢ·ＡＰｓｉｎα12 ＡＣ·ＡＰｓｉｎβ,于是 ,有ｓｉｎαｓｉｎβ=ＢＰＰＣ· ＣＡＡＢ.　　显然 ,当点Ｐ在线段ＢＣ的延长线 (或反向延长线 )上 ,定理仍然成立 .当ＡＰ为△ＡＢＣ的内或外角平分线时 ,有α =…     

高职班病理学课堂教学方法改革初探

我校临床医学专业高职班学员多数来自临床第一线的在职医务人员,他们大都是中等卫校毕业生,具有一定的医学基础理论知识和临床实践经验,学过病理学这门课程,给他们上病理学课,如果再套用单纯的系统讲授法授课,就会使学生学习不感兴趣,不利于教学质量的提高。近年来,笔者在该班病理学课堂教学方法上,作了一些改革和探索,取得了较好的教学效果。一、ＰＢＣ教学法的应用ＰＢＣ是一种以临床问题为引导的基础医学教学法,也就是说,在基础医学教学中,精心设计和采集病例,以病例为主线,引导学生自学,加强基础医学与临床医学的联系,…     

巧用面积关系证题

一、利用面积之和证题通过引辅助线 ,把三角形分割成几个小三角形 ,则原三角形的面积等于分割成的各个小三角形的面积之和 .运用这一关系 ,可以证明线段之间的和差关系 .例 1　已知 :如图 1 ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,Ｐ为ＢＣ上任一点 ,ＰＤ⊥ＡＢ ,ＰＥ⊥ＡＣ ,垂足分别为Ｄ、Ｅ ,ＣＦ是ＡＢ边上的高 .求证 :ＰＤ ＰＥ =ＣＦ .分析　由ＰＤ、ＰＥ是垂线段不难联想到三角形的高 ,由高进一步联想到面积 .这样 ,思维的角度就定位在面积关系上了 .连结ＡＰ ,容易看出ＰＤ、ＰＥ、ＣＦ分别是△ＡＰＢ、△ＡＰＣ、△ＡＢＣ的高 ,而这三个三角形…     

一道高考题的推广及其应用

一道高考题的推广及其应用中国科大附中黄严生如图，三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，已知ＰＡ⊥ＢＣ，ＰＡ＝ＢＣ＝ｌ，ＰＡ与ＢＣ的公垂线段ＥＤ＝ｈ．求证：三校锥Ｐ－ＡＢＣ的体积这是１９８７年的一道高考题，此题可以推广成下面的命题。如图，三校推Ｐ－ＡＢＣ中，ＰＡ与ＢＣ所...     

一道例题的引申及应用

题目　已知ＯＡ、ＯＢ不共线 ,ＡＰ =ｔＡＢ(ｔ∈Ｒ) ,用ＯＡ、ＯＢ表示ＡＰ(新版高一《数学》10 7页例5 ) .　　　　　图 1解　∵ＡＰ =ｔＡＢ(如图 1) ,∴ＯＰ =ＯＡ +ＡＰ =ＯＡ +ｔＡＢ=ＯＡ +ｔ(ＯＢ -ＯＡ)= (1-ｔ) ＯＡ+ｔＯＢ .若令 1-ｔ =λ,μ=ｔ,则ＯＰ =λＯＡ +μＯＢ且λ +μ=1.此题可加强为 :定理　若ＯＡ、ＯＢ不共线 ,则点Ｐ在直线ＡＢ上的充要条件为ＯＰ =λＯＡ +μＡＢ ,其中λ +μ =1(λ、μ∈Ｒ) .证明　充分性 :∵ＯＰ=λＯＡ+μＯＢ ,λ+μ =1,∴ＯＰ=λＯＡ+(1-λ) ＯＢ=λＯＡ+ＯＢ-λＯＢ ,故ＯＰ -ＯＢ =λＯＡ…     

利用课本习题开拓学生思维能力一例

利用课本习题 ,引导学生作一些开放性思考与探讨 ,对调动学生积极因素 ,提高学生学数学的兴趣 ,培养学生探究意识与创造思维能力 ,极有好处。九义制初中教材《代数》第三册第 77页第 2 0题 :“如图 ,在△ＡＢＣ中 ,∠Ｂ =90°,点Ｐ从点Ａ沿ＡＢ边向点Ｂ以 1ｃｍ/ｓ的速度移动 ,     

高中数学竞赛模拟试题

第一试一、选择题１．在△ＡＢＣ中,若ｃｔｇＡｔｇＡ２＋ｃｔｇＢｔｇＢ２＋ｃｔｇＣｔｇＣ２≥１,则△ＡＢＣ的形状是（　　）．Ａ．任意三角形　　Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形　　Ｄ．等边三角形２．已知ｘ,ｙ∈Ｒ,且３ｘ＋５ｙ≥３－ｙ＋５－ｘ,则ｘ与ｙ满足（　　）．Ａ．ｘ＋ｙ＞０　　Ｂ．ｘ＋ｙ≥０Ｃ．ｘ＋ｙ＜０　　Ｄ．ｘ＋ｙ≤０３．已知Ｐ是正方形ＡＢＣＤ所在空间任一点,则ＰＡ２－ＰＤ２与ＰＢ２－ＰＣ２的大小关系是（　　）．Ａ．ＰＡ２－ＰＤ２＞ＰＢ２－ＰＣ２Ｂ．ＰＡ２－ＰＤ２＜ＰＢ２－ＰＣ２Ｃ．ＰＡ２－Ｐ…     

几种特殊形式成比例线段的证题方法

１．ａｎ∶ｂｎ＝ｃ∶ｄ型如果欲证的等式是ａｎ∶ｂｎ＝ｃ∶ｄ形式,一般要考虑证明分别含有ａ、ｂ为对应边的两个三角形相似,然后利用面积关系或射影定理进行证明．图１例１　从圆外一点Ｐ引圆的切线ＰＡ,割线ＰＣＢ．求证ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．分析：含ＡＢ、ＡＣ、ＰＢ、ＰＣ的三角形是△ＰＡＢ和△ＰＣＡ,而易证△ＰＡＢ∽△ＰＣＡ,∴ＡＢ２ＡＣ２＝Ｓ△ＰＡＢＳ△ＰＣＡ＝１２ＰＢ·ＡＨ１２ＰＣ·ＡＨ＝ＰＢＰＣ．例２　已知矩形ＣＥＤＦ内接于圆Ｏ,过Ｄ作圆的切线与ＣＥ、ＣＦ的延长线分别交于点Ａ、Ｂ．求证：ＢＣ３Ａ…     

代换法证明比例式

证明比例式或等积式的一般途径是证明比例式或等积式中的四条线段所在的两个三角形相似。而当所证的比例式或等积式中的四条线段不在两个相似三角形中时 ,则需一中间量作媒介 ,进行等量代换 ,举例说明如下 :1　借助相等线段代换例 1　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,ＡＤ为中线 ,Ｐ为ＡＤ上一点 ,过点Ｃ作ＣＦ∥ＡＢ ,延长ＢＰ交ＡＣ于Ｅ ,求证ＢＰ2 =ＰＥ·ＰＦ。[分析 ]　由于ＰＢ ,ＰＥ ,ＰＦ在同一直线上 ,不能组成两个相似三角形 ,故应考虑等量代换。连结ＣＰ ,易证△ＡＢＰ≌△ＡＣＰ ,所以ＣＰ =ＢＰ。故可用ＣＰ代替等积式中的Ｂ…